Иррациональное число между двумя рациональными

@~~gehh~~ · 05.05.2014, 14:37. **Показов** 10265. **Ответов** 4

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Даны два рациональных числа A и B.
Требуется доказать, что между ними есть иррациональное число C
Решение:
Пусть
A=a₀,a₁a₂....a_n...
B=b₀,b₁b₂....b_n...
Поскольку первые цифры этих чисел могут совпадать, то
существует такое n, что a_n < b_n
И наше число C приобретет вид:
C=a₀,a₁a₂....a_n...
Иначе говоря C < B
Однако число A может содержать после a_n
лишь конечное число девяток. Значит существует такое
число m, что m > n и a_m < 9.
Теперь наше число C обретет вид:
C=a₀,a₁a₂....a_n9 ... 9(a_m+1)...
То есть A < C < B
Остаётся добавить к числу C иррациональный хвост. Имеем:
C=a₀,a₁a₂....a_n9...9(a_m+1)0100100010000 ...
Или число C иррациональное, большее A, но меньшее B
Что и требовалось доказать.

@palva · 05.05.2014, 18:49

По-моему, можно проще: взять число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A+(\sqrt2/2)\cdot(B-A)$

@~~gehh~~ · 05.05.2014, 19:04 **[ТС]**

Спасибо! Классный ответ!!
Я бы до такого не догадался бы!!
Уверен, что не только я.
Это САМЫЙ ЛУЧШИЙ ОТВЕТ !!
Иного и быть не может!
Ещё раз большое вам Спасибо!

@Alex5 · 06.05.2014, 00:21

Множество рациональных чисел интервала [a,b] счётно. Имеет меру нуль.

Подробнее. { a_1, a_2, a_3, ... a_n, ... } множество всех рациональных чисел интервала [a,b].
Выберем к.н. интервалы длины

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\varepsilon }{2}, \; \frac{\varepsilon }{2^2}, \; ... \; \frac{\varepsilon }{2^n}, \; ...\varepsilon \leq \frac{|a-b|}{2}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1 \in [c_1, d_1], \; a_2 \in [c_2, d_2], \; ...$

Сумма длин этих интервалов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\leq \varepsilon$ . Но это противоречит тому, что они содержат все точки интервала [a,b].

Значит найдутся иррациональные точки.

@Catstail · 07.05.2014, 12:23

Сообщение от gehh

Спасибо! Классный ответ!!

- не торопитесь... Нужно еще доказать, что это число иррационально. Наличие радикала не есть достаточное условие иррациональности...

Добавлено через 2 минуты
Впрочем, доказать нетрудно.

@~~gehh~~ Заблокирован
		1
	Иррациональное число между двумя рациональными 05.05.2014, 14:37. Показов 10265. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Даны два рациональных числа A и B. Требуется доказать, что между ними есть иррациональное число C Решение: Пусть A=a₀,a₁a₂....a_n... B=b₀,b₁b₂....b_n... Поскольку первые цифры этих чисел могут совпадать, то существует такое n, что a_n < b_n И наше число C приобретет вид: C=a₀,a₁a₂....a_n... Иначе говоря C < B Однако число A может содержать после a_n лишь конечное число девяток. Значит существует такое число m, что m > n и a_m < 9. Теперь наше число C обретет вид: C=a₀,a₁a₂....a_n9 ... 9(a_m+1)... То есть A < C < B Остаётся добавить к числу C иррациональный хвост. Имеем: C=a₀,a₁a₂....a_n9...9(a_m+1)0100100010000 ... Или число C иррациональное, большее A, но меньшее B Что и требовалось доказать. 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	05.05.2014, 18:49	2
	Сообщение было отмечено gehh как решение Решение По-моему, можно проще: взять число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A+(\sqrt2/2)\cdot(B-A)$ 1

@~~gehh~~ Заблокирован
	05.05.2014, 19:04 [ТС]	3
	Спасибо! Классный ответ!! Я бы до такого не догадался бы!! Уверен, что не только я. Это САМЫЙ ЛУЧШИЙ ОТВЕТ !! Иного и быть не может! Ещё раз большое вам Спасибо! 0

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	06.05.2014, 00:21	4
	Множество рациональных чисел интервала [a,b] счётно. Имеет меру нуль. Подробнее. { a_1, a_2, a_3, ... a_n, ... } множество всех рациональных чисел интервала [a,b]. Выберем к.н. интервалы длины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\varepsilon }{2}, \; \frac{\varepsilon }{2^2}, \; ... \; \frac{\varepsilon }{2^n}, \; ...\varepsilon \leq \frac{\|a-b\|}{2}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1 \in [c_1, d_1], \; a_2 \in [c_2, d_2], \; ...$ Сумма длин этих интервалов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\leq \varepsilon$ . Но это противоречит тому, что они содержат все точки интервала [a,b]. Значит найдутся иррациональные точки. 2

@Catstail Модератор 36601 / 20330 / 4220 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 33,640 Записей в блоге: 13
	07.05.2014, 12:23	5
	Сообщение от gehh Спасибо! Классный ответ!! - не торопитесь... Нужно еще доказать, что это число иррационально. Наличие радикала не есть достаточное условие иррациональности... Добавлено через 2 минуты Впрочем, доказать нетрудно. 1