@Eru Iluvatar

Преподавательница задала домой доказать такое утверждение, что A - коммутативное кольцо, если . Ломал голову, как можно доказать коммутативность операции умножения в рандомном кольце, если известно такое утверждение о нем, пока не решил проверить это утверждение на практике. Допустим, есть кольцо целых чисел по модулю 4. Какое бы число, кроме 0 и 1, мы не возводили в квадрат, мы не получим его снова. То же самое для кольца по модулю p = 7 (поле). Очевидно, что операция умножения в них коммутативна.

Не подсказывайте решение, хочу просто узнать, стоит ли думать дальше, или ошибочность этого утверждения уже очевидна?

Добавлено через 3 минуты
Или, может, я неправильно списал с доски условие? В книжке Коутинхо есть похожая задача: "Докажите, что если квадрат каждого элемента из G равен единичному, то эта группа абелева".

0

@kabenyuk

Преподаватель, вероятно, имел ввиду следующую задачу. Если в кольце выполнено тождество а^2=а (т.е. а^2=а для любого элемента кольца), то кольцо коммутативно. Это утверждение верное. Обратное очевидно неверно - в этом вы и убедились, приведя два примера.

Упомянутая вами задача про группы по сложности примерно равна задаче про кольца.

0

echs

Чтобы доказать, что кольцо коммутативно, надо
чтобы для любых элементов кольца выполнялось
равенство b*c=c*b, где b, c - элементы кольца.
Теперь определим как выглядят эти элементы.
Так как a^2=a, то a^3=a*a^2=a*a=a
И в общем случае a^n=a^2*a^(n-2)=a*a^(n-2)=a^(n-1)
Отсюда следует, что a^n=a
Исходя из этого можно доказать коммутативность
Итак, b=a^n и c=a^m
b*c=a^n*a^m=a
c*b=a^m*a^n=a
Следовательно b*c=c*b
Кольцо коммутативно.
Что и требовалось доказать.

0

@kabenyuk

geh, вы доказали, что степени а перестановочны, что впрочем и без того очевидно. Требуется чуть-чуть другое. Не так ли?

0

echs

kabenyuk
Вы умный человек и все поймёте с полуслова.
Степень элемента кольца - это уже ДРУГОЙ
элемент того же кольца. Вот и требуется для
Всех элементов кольца доказать, что умножение
коммутативно. Что я и сделал.
P.S.
Все иные предположения насчёт сравнений
по модулю в условия задачи не входят ...

0

Байт

geh, Посмею присоединиться к мнению kabenyuk. Очевидно, что вы ошибаетесь.
Ваши рассуждения были бы верны, если есть такой элемент кольца a, что всякий другой элемент b представим в виде b = aⁿ. Но легко показать что тогда у мультипликативной группы полукольца всего 2 элемента (а всего в кольце 3 элемента).

1

echs

Байт
Возможно, вы правы. Да! Совершенно правы!
И кольцо, его мультипликативная часть, это
два элемента. (А может один? Ведь а обладает
свойствами единичного элемента, то есть по
сути совпадает с ним!)

0

@kabenyuk

Какой a? В условии a пробегает все элементы кольца.

Вот решение этого упражнения.
1) Заметим, что a=-a для ЛЮБОГО элемента кольца. В самом деле, (-a)^2=a^2=a; с другой стороны, опять по условию (-a)^2=-a; т.е. a=-a.
2) Теперь доказываем коммутативность умножения. Опять по условию (a+b)^2=a+b; с другой стороны, (a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a+ab+ba+b. Отсюда a+b=a+ab+ba+b => ab=-ba=ba (последнее в силу 1).

Как-то так.

2

echs

kabenyuk
Это то, что я в своей жизни не знал ...
Спасибо!

0

@golatin

Почему? Поподробней распишите, а то не понятно: (-a)^2=(-a)(-a)=(-1)а(-1)а=..??? Как показать, что а(-1)=(-1)а? Коммутативности у нас нет.

0

@kabenyuk

Хороший вопрос.
Надо, стало быть, от печки. Докажем, что (-a)^2=a^2. Заметьте, что в кольце не предполагается единицы по умножению. Поэтому -a означает элемент, противоположный к a. Используем аксиомы кольца и свойства противоположного и нулевого элемента: -x+x=0, 0x=x0=0 для любого x.

Для любых a, b из кольца R имеем
(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0 => (-a)b=-ab;
b(-a)+ba=b(-a+a)=b0=0 => b(-a)=-ba.

Теперь применяем сначала первое, а затем второе равенства (b=-a):
(-a)(-a)=-a(-a)=-(-a^2)=a^2.
Вот и все

Не стоит благодарности.

1

@Eru Iluvatar

А правильно ли мое доказательсво? Я рассмотрел элемент по утверждению. Раскрыл квадрат и получил, что . Так как и , то 2ab = 0, то есть элементы 2 и ab - делители нуля. Раз так, то двойке не может соответствовать другой делитель нуля, то есть элемент ab определяется единственным образом. Я рассмотрел еще такое выражение: , .
Имеем:


Значит, 2ab = 2ba, и так как не может существовать два разных элемента, которые при умножении на 2 дают 0, то ab = ba для произвольных a и b. Или у меня ошибка в предположении, что соответствующий двойке делитель нуля - единственный в кольце?

0

@Alex5

Пример кольца, обладающего свойством a²=a (для любого элемента). Прямое произведение колец Z₂ x Z₂ x Z₂ x ... x Z₂.

Например, в (Z₂)⁵ если a = ( 0, 0, 1, 1, 0 ) ,

то a*a = ( 0, 0, 1, 1, 0 )*( 0, 0, 1, 1, 0 ) = ( 0*0, 0*0, 1*1, 1*1, 0*0 ) = ( 0, 0, 1, 1, 0 ) = a.

Или так. Кольцо функций из M в Z₂, где M - произвольное множество.

Добавлено через 1 минуту
Если раскрыть квадрат, то получится, (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b².

Добавлено через 11 минут
Eru Iluvatar, вот пример (упражнение). Кольцо Z₄ x Z₆ x Z₁₀. Для каких элементов выполняется равенство y+y = 0 ?

0

@kabenyuk

Двойка в этом кольце - не просто делитель нуля - а сам ноль: 2=0.

0

@Eru Iluvatar

Это потому что она характеристика этого кольца, как показывает запись ? По теореме о возведении скобки в степень, равную характеристике.

0

@Alex5

Да, характеристика этого кольца равна 2.

0

@kabenyuk

Ну то, что характеристика кольца с тождеством a^2=a равна двум - это да. Но вот формула возведения суммы в степень, равную характеристике поля, тут не при чем.

0