Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы

Алгебра, теория чисел

Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Евдокия
8 / 8 / 1
Регистрация: 24.10.2013
Сообщений: 203
#1

Делимость суммы биномиальных слагаемых - Алгебра

27.02.2014, 15:18. Просмотров 343. Ответов 5
Метки нет (Все метки)

При всех ли http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\geq 2 число http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=1}^{n}k{C}^{k}{}_{2n} делится на 8?
0
Лучшие ответы (1)
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
27.02.2014, 15:18
Здравствуйте! Я подобрал для вас темы с ответами на вопрос Делимость суммы биномиальных слагаемых (Алгебра):

Доказать делимость суммы - Алгебра
Здравствуйте, Помогите, пожалуйста. Доказать, что сумма 333^{777}+777^{333} делится на 37

сравнимость биномиальных коэф-ов - Алгебра
показать что: \begin{pmatrix}{a}_{r}\\ {b}_{r}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{a}_{r-1}\\ {b}_{r-1}\end{pmatrix}...\begin{pmatrix}{a}_{0}\\...

Вычислить сумму биномиальных коэффициентов - Алгебра
Вычислить сумму: Сn3 + Сn7 + Сn11 + ...

Доказать свойство биномиальных коэффициентов - Алгебра
Господа-математики! Помогите решить данную задачу: есть 2 натуральных взаимнопростых числа a,b, b>a, надо доказать, что биноминальный...

Из данной пропорции из биномиальных коэффициентов найти X и Y - Алгебра
Помогите из данной пропорции найти X и Y

Сумма кубов биномиальных коэффициентов (числа Франеля) - Алгебра
Всем привет! Сегодня преподаватель дал интересную задачку - найти сумму кубов биномиальных коэффициентов. Посидев некоторое время решил...

5
Mysterious Light
Эксперт по математике/физике
3668 / 1801 / 246
Регистрация: 19.07.2009
Сообщений: 2,741
Записей в блоге: 20
27.02.2014, 23:04 #2
Wolfram Mathematica утверждает:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=1}^n k C_{2n}^k = 2^{2n-1} n
Честно, я не знаю, как это доказать.
1
helter
Эксперт по математике/физике
3656 / 2682 / 273
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 4,937
28.02.2014, 00:11 #3
Можно разложить http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1+x)^{2n} и продифференцировать обе части по x, а потом подставить x = 1.
1
Mysterious Light
Эксперт по математике/физике
3668 / 1801 / 246
Регистрация: 19.07.2009
Сообщений: 2,741
Записей в блоге: 20
28.02.2014, 00:37 #4
Я не понимаю...
Была идея сопоставить данной сумме производящую функцию и проинтегрировать её, что напрашивается. helter, Вы предлагаете что-то подобное.
Но смотрите, как получается:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = (1+x)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^k x^k
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'(x) = \sum_{k=1}^{2n} kC_{2n}^k x^{k-1}
Сумма ограничивается 2n, а не n, как в задаче. Что делать?
0
helter
Эксперт по математике/физике
3656 / 2682 / 273
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 4,937
28.02.2014, 00:58 #5
Там же половина слагаемых берётся, а вторая половина точно такая же, так как биномиальные коэффициенты повторяются. Искомая сумма равна f'(1)/2.

А, не, вру. Это же в f(x) они повторяются.

Если вынести из второй половины http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^{2n}, всё равно ерунда получается. Надо ещё подумать.

Наверно, по индукции доказывается, но это какое-то непроясняющее доказательство получится...
0
jogano
Модератор
Эксперт по математике/физике
3830 / 2367 / 781
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 4,202
Записей в блоге: 4
28.02.2014, 02:41 #6
Лучший ответ Сообщение было отмечено автором темы, экспертом или модератором как ответ
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?kC_{2n}^k=k\frac{(2n)!}{(2n-k)!k!}=\frac{(2n)!}{(2n-k)!(k-1)!}=2n\frac{(2n-1)!}{(2n-k)!(k-1)!}=2nC_{2n-1}^{k-1}. Поскольку суммируются биномиальные коэффициенты для k от 1 до n, то эти коэфф. берутся от http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{2n-1}^0 до http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{2n-1}^{n-1}, т.е ровно половина коэффициентов с нижним индексом 2n-1. Так как http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^{2n-1}C_{2n-1}^k=2^{2n-1}, то http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^{n-1}C_{2n-1}^k=\frac{1}{2}\cdot2^{2n-1}=2^{2n-2}, и тогда искомая сумма равна http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2n\cdot2^{2n-2}=n\cdot 2^{2n-1}. Она делится на 8, если степень двойки http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2n-1\geq 3\Leftrightarrow n\geq 2. Это даже без учета того, что множитель n тоже может быть четным.
6
28.02.2014, 02:41
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
28.02.2014, 02:41
Привет! Вот еще темы с ответами:

Делимость на 13 - Алгебра
Не знаю тот или иной раздел, не пойму как решить... Задача: Определить сколько чисел из интервала допустим от 20000 до 30000 делятся...

Доказать делимость - Алгебра
Доказать что при любых a и b натуральных чисел a^2*b^2*(a^4-b^4)(a^4-1) кратное 900

Задачи на делимость - Алгебра
1)2{n}^{6}-{n}^{4}-{n}^{2}:36 ; 2){6n}_{5}+15{n}_{4}+10{n}^{3}-n:30 ; 3){a}^{3}+3{a}^{2}-a-3:48 при нечетном а ; 4){n}^{2}+20n:48 ; ...

Задача на делимость - Алгебра
Доказать, что m5+4m кратно 5, при всех натуральных m


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
6
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.