@Shuklin Sergey

Ступор с таким уравнением. Задача из раздела уравнения сводящиеся к квадратным с помощью замены.
Помогите плиз.
Решение х=1 очевидное, в лоб раскрыть скобки, поделить на х-1 и из кубического искать по Виета еще хотя бы один корень - не вариант, этого на данный момент в школе не учили.

А вот и само уравнение:

0

echs

Меня конечно заинтересовало ваше уравнение, но я его пока не решил. Но определил некоторые мелочи.
1. Левая часть уравнения есть сумма двух квадратов.
2. Второй квадрат - это гипербола, возрастающая на всей области своего определения.
3. Корень x=1 единственный положительный корень этого уравнения.
4. Понижение степени этого уравнения пока ничего не дало.

Пока все.
Но сегодня воскресенье и мне это уравнение симпатично.

1

@Shuklin Sergey

Спасибо за интерес.
Мне это уравнение тоже не дает покоя!
В ответ на Ваши наблюдения:
1. Кроме того правая часть тоже два квадрата - 1 и 25/49. Отсюда и выходит очевидный корень х=1.
2. С возрастанием Вы немного поторопились, либо я не понял что за "второй квадрат". Там Область определения действительные числа с выколотой точкой, два промежутка возрастания, и один убывания (подсмотрел в Вольфрамальфа - это вообще не школьный случай).
3. Согласен.
4. Что именно с понижением Вы пробовали?

Раскрыть "влоб" и свести к уравнению 4 степени, поделить на х-1, дальше по Виета кажется можно найти второй рациональный корень -5/7. Ну а дальше дискриминант меньше нуля...
Но такое решение не очень красивое((

0

echs

Исходное уравнение сведено к кубическому



(Это точно. Проверил)
Ничего не сокращается.

Добавлено через 7 минут
Проверил на калькуляторе
x = -5/7 - корень уравнения.

0

@Shuklin Sergey

Это кубическое вышло после сокращения на (х-1) ?

0

echs

Понизил еще на единицу



Это уравнение имеет только комплексные корни

Добавлено через 4 минуты
Да. Я сначала делил на x - 1
Получил кубическое уравнение
Потом уже его делил на 7x + 5
Получил квадратное уравнение

0

@Shuklin Sergey

Такое решение я знаю, и оно не красивое. Интересует какой-то способ с хитрой заменой переменной)

0

Байт

Вводя новую переменную y = 7x/(5+2x) получаем системку
(x²-1) + (y²-1) = 0
5y - 7x + 2xy = 0
Может быть на этом пути можно что-то получить?

Добавлено через 5 минут
Угу.
Последнее уравнение записываем в виде 7x(y-1) - 5y(x-1) = 0
Пока все очччень красиво, на решения-то нет...

0

echs

Shuklin Sergey,
Я нашел интересную подстановку
5x/(2x+5) = -y
Сделав ее получится уравнение, копия первого!
То есть имеет те же самые корни что и исходное уравнение. Пока думаю, как использовать этот удивительный факт.

Добавлено через 20 минут
Я нашел решение
1. Первые два слагаемых запиши как квадрат разности.
2. И сделай подстановку 2x^2/(2x+5)=y
3. Получится квадратное уравнение относительно y.
4. Реши его. Найдешь y и далее x
Удачи вам!

2

@Shuklin Sergey

Спасибо! Реально красивая подстановка получается!
Но решение явно не тривиальное. Даже для математической школы (давалось на контрольной).

0

@VSI

Shuklin Sergey, и чтобы проверить решение...

Изображения

 

1

@Shuklin Sergey

Спасибо, с вольфрамом знаком, решения уже давно знаю)

0

@VSI

.

0

@Shuklin Sergey

Имелось ввиду, что в подобной программе уже нашел ответы)

0

@Puporev

А на 0 делить нельзя.

0

@Shuklin Sergey

А мы не делим на ноль. Мы раскладываем многочлен на множители, 7 класс алгебра.

0

@Puporev

Вы же сами пишете

0

@Shuklin Sergey

Ну так, а в чем проблема: если мы узнали, что 1 является корнем уравнения, то (х-1) является одним из множителей, на которые раскладывается многочлен.
Дальше для разложения на множители просто делим многочлен на многочлен.

1

Байт

Это вовсе не деление на 0. Это деление многочлена на многочлен. А то, что знаменатель в какой-то точке равен нулю, не имеет никакого значения (для деления многочленов). Стандартнейший метод решения уравнений.
Правда иногда (и по другому поводу) говорятся всякие слова, типа того, что мы можем корень потерять. Но в данном случае это совершенно не важно, ибо корень мы НАШЛИ. Слегка точнее - одним из делителей многочлена.

0