Показать, что кольцо является полем

@~~Eru Iluvatar~~ · 23.02.2015, 18:09. **Показов** 1558. **Ответов** 3

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Показать, что кольцо является полем тогда и только тогда, когда все его идеалы тривиальны.

Попробовал доказать от противного: если K - поле, то все его идеалы тривиальны.

Пусть K - поле, и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I\subset K$ - идеал, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I \neq K$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I \neq (0)$ .

Это значит, что для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in K$ и для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y \in I$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy \in I$ .

Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^{-1} y \in I$ , потому что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall x\in K \exists x^{-1} \in K$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I$ - идеал.

Таким образом по признаку подполя I - подполе в K.

На этом месте я завис.

Добавлено через 25 минут
Подумал еще чуть-чуть: если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in I$ , то одновременно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in K$ , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\exists x^{-1} \in K$ .

Т.к. I - идеал в K, то произведение любого элемента из идеала и любого элемента из K снова лежит в идеале. В том числе в идеале находится $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xx^{-1} = 1$ . А значит, это идеал единицы, который совпадает с K.

Байт · 23.02.2015, 23:09

Eru Iluvatar, ты доказал в одну сторону K - поле ==> Идеалы тривиальны
Теперь надо наоборот: Все идеалы тривиальны ==> K - поле.
Подсказка. Рассмотри идеал Kx

@~~Eru Iluvatar~~ · 23.02.2015, 23:30 **[ТС]**

Завтра сам докажу в обратную сторону.
В первом посте у меня верно только второй доказательство же? В первом ошибка и недоделанность?

@kabenyuk · 24.02.2015, 09:34

Сообщение от Eru Iluvatar

В первом посте у меня верно только второй доказательство же?

В первом посте у вас имеют смысл только последние две строки. Остальное (кроме первой) можно смело вычеркнуть.

@~~Eru Iluvatar~~ Заблокирован
		1
	Показать, что кольцо является полем 23.02.2015, 18:09. Показов 1558. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Показать, что кольцо является полем тогда и только тогда, когда все его идеалы тривиальны. Попробовал доказать от противного: если K - поле, то все его идеалы тривиальны. Пусть K - поле, и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I\subset K$ - идеал, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I \neq K$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I \neq (0)$ . Это значит, что для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in K$ и для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y \in I$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy \in I$ . Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^{-1} y \in I$ , потому что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall x\in K \exists x^{-1} \in K$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I$ - идеал. Таким образом по признаку подполя I - подполе в K. На этом месте я завис. Добавлено через 25 минут Подумал еще чуть-чуть: если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in I$ , то одновременно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in K$ , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\exists x^{-1} \in K$ . Т.к. I - идеал в K, то произведение любого элемента из идеала и любого элемента из K снова лежит в идеале. В том числе в идеале находится $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xx^{-1} = 1$ . А значит, это идеал единицы, который совпадает с K. 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	23.02.2015, 23:09	2
	Eru Iluvatar, ты доказал в одну сторону K - поле ==> Идеалы тривиальны Теперь надо наоборот: Все идеалы тривиальны ==> K - поле. Подсказка. Рассмотри идеал Kx 0

@~~Eru Iluvatar~~ Заблокирован
	23.02.2015, 23:30 [ТС]	3
	Завтра сам докажу в обратную сторону. В первом посте у меня верно только второй доказательство же? В первом ошибка и недоделанность? 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	24.02.2015, 09:34	4
	Сообщение от Eru Iluvatar В первом посте у меня верно только второй доказательство же? В первом посте у вас имеют смысл только последние две строки. Остальное (кроме первой) можно смело вычеркнуть. 0