Найти базис суммы и пересечения подпространств

@Cradle · Регистрация: 03.04.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Проболела. Пришла - контрольная. Моя не понимать.
Пожалуйста, помогите. Если еще и ответите на возникающие вопросы буду очень благодарна. Могу выслать шоколадку)
Непонятно, что за линейные оболочки и как мне их найти, если задано не через них.

@VSI · 11.05.2015, 19:25

Cradle, размещение задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом - запрещено Правилами форума (5.18). Задания и решения надо перепечатывать на форум (для набора формул есть встроенный редактор).

@Cradle · 11.05.2015, 19:30 **[ТС]**

Прошу прощения.
г) Подпространство L1 пространства R5 задано однородной системой уравнений:
L1 = {x1 − x2 = x2 + 3x3 − x5 = 2x1 + x2 − x3 = 0}.

Подпространство L2 пространства R5 порождено векторами
b1 = (−1, 2, 0, 1, −2), b2 = (0, −3, 5, 1, 1), b3 = (1, 4, −2, 1, 9).

Найдите базис суммы L1 + L2 этих подпространств

г) Подпространство L1 пространства R5 задано однородной системой уравнений:
L1 = {6x1 + 13x2 + 3x3 = 2x1 + 6x2 + x4 = 0},

а подпространство L2 порождено векторами b1 = (1, 0, 0, 1), b2 = (−2, 1, 1, 0), b3 = (0, 3, 2, 1).

Найдите базис пересечения L1 ∩ L2 этих подпространств.

iifat · 11.05.2015, 20:35

Вопрос-то в чём? Что такое линейная оболочка? Линейная оболочка системы векторов — это всевозможные линейные комбинации оных векторов.
Сумму подпространств удобнее искать по наборам порождающих векторов. Объединисть и сократить до базиса.
Пересечение подпространств удобнее искать по однородным системам: объединить и исключить лишние.
В первой задаче нужно перейти от однородной системы к базису подпространства: преобразовать по Гауссу к треугольной, вычеркнуть (буде появятся) нулевые строки, перенести часть переменных направо, объявить их свободныит, взять наборы значений свободных (1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., посчитать соответствующие зависимые — вот и базис.
Во второй задаче надо перейти от базиса к системе уравнений. Вводим скалярное произведение стандартным образом, ищем перпендикулярное пространство, записываем перепендикулярность в виде системы уравнений.
Как-то вот так.

@Cradle · 11.05.2015, 21:20 **[ТС]**

По первому. Нашла базис L1 по Гаусса, нашла ранг. То же самое с L2. Дальше не понял.

iifat · 12.05.2015, 07:12

Прекрасно. Теперь выписывай их один под другим в единую матрицу (по строкам, в смысле, каждая строка — один вектор) и Гауссом же исключай лишние.

@Cradle · 12.05.2015, 18:03 **[ТС]**

Поняла! Сделаю по Гаусса, решу как обычно. Это и будет базис суммы.
***

Вводим скалярное произведение стандартным образом, ищем перпендикулярное пространство, записываем перепендикулярность в виде системы уравнений.

Не понял. Поясните пожалуйста

iifat · 12.05.2015, 18:44

Сообщение от Cradle

решу как обычно

Не, решать не надо. Надо привести к треугольному виду и ненулевые строки — это как раз строки базиса в исходной матрице, понимаешь? К примеру, если в матрице остались первая, вторая, третья нулевая, четвёртая нет, пятая и шестая нулевые, то базисом будут первый, второй и четвёртый вектора.

Сообщение от iifat

Вводим скалярное произведение стандартным образом

Не понял, и не надо. Способ нехорош тем, что приходится вводить скалярное произведение. Должен быть нормальный. Пошёл думать.

@Cradle · 12.05.2015, 18:48 **[ТС]**

Хм. А базис Л1,Л2 так же нужно находить? Я сначала матрицу приводила к треугольному виду, потом из оставшихся ненулевых строк составляла систему уравнений и частное решение системы через 0/1 на свободных брала за базис.

Спасибо, что помогаете

iifat · 12.05.2015, 21:04

Сообщение от Cradle

А базис Л1,Л2 так же нужно находить?

О чём конкретно речь? Если у нас есть система уравнений, задающая линейное подпространство, то для нахождения базиса её надо решить. Если нам дан набор векторов, порождающих подпространство, и надо выделить из него базис, то решать ничего не надо. Просто записываем матрицу, методом Гаусса приводим её к треугольному виду и оставляем только те вектора, из которых были составлены строки, оставшиеся ненулевыми.

@Cradle · 12.05.2015, 21:27 **[ТС]**

А, спасибо). Я оба варианта сделала с нахождением базиса, как на систему уравнений.
***
А про второе уже можете что-то сказать?

@Alex5 · 12.05.2015, 21:50

Сообщение от Cradle

А про второе уже можете что-то сказать?

Если L2 задано системой уравненений. Тогда объединение множества уравнений для L1 и уравнений для L2 задаёт пересечение L1 ∩ L2.

Таким образом, можно сначала найти для L2 систему уравнений.

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от iifat

Во второй задаче надо перейти от базиса к системе уравнений. Вводим скалярное произведение стандартным образом, ищем перпендикулярное пространство, записываем перепендикулярность в виде системы уравнений.
Как-то вот так.

Впрочем, iiflat, это уже написал.

@Cradle · 12.05.2015, 22:07 **[ТС]**

Не понял. Т.е. нужно через систему Гаусса привести матрицу к ненулевым строкам и найти систему уравнений и уже найти базис этой системы, как базис Л2?

@helter · 13.05.2015, 01:29

Сообщение от iifat

Не понял, и не надо. Способ нехорош тем, что приходится вводить скалярное произведение. Должен быть нормальный. Пошёл думать.

Я думаю, по вычислениям это и есть нормальный. А трактовать его можно и без скалярного произведения, через спаривание.

iifat · 13.05.2015, 04:57

Сообщение от Cradle

Не понял. Поясните пожалуйста

Ну хорошо, с какого именно места не понял? Про скалярное произведение и его свойства знаешь?

@Cradle · 13.05.2015, 13:07 **[ТС]**

Во второй задаче надо перейти от базиса к системе уравнений.

Понял

Вводим скалярное произведение стандартным образом,

Не понял. Про скалярное знаю, но как вводить и что значит стандартным образом - не знаю.

ищем перпендикулярное пространство,

Не понял. Вообще не сталкивалась, или это транспонирование?

записываем перепендикулярность в виде системы уравнений.

Понял

iifat · 13.05.2015, 16:18

Сообщение от Cradle

но как вводить и что значит стандартным образом - не знаю

А про то, что скалярное произведение можно ввести кучей разных способов, знаешь? Стандартный — ну, может, я зря так выразился. В общем, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_1, x_2, \dots,x_n)\cdot(y_1, y_2, \dots,y_n)=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$

Сообщение от iifat

ищем перпендикулярное пространство

Ну, есть у нас подпространство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L$ . Перпендикулярное подпространство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L^\bot$ — множество векторов, перпендикулярных любому вектору из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L$ . Легко доказать, что это множество — действительно подпространство, причём, зная базис $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L$ , легко написать определение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L^\bot$ в виде системы. Потом из системы находим базис $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L^\bot$ и, зная его — определение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L$ в виде системы.
Только не стоит всего этого делать

Я сообразил.
Возьмём для примера два вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e_1=(1,0,1)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e_2=(0,1,2)$ и попробуем вывести из этого определение натянутого на них подпространства в виде системы.
Наше подпространство состоит из всевозможных векторов вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha_1e_1+\alpha_2e_2$ . Чтобы проверить, относится ли наш вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ к подпространству, надо решить систему
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{cases}\alpha_1&&&=&x_1\\&&\alpha_2&=&x_2\\\alpha_1&+&2\alpha_2&=&x_3\end{cases}\ \left|\ \begin{cases}\alpha_1&&&=&x_1\\&&\alpha_2&=&x_2\\\0&&&=&x_3-x_1-2x_2\end{cases}\right.<br />$
Второе получено из первого Гауссом. Третья строчка — как раз уравнение, которое задаёт наше подпространство.

Добавлено через 6 минут
Забыл добавить: первая система составлена из базисных векторов по столбцам.

@kabenyuk · 13.05.2015, 16:27

По поводу базиса пересечения. Не требуется никакого спаривания или скалярного произведения для решения таких задач. Достаточно знать базисы подпространств и умения решать системы. В данном конкретном случае задача простая, так как первое подпространство одномерно и его базис - это вектор а=(1,0,-2,-2). Понятно, что дальше просто.

Если а₁, ..., а_k; b₁, ..., b_l - базисы подпространств, то для вычисления базиса пересечения необходимо найти ФСР системы линейных уравнений от k+l неизвестных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1a_1+\ldots+x_ka_k=y_1b_1+\ldots+y_lb_l.$
Затем использовать или иксы или игреки.

iifat · 13.05.2015, 16:53

ФСР — это кто? Не помню такого сокращения.
В принципе да, но базис-то, базис либо систему из твоей как найти? Напоминаю: решения её — не координаты вектора!

@kabenyuk · 13.05.2015, 17:12

Сообщение от iifat

ФСР — это кто?

Фундаментальная система решений - базис пространства решений. Это конечно, не координаты векторов. Координаты получатся, когда будем подставлять найденные решения в левую скажем часть. Обратите внимание, что эта система задает как раз общие векторы наших подпространств.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .
Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025

@Cradle 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.04.2015 Сообщений: 51

	Найти базис суммы и пересечения подпространств 11.05.2015, 19:24. Показов 20449. Ответов 32 Метки нет (Все метки) Проболела. Пришла - контрольная. Моя не понимать. Пожалуйста, помогите. Если еще и ответите на возникающие вопросы буду очень благодарна. Могу выслать шоколадку) Непонятно, что за линейные оболочки и как мне их найти, если задано не через них. 0

@VSI Модератор $Эксперт по математике/физике$ 5288 / 4070 / 1392 Регистрация: 30.07.2012 Сообщений: 12,483
	11.05.2015, 19:25
	Cradle, размещение задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом - запрещено Правилами форума (5.18). Задания и решения надо перепечатывать на форум (для набора формул есть встроенный редактор). 0

@Cradle 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.04.2015 Сообщений: 51
	11.05.2015, 19:30 [ТС]
	Прошу прощения. г) Подпространство L1 пространства R5 задано однородной системой уравнений: L1 = {x1 − x2 = x2 + 3x3 − x5 = 2x1 + x2 − x3 = 0}. Подпространство L2 пространства R5 порождено векторами b1 = (−1, 2, 0, 1, −2), b2 = (0, −3, 5, 1, 1), b3 = (1, 4, −2, 1, 9). Найдите базис суммы L1 + L2 этих подпространств г) Подпространство L1 пространства R5 задано однородной системой уравнений: L1 = {6x1 + 13x2 + 3x3 = 2x1 + 6x2 + x4 = 0}, а подпространство L2 порождено векторами b1 = (1, 0, 0, 1), b2 = (−2, 1, 1, 0), b3 = (0, 3, 2, 1). Найдите базис пересечения L1 ∩ L2 этих подпространств. 0

iifat 2890 / 1925 / 208 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,617
	11.05.2015, 20:35
	Вопрос-то в чём? Что такое линейная оболочка? Линейная оболочка системы векторов — это всевозможные линейные комбинации оных векторов. Сумму подпространств удобнее искать по наборам порождающих векторов. Объединисть и сократить до базиса. Пересечение подпространств удобнее искать по однородным системам: объединить и исключить лишние. В первой задаче нужно перейти от однородной системы к базису подпространства: преобразовать по Гауссу к треугольной, вычеркнуть (буде появятся) нулевые строки, перенести часть переменных направо, объявить их свободныит, взять наборы значений свободных (1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., посчитать соответствующие зависимые — вот и базис. Во второй задаче надо перейти от базиса к системе уравнений. Вводим скалярное произведение стандартным образом, ищем перпендикулярное пространство, записываем перепендикулярность в виде системы уравнений. Как-то вот так. 1

@Cradle 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.04.2015 Сообщений: 51
	11.05.2015, 21:20 [ТС]
	По первому. Нашла базис L1 по Гаусса, нашла ранг. То же самое с L2. Дальше не понял. 0

iifat 2890 / 1925 / 208 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,617
	12.05.2015, 07:12
	Прекрасно. Теперь выписывай их один под другим в единую матрицу (по строкам, в смысле, каждая строка — один вектор) и Гауссом же исключай лишние. 1

@Cradle 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.04.2015 Сообщений: 51
	12.05.2015, 18:48 [ТС]
	Хм. А базис Л1,Л2 так же нужно находить? Я сначала матрицу приводила к треугольному виду, потом из оставшихся ненулевых строк составляла систему уравнений и частное решение системы через 0/1 на свободных брала за базис. Спасибо, что помогаете 0

@Cradle 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.04.2015 Сообщений: 51
	12.05.2015, 21:27 [ТС]
	А, спасибо). Я оба варианта сделала с нахождением базиса, как на систему уравнений. *** А про второе уже можете что-то сказать? 0

@Cradle 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.04.2015 Сообщений: 51
	12.05.2015, 22:07 [ТС]
	Не понял. Т.е. нужно через систему Гаусса привести матрицу к ненулевым строкам и найти систему уравнений и уже найти базис этой системы, как базис Л2? 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4184 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	13.05.2015, 16:27
	По поводу базиса пересечения. Не требуется никакого спаривания или скалярного произведения для решения таких задач. Достаточно знать базисы подпространств и умения решать системы. В данном конкретном случае задача простая, так как первое подпространство одномерно и его базис - это вектор а=(1,0,-2,-2). Понятно, что дальше просто. Если а₁, ..., а_k; b₁, ..., b_l - базисы подпространств, то для вычисления базиса пересечения необходимо найти ФСР системы линейных уравнений от k+l неизвестных $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1a_1+\ldots+x_ka_k=y_1b_1+\ldots+y_lb_l.$ Затем использовать или иксы или игреки. 1

iifat 2890 / 1925 / 208 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,617
	13.05.2015, 16:53
	ФСР — это кто? Не помню такого сокращения. В принципе да, но базис-то, базис либо систему из твоей как найти? Напоминаю: решения её — не координаты вектора! 0