@nikolAndr

Случайно обнаружил любопытное свойство натуральных чисел. Проверил математические энциклопедии, но нигде не встретил упоминание об этом свойстве натуральных чисел. Многие считают, что число 0 входит в натуральные числа. Другие считают, что число 0 не является натуральным числом. Так вот, обнаруженное свойство натуральных чисел выполняется только для натурального ряда чисел, в который число 0 не входит, и не выполняется для натурального ряда чисел, в который включено число 0.
Рассмотрим операции сложения и вычитания на отрезке ряда натуральных чисел 1, 2, ..., N. Пусть X и Y - натуральные числа от 1 до N.
Обозначим через Z - результат сложения натуральных чисел X и Y. Потребуем от натурального числа Z выполнения неравенства 0 < Z < N + 1, то есть Z должно быть натуральным числом от 1 до N.
Z = X + Y
Если Z < N + 1, то наше требование выполнено. Минимальная величина суммы в этом случае равна 2, а максимальная величина суммы равна N. Таким образом, число Z в этом случае изменяется от 2 до N.
Если Z > N, то наше требование не выполнено. В этом случае вычтем из суммы число N. Получим Z = X + Y - N. Поскольку максимальная величина суммы X + Y равна 2*N, то Z = X + Y - N не превосходит N. Поскольку вычитание числа N из суммы X + Y мы производим только в том случае если эта сумма больше N (равна N + 1, N + 2, ..., 2 * N), то минимальная величина Z = X + Y - N = N + 1 - N = 1. Таким образом, число Z изменяется от 1 до N.
Рассмотрим нахождения чисел X или Y из числа Z.
Здесь возможны два варианта:
1) X = Z - Y = X + Y - Y = X, это обычное вычитание.
2) X = Z - Y = X + Y - N - Y = X - N. Поскольку максимальная величина числа X равна N, то X - N < 1. Следовательно, для получения правильного результата мы должны прибавить к разнице число N. В этом случае X = Z - Y = X + Y - N - Y + N = X.
В действительности нам не нужно знать о том, вычитали мы из суммы Z число N или не вычитали. Достаточно проверять результат вычитания Z - Y на выполнение условия Z - Y < 1. Если неравенство выполняется, то необходимо прибавить число N. Если неравенство не выполняется, то ничего делать не надо.
Аналогично обстоит дело с вычитанием натуральных чисел.
В целом, число ноль не нужно для операций вычитания и сложения с числами отрезка натурального ряда от 1 до N. Достаточно проверять результат операции на условие 0 < Z < N + 1. Если результат операции меньше единицы, то к результату операции необходимо прибавить число N. Если результат операции больше N, то из результата операции необходимо вычесть число N.
Это свойство выполняется только для отрезка ряда натуральных чисел от 1 до N и не выполняется для отрезка ряда чисел от 0 до N, а также для любого отрезка ряда натуральных чисел, начинающегося с числа большего 1.
Прошу математиков и других специалистов высказать свое мнение о важности обнаруженного свойства. Согласен на шнобелевскую премию, поэтому прошу высказываться по-существу. В конце дискуссии я покажу вариант использования этого свойства в практической деятельности людей.

0

Байт

nikolAndr, посмотрите в сторону сравнения по модулю, арифметики по модулю, кольца Z_n

0

@nikolAndr

Спасибо за совет. Только проблема состоит в том, что остатки от деления на число N изменяются от 0 до N - 1. А предложенное свойство выполняются для чисел от 1 до N. Поэтому арифметика вычетов (остатков) не совпадает с арифметикой обнаруженного свойства. Возможно, Вам покажется это несущественным, однако это не так.

0

echs

nikolAndr,
Это очень хорошо, что вы подвергли сомнению основы теории чисел. И как вы верно заметили о числе 0, его можно либо считать натуральным числом, либо нет. Но это условность. Здесь есть и свои плюсы и свои минусы. Выигрыша для математики особого нет. И наш мир от этого не рухнет.

0

Байт

geh, Я почти всю жизнь был "Не_ноль_натуралом". Т.е., как в школе учили, начинал натуральные с 1. Однако, в последнее время все чаще склоняюсь к тому, что удобнее считать 0 - натуральным. Это как пустое множество. Которое в ТМ такое же, как и все остальные. К тому же в моем любимом языке Си нумерация элементов массива начинается с нуля. Т.е. включение нуля в натуральные как-то (где-то) лучше организует пространство. Но, конечно, все это условности и сила привычки. И спор "кто натуральнее?" - бессмысленен. Но благодаря разным трактовкам лучше говорить конкретно "целые положительные" - "целые неотрицательные". Длиннее, зато точнее.

1

@nikolAndr

Я с Вами абсолютно согласен. Все зависит от решаемых на практике задач. Хотя обнаруженное свойство будет весьма необходимо теоретикам.

0

Байт

0

@nikolAndr

0

Байт

0

iifat

Это — проблема остатков. Ваша проблема в том, что вы не читали толком учебников. Ибо тогда трудно было б пропустить тот факт, что в арифметике остатков рассматриваются любые представители соответствующих классов. К примеру, в качестве набора по модулю 3 можно взять 0, 1, 2, можно 1, 2, 3, можно 4, 8, 12.

1

@nikolAndr

Спасибо за информацию. Если Вам не трудно, то не могли бы на конкретных примерах продемонстрировать сказанное?

0

iifat

А это я сделал что?

0

@nikolAndr

ДОПОЛНЕНИЕ К ОСНОВНОМУ ТЕКСТУ
Ранее я не обо всех особенностях натуральных чисел от 1 до N рассказал.
Арифметика довольна странная.
Пусть X, Y и Z - натуральные числа от 1 до N.
1) X + N > N следовательно X + N - N = X
2) X - N < 1 следовательно X - N + N = X
3) X - X < 1 следовательно X - X + N = N
4) N + N > N следовательно N + N - N = N
5) N - N < 1 следовательно N - N + N = N
6) X + Y = Z существует при всех X, Y, Z
7) X - Y = Z существует при всех X, Y, Z
8) Если X + Y = Z, то X = Z - Y и Y = Z - X при всех X, Y, Z
9) Если X - Y = Z, то X = Z + Y и Y = Z - X при всех X, Y, Z
Как видим, число N выполняет функцию нуля и в то же время больше нуля.
Зададимся вопросом: как наглядно описать представленную арифметику.
По моему мнению, адекватным описанием является арифметика на замкнутой линии. Возьмем обычное изображение числового ряда в виде прямой линии, имеющей начало в виде нуля и числа 1, 2, ..., N через равные промежутки. Это хорошо известная числовая ось с заданным направлением.
Обрежем эту числовую ось по числу N и свернем так, чтобы число N оказалось на месте нуля. В результате у нас образуется замкнутая линия с числами от 1 до N.
Операции сложения будем осуществлять перемещением по линии вправо, а операции вычитания будем осуществлять перемещением по линии влево. Теперь при выполнении операций сложения и вычитания не нужно вычитать число N или прибавлять число N.
Таким образом, описанная нами арифметика является арифметикой на замкнутой линии. Обычная арифметика является арифметикой на прямой линии.
Пример:
N = 10, замкнутая линия от 1 до 10. Положительное направление вправо, отрицательное направление влево.
2 + 3 = ?
Имеем 2, начинаем движение вправо с отсчетом от следующего за 2 числа. Получим 3, 4, 5. Итого 2 + 3 = 5
2 + 10 = ?
Имеем 2, начинаем движение вправо с отсчетом от следующего за 2 числа. Получим 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2. Итого 2 + 10 = 2
4 - 3 = ?
Имеем 4, начинаем движение влево с отсчетом от предыдущего 4 числа. Получим 3, 2, 1. Итого 4 - 3 = 1
4 - 6 = ?
Имеем 4, начинаем движение влево с отсчетом от предыдущего 4 числа. Получим 3, 2, 1, 10, 9, 8. Итого 4 - 6 = 8
Обращаю внимание на то, что аксиомы - это субъективные истины, примаемые нами в качестве истин без доказательства в силу отсутствия у нас фактов противоречия этих истин практике. Законы природы объективны, но формулирование законов природы субъективны и потому не точны и с течением времени подлежат уточнению или даже отрицанию. В этом и состоит смысл утверждения о безграничности познания природы.
Аксиомы числового ряда, сформулированные для чисел на прямой линии не обязаны выполняться для чисел натурального ряда на замкнутой линии.
Прошу уважаемых коллег высказаться по изложенному. Прошу не ссылаться на какие-то математические понятия без конкретных примеров. Если хотите сказать, что все это описано, то приведите пример, показывающий выполнение всех 9 свойств, представленных выше. Так будет справедливо: раз Вы говорите, что все ранее опубликовано, то Вы это и докажите наглядно.

0

iifat

Как бы это помягче намекнуть, что мы на открытом форуме и все правила поведения прописаны в правилах форума? Перевожу на общечеловеческий: я тут всякой фигни понаписал — а вы будьте добры переписывать сюда учебники, начиная с третьего класса средней школы.
Человеку, который хочет узнать что-то новое, видите ли, голые математические термины весьма полезны: они помогают сузить и конкретизировать поиск — в гугле ли, в библиотеке, в книжном магазине. Дабы сравнить своё придуманное с наработками человечества и наметить направления размышлений. Ну или, хотя бы, научиться не нести полную чушь. Вот такую (конкретный пример): Или такую:

1

Байт

0

@nikolAndr

Уважаемые коллеги! Спасибо за ответы. Обращаю Ваше внимание, что в формуле $X + Y = Z$ переменные $X$, $Y$, $Z$ изменяются от $1$ до $N$. Сумма изменяется от $1$ до $N$. Об этом в самом начале дополнения сказано.

Добавлено через 21 час 17 минут
Практическое использование обсуждаемого свойства натуральных чисел.
Рассмотрим преобразование одного текста в другой текст. Для демонстрационных целей ограничимся преобразованием слова "Ад" в слово "Агат".
ПЕРВЫЙ ШАГ - вычисление собственного алфавита слова "Ад". Собственный алфавит - это различне символы, которые встречаются в слове "Ад". Таких символов 2 - буква "А" и буква "д".
ВТОРОЙ ШАГ - вычисление собственного алфавита слова "Агат". Таких символов 4 - буква "А", буква "г", буква "а", буква "т".
ТТНТИЙ ШАГ - вычисление собственного алфавита обоих слов. Таких символов 5 - буква "А", буква "д", буква "г", буква "а", буква "т".
ЧЕТВЕРТЫЙ ШАГ - запишем собственный алфавит обох слов в одну строчку и перенумеруем символы алфавита. Номера букв - это адреса этих букв в алфавите.
А-1 д-2 г-3 а-4 т-5
Длина алфавита N = 5
ПЯТЫЙ ШАГ - вычисление вектора приращения, позволяющего преобразовать слово "Ад" в слово "Агат". Вектор приращения обозначим через V().
1) Берем первую букву слова "Ад" - это буква "А". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 1. Берем первую букву слова "Агат" - это буква "А". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 1. Находим разность адресов 1 - 1 = 0. Это меньше 1, поэтому прибавляем к разности N = 5. Получим 0 + 5 = 5. Записываем это число на первое место в вектор приращения V(1) = 5.
2) Берем вторую букву слова "Ад" - это буква "д". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 2. Берем вторую букву слова "Агат" - это буква "г". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 3. Находим разность адресов 3 - 2 = 1. Это число больше 0 и меньше 6, поэтому записываем это число на второе место в вектор приращения V(2) = 1.
3) Поскольку первое закончилось, то начинаем использовать это слово сначала. Берем первую букву слова "Ад" - это буква "А". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 1. Берем третью букву слова "Агат" - это буква "а". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 4. Находим разность адресов 4 - 1 = 3. Это число больше 0 и меньше 6, поэтому записываем это число на третье место в вектор приращения V(3) = 3.
4) Берем вторую букву слова "Ад" - это буква "д". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 2. Берем четвертую букву слова "Агат" - это буква "т". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 5. Находим разность адресов 5 - 2 = 3. Это число больше 0 и меньше 6, поэтому записываем это число на четвертое место в вектор приращения V(4) = 3.
Вектор приращений содержит 4 числа V()={5,1,3,3}
ШЕСТОЙ ШАГ - преобразование слова "Ад" в слово "Агат".
1) Берем первую букву из слова "Ад" - это буква "А". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 1. Прибавляем к этому адресу первое число из вектора приращения - это число 5. 1 + 5 = 6. Поскольку 6 > N = 5, то вычитаем число N. 6 - 5 = 1. Это адрес первой буквы второго слова в общем алфавите. По этому адресу находится буква "А" - это первая буква второго слова.
2) Берем вторую букву из слова "Ад" - это буква "д". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 2. Прибавляем к этому адресу второе число из вектора приращения - это число 1. 2 + 1 = 3. Поскольку 3 больше 0 и меньше 6, то ничего больше не делаем. Это адрес второй буквы второго слова в общем алфавите. По этому адресу находится буква "г" - это вторая буква второго слова.
2) Поскольку первое закончилось, то начинаем использовать это слово сначала. Берем первую букву из слова "Ад" - это буква "А". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 1. Прибавляем к этому адресу третье число из вектора приращения - это число 3. 1 + 3 = 4. Поскольку 4 больше 0 и меньше 6, то ничего больше не делаем. Это адрес третьей буквы второго слова в общем алфавите. По этому адресу находится буква "а" - это третья буква второго слова.
3) Берем вторую букву из слова "Ад" - это буква "д". Находим адрес этой буквы в общем алфавите. Это число 2. Прибавляем к этому адресу четвертое число из вектора приращения - это число 3. 2 + 3 = 5. Поскольку 5 больше 0 и меньше 6, то ничего больше не делаем. Это адрес четвертой буквы второго слова в общем алфавите. По этому адресу находится буква "т" - это четвертая буква второго слова.
Мы вычислили второе слово "Агат" из первого слова "Ад". Это действие мы называем преобразованием слова "Ад" в слово "Агат".
Как видите для преобразования необходимо использовать описанное ранее свойство натуральных чисел. Обратите внимание: адреса в алфавите должны начинаться с 1. Если адрес в алфавите начинается с 0, то алгоритм не работает. Это связано с тем, что прибавление 0 не изменяет адрес. Таким образом, описанное свойство натуральных чисел - это арифметика адресов в алфавитах при преобразовании текстов.
Преобразование текстов не является шифрованием, так как целью шифрования является сокрытие смысла текста. А у нас целью преобразования является получение нового текста с новым смыслом и новым размером. Кроме того, если бы этот алгоритм был алгоритмом шифрования, то государство давно бы принудительно выкупила бы его в свою собственность. У государства имеются более мощные и надежные средства защиты, чем наш алгоритм преобразования текстов. Наш алгоритм предназначен для защиты частной информации.
Преобразование текста можно производить самого в себя, в том числе можно получить весь текст из любой буквы текста. Это является изоморфизмом процесса выращивания организма из одной клетки. Конечно, в живой природе все намного сложнее, но общая схема, скорее всего, неизменна.
Прошу коллег высказаться, а также задать интересующие Вас вопросы.

0

Tklwegsd

Не понятно, чем отличается описанная алгебра, от банального сложения по модулю, где операция сложения определена как:
a `+` b = (a + b) mod N, где a и b принадлежит интервалу от 0 до N-1.

Посты выше читал, из них либо это не очевидно, либо отличий нет.

Добавлено через 5 минут
Практический пример тоже какой-то абсурдный. Какой смысл выполнять алгоритм преобразования текста, когда конечный результат уже известен, и даже является исходными данными.

0