Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Алгебра, теория чисел
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
gehh
Заблокирован
#1

Иррациональное число между двумя рациональными - Алгебра

05.05.2014, 14:37. Просмотров 1735. Ответов 4
Метки нет (Все метки)

Даны два рациональных числа A и B.
Требуется доказать, что между ними есть иррациональное число C
Решение:
Пусть
A=a0,a1a2....an...
B=b0,b1b2....bn...
Поскольку первые цифры этих чисел могут совпадать, то
существует такое n, что an < bn
И наше число C приобретет вид:
C=a0,a1a2....an...
Иначе говоря C < B
Однако число A может содержать после an
лишь конечное число девяток. Значит существует такое
число m, что m > n и am < 9.
Теперь наше число C обретет вид:
C=a0,a1a2....an9 ... 9(am+1)...
То есть A < C < B
Остаётся добавить к числу C иррациональный хвост. Имеем:
C=a0,a1a2....an9...9(am+1)0100100010000 ...
Или число C иррациональное, большее A, но меньшее B
Что и требовалось доказать.
0
Лучшие ответы (1)
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
05.05.2014, 14:37
Я подобрал для вас темы с готовыми решениями и ответами на вопрос Иррациональное число между двумя рациональными (Алгебра):

Объясните принцип решения примера. Подберите число, заключенное между двумя числами
Всем привет, модераторы извеняйте что пишу возможно не туда (Не нашел нужного...

Иррациональное уравнение
\sqrt{x+7}-\sqrt{x+3}=0 Возможно ли найти корень без решения кубического...

Иррациональное уравнение
Такое вот уравнение: \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \...

Иррациональное уравнение
Доброе утро! Прошерстила весь интернет на тему &quot;иррациональные уравнения&quot;, но...

Иррациональное уравнение
(x-2+(2x-5)^{1/2})^{1/2}+(x+2+3(2x-5)^{1/2})^{1/2} = 7\times 2^{1/2}

Иррациональное уравнение
Помогите с алгеброй

4
palva
3094 / 2228 / 447
Регистрация: 08.06.2007
Сообщений: 8,126
Записей в блоге: 4
05.05.2014, 18:49 #2
Лучший ответ Сообщение было отмечено gehh как решение

Решение

По-моему, можно проще: взять число http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A+(\sqrt2/2)\cdot(B-A)
1
gehh
Заблокирован
05.05.2014, 19:04  [ТС] #3
Спасибо! Классный ответ!!
Я бы до такого не догадался бы!!
Уверен, что не только я.
Это САМЫЙ ЛУЧШИЙ ОТВЕТ !!
Иного и быть не может!
Ещё раз большое вам Спасибо!
0
Alex5
1120 / 781 / 231
Регистрация: 12.04.2010
Сообщений: 2,007
06.05.2014, 00:21 #4
Множество рациональных чисел интервала [a,b] счётно. Имеет меру нуль.

Подробнее. { a_1, a_2, a_3, ... a_n, ... } множество всех рациональных чисел интервала [a,b].
Выберем к.н. интервалы длины

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\varepsilon }{2}, \; \frac{\varepsilon }{2^2}, \; ... \;  \frac{\varepsilon }{2^n}, \; ...\varepsilon \leq \frac{|a-b|}{2}

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1 \in [c_1, d_1], \; a_2 \in [c_2, d_2], \; ...

Сумма длин этих интервалов http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\leq \varepsilon. Но это противоречит тому, что они содержат все точки интервала [a,b].

Значит найдутся иррациональные точки.
2
Catstail
Модератор
23540 / 11650 / 2036
Регистрация: 12.02.2012
Сообщений: 18,992
07.05.2014, 12:23 #5
Цитата Сообщение от gehh Посмотреть сообщение
Спасибо! Классный ответ!!
- не торопитесь... Нужно еще доказать, что это число иррационально. Наличие радикала не есть достаточное условие иррациональности...

Добавлено через 2 минуты
Впрочем, доказать нетрудно.
1
07.05.2014, 12:23
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
07.05.2014, 12:23
Привет! Вот еще темы с решениями:

Иррациональное уравнение
решал через замену, кто подскажет какой должен быть ответ?

Иррациональное уравнение
\sqrt{{x}^{2}+32} - 2 \sqrt{{x}^{2}+32}=3 получилось {x}^{2}=49 а вот дальше...

Иррациональное уравнение
{2x}^{\frac{1}{4}}+{5x}^{\frac{1}{8}}=18 помогите решить, хотя бы с чего...

Решите иррациональное уравнение
\sqrt{2x+7}+x=2


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
5
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru