Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Алгебра, теория чисел
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Евдокия
8 / 8 / 1
Регистрация: 24.10.2013
Сообщений: 203
#1

Делимость суммы биномиальных слагаемых - Алгебра

27.02.2014, 15:18. Просмотров 359. Ответов 5
Метки нет (Все метки)

При всех ли http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\geq 2 число http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=1}^{n}k{C}^{k}{}_{2n} делится на 8?
0
Лучшие ответы (1)
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
27.02.2014, 15:18
Я подобрал для вас темы с готовыми решениями и ответами на вопрос Делимость суммы биномиальных слагаемых (Алгебра):

Доказать делимость суммы
Здравствуйте, Помогите, пожалуйста. Доказать, что сумма 333^{777}+777^{333}...

сравнимость биномиальных коэф-ов
показать что: \begin{pmatrix}{a}_{r}\\...

Вычислить сумму биномиальных коэффициентов
Вычислить сумму: Сn3 + Сn7 + Сn11 + ...

Доказать свойство биномиальных коэффициентов
Господа-математики! Помогите решить данную задачу: есть 2 натуральных...

Из данной пропорции из биномиальных коэффициентов найти X и Y
Помогите из данной пропорции найти X и Y

Сумма кубов биномиальных коэффициентов (числа Франеля)
Всем привет! Сегодня преподаватель дал интересную задачку - найти сумму кубов...

5
Mysterious Light
Эксперт по математике/физике
3924 / 1903 / 379
Регистрация: 19.07.2009
Сообщений: 2,914
Записей в блоге: 21
27.02.2014, 23:04 #2
Wolfram Mathematica утверждает:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=1}^n k C_{2n}^k = 2^{2n-1} n
Честно, я не знаю, как это доказать.
1
helter
Эксперт по математике/физике
3741 / 2769 / 297
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,104
28.02.2014, 00:11 #3
Можно разложить http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1+x)^{2n} и продифференцировать обе части по x, а потом подставить x = 1.
1
Mysterious Light
Эксперт по математике/физике
3924 / 1903 / 379
Регистрация: 19.07.2009
Сообщений: 2,914
Записей в блоге: 21
28.02.2014, 00:37 #4
Я не понимаю...
Была идея сопоставить данной сумме производящую функцию и проинтегрировать её, что напрашивается. helter, Вы предлагаете что-то подобное.
Но смотрите, как получается:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = (1+x)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^k x^k
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'(x) = \sum_{k=1}^{2n} kC_{2n}^k x^{k-1}
Сумма ограничивается 2n, а не n, как в задаче. Что делать?
0
helter
Эксперт по математике/физике
3741 / 2769 / 297
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,104
28.02.2014, 00:58 #5
Там же половина слагаемых берётся, а вторая половина точно такая же, так как биномиальные коэффициенты повторяются. Искомая сумма равна f'(1)/2.

А, не, вру. Это же в f(x) они повторяются.

Если вынести из второй половины http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^{2n}, всё равно ерунда получается. Надо ещё подумать.

Наверно, по индукции доказывается, но это какое-то непроясняющее доказательство получится...
0
jogano
Модератор
Эксперт по математике/физике
4046 / 2583 / 868
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 4,531
Записей в блоге: 4
28.02.2014, 02:41 #6
Лучший ответ Сообщение было отмечено Байт как решение

Решение

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?kC_{2n}^k=k\frac{(2n)!}{(2n-k)!k!}=\frac{(2n)!}{(2n-k)!(k-1)!}=2n\frac{(2n-1)!}{(2n-k)!(k-1)!}=2nC_{2n-1}^{k-1}. Поскольку суммируются биномиальные коэффициенты для k от 1 до n, то эти коэфф. берутся от http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{2n-1}^0 до http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{2n-1}^{n-1}, т.е ровно половина коэффициентов с нижним индексом 2n-1. Так как http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^{2n-1}C_{2n-1}^k=2^{2n-1}, то http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^{n-1}C_{2n-1}^k=\frac{1}{2}\cdot2^{2n-1}=2^{2n-2}, и тогда искомая сумма равна http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2n\cdot2^{2n-2}=n\cdot 2^{2n-1}. Она делится на 8, если степень двойки http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2n-1\geq 3\Leftrightarrow n\geq 2. Это даже без учета того, что множитель n тоже может быть четным.
6
28.02.2014, 02:41
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
28.02.2014, 02:41
Привет! Вот еще темы с решениями:

Делимость на 13
Не знаю тот или иной раздел, не пойму как решить... Задача: Определить...

Делимость чисел
Почему 7^k-1 делится на 6?

Задача на делимость
Доказать, что m5+4m кратно 5, при всех натуральных m

Доказать делимость
Доказать что при любых a и b натуральных чисел a^2*b^2*(a^4-b^4)(a^4-1) кратное...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
6
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru