Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Алгебра, теория чисел
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 5.00/5: Рейтинг темы: голосов - 5, средняя оценка - 5.00
AlisaRu
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.02.2014
Сообщений: 19
#1

Производная неприводимого многочлена отлична от нуля над любым полем

02.05.2014, 23:43. Просмотров 956. Ответов 4
Метки нет (Все метки)

Собственно нужно доказательство этой теоремы. Нашла доказательство через корни многочлена... но мы их еще не проходили. Есть ли какое-нибудь другое обоснование? помогите пожалуйста найти в литературе или помогите доказать(
0
Лучшие ответы (1)
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
02.05.2014, 23:43
Ответы с готовыми решениями:

Напишите многочлен, разложенный над полем Z5 но не разложимый над полем Z2
Напишите многочлен, разложены над полем Z5 но не разложимый над полем Z2

Разложить над полем R
{(x-1)}^{n}+{x}^{n}

Приводимый многочлен над полем
Здравствуйте! Не могу разобраться. Есть задание: над полем F5 = {0, 1, 2, 3,...

Разложить многочлен над полем из 4 элементов
Здравствуйте, в общем суть в следующем. Требуется разложить многочлен x^5+x+1...

Про операции над полем вычетов
Всем добрый день! У меня есть некая задача, в которой зафиксировано поле...

4
helter
Эксперт по математике/физике
3751 / 2779 / 299
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,123
03.05.2014, 01:36 #2
Ну, это... Если производная равна нулю, значит, многочлен - константа, то есть элемент поля.
0
Alex5
1122 / 783 / 232
Регистрация: 12.04.2010
Сообщений: 2,012
03.05.2014, 13:30 #3
В случае, когда характеристика поля равна нулю:
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
Если производная равна нулю, значит, многочлен - константа, то есть элемент поля.
Когда характеристика char F = p отлична от нуля:

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = a_1 x^{k_1} +  a_2 x^{k_2} + ... ,  \\f'(x) = a_1 \cdot k_1 x^{k_1-1} +  a_2 \cdot k_2 x^{k_2-1} +  ... = 0  \\

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1 \cdot k_1 = 0 , \;\; a_2\cdot k_2 = 0,\;\; ,\;...\; a_1 \neq 0, \; a_2 \neq 0, \; ...  \\

это возможно, если все ki делятся на p.

Например, в поле F5 ( конечное поле ): ( x5 + 1 )' = 5 x4 = 0.
2
helter
Эксперт по математике/физике
3751 / 2779 / 299
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,123
03.05.2014, 16:14 #4
А я балбес.
0
kabenyuk
1724 / 1303 / 308
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 2,544
04.05.2014, 07:07 #5
Лучший ответ Сообщение было отмечено AlisaRu как решение

Решение

Это очевидно, если поле имеет характеристику 0 (просто в самом деле производная равна нулю тогда и только тогда, когда степень многочлена - нулевая). Если характеристика поля равна p, и f'=0, то
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
f(x)=a_0+a_1x^{p}+a_2x^{2p}+\ldots+a_nx^{pn}=(a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n)^p.<br />

Добавлено через 10 часов 35 минут
Поправка. Указанное равенство справедливо лишь для поля вычетов. Для других конечных полей потребуется использовать, что возведение в степень p - автоморфизм (автоморфизм Фробениуса) поля и использовать равенство
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=a_0+a_1x^{p}+a_2x^{2p}+\ldots+a_nx^{pn}=(a'_0+a'_1x+a'_2x^2+\ldots+a'_nx^n)^p,\ a'_i^p=a_i.
Для бесконечных полей требуются другие доводы.

Добавлено через 24 минуты
Для бесконечных полей положительной характеристики это утверждение не верно. Пусть F - поле характеристики 2, в котором не все элементы являются квадратами. Пусть a - не квадрат. Тогда f(x)=x^2+a - искомый контрпример. С одной стороны f'=0, а с другой, если бы f был приводим, то он имел бы корень, квадрат которого равен a.
2
04.05.2014, 07:07
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
04.05.2014, 07:07

Найти обратную матрицу над полем вычетов
Здравствуйте! Я в ступоре - не знаю как отыскать обратную матрицу над кольцом...

Посчитать обратную матрицу над полем F26
Добрый день. Я уже, наверно, раз 5-6 посчитал обратную матрицу, но при...

Приводим ли многочлен над полем целых чисел
Доброго времени суток. Нужно определить приводим ли многочлен над полем Q:...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
5
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru