Привести к каноническому виду квадратичную форму

@Memow · Регистрация: 09.12.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Привести к каноническому виду квадратичную форму:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-{{x}_{1}}^{2} + 6{x}_{1}{x}_{2} + {{2x}_{2}}^{2}$

Метод Лагранджа видел, пробывал использовать не получается. На матричном методе у меня дробные числа выходят странные. Прошу помощи(

@kabenyuk · 17.03.2016, 09:40

Вот почти ответ
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-(x_1-3x_2)^2+11x_2^2$

@Memow · 17.03.2016, 13:37 **[ТС]**

Я составил матрицу:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}-1 & 3 & 0\\ 3 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Далее произвел вычитание:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}-1-\lambda & 3 & 0\\ 3 & 2-\lambda & 0\\ 0 & 0 & -\lambda\end{pmatrix}$

В итоге получил следующее:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-{\lambda }^{3} +{\lambda }^{2} +2\lambda$

значения вышли следующие:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda = -1; 0 ; 2.$

Но что делать далее? Подставлять в матрицу все 3 варианта поочередно? Как узнать какой из них верный?
Простите за столько вопросов но оч хочу разобраться.

@kabenyuk · 17.03.2016, 15:13

Сообщение от Memow

Но что делать далее?

Сначала объясните откуда и зачем у вас матрица третьего порядка, а?

@Memow · 17.03.2016, 15:17 **[ТС]**

На всех остальных примерах была матрица 3 порядка, я думал что ее дополнить нужно. Примеров с квадратной матрицей я не нашел. Да и пробовал решать - ответ выходил дробный.

@kabenyuk · 17.03.2016, 15:25

Сообщение от Memow

На всех остальных примерах была матрица 3 порядка

Да, уж. Примеры надо творчески обдумывать, а не копировать. Чем вас не устраивает решение, указанное мною?

@Memow · 17.03.2016, 17:33 **[ТС]**

Да меня то решение устраивает, просто как вы пришли к нему?
Я решал матричным методом и в итоге получилось что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lambda }^{2} - \lambda -11 = 0$ . Корни у уравнения дробные, что сильно смущает. В связи с этим и решил что что то неверно делаю.

Добавлено через 34 минуты
Понял как вы пришли к такому решению, буду разбираться что дальше. Спасибо!

Добавлено через 51 минуту
Все равно застопорился. Ожидаю помощи

Добавлено через 32 минуты
Получилось что-то вроде:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{3}{2}({{x}^{2}}_{1} + \sqrt{5}{{x}^{2}}_{2})$
Метод решения был матричный.
Так же построил матрицу, вычел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ из нее. Получил уравнения и нашел корни, которые подставил в итоговое уравнение.
Может кто-нибудь оценить правильность действий и ответа?

@kabenyuk · 17.03.2016, 17:57

Сообщение от Memow

просто как вы пришли к нему?

Это в точности метод Лагранжа в простонародье именуемый методом выделения полных квадратов. Здесь все заканчивается в один (в один!, Карл) шаг.

Теперь к вашему "что-то вроде". Это несовместимо с моим результатом по следующей причине. Есть такое утверждение в теории вещественных квадратичных, называемое законом инерции. Оно утверждает, что хотя канонический вид сильно неоднозначен, но... Но число положительных квадратов не зависит от способа приведения к каноническому виду. Это первое.

Второе. Метод, который вы пытаетесь использовать существенно более сложен, чем вы думаете. После того, как вы вычислили характеристические числа, вы обязаны вычислить собственные векторы, соответствующие каждому из этих чисел, затем провести процесс ортогонализации (в этом вашем случае он может быть пропущен), а затем еще и пронормировать найденные векторы. И только после этого из координат этих векторов составляем матрицу замены (матрицу замены!!). Канонический вид впрочем может быть выписан немедленно после вычисления характеристических чисел. Все зависит от того, какая задача стоит перед вами.

И наконец, третье. Характеристические числа здесь довольно безобразны по той простой причине, что ваша задача проще. А вовсе не приведение к главным осям - так называют метод, который вы пытаетесь реализовать. При том, что не умеете вычислить правильно характеристические числа.

Во какую простыню накатал. Прямо хоть сейчас в учебник.

@Memow · 17.03.2016, 18:06 **[ТС]**

То есть по факту можно писать условие = преобразование = ваш ответ?
Я просто думал задача с подковыркой, спасибо большое)

@Memow 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2012 Сообщений: 46
		1
	Привести к каноническому виду квадратичную форму 16.03.2016, 16:03. Показов 2068. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Привести к каноническому виду квадратичную форму: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-{{x}_{1}}^{2} + 6{x}_{1}{x}_{2} + {{2x}_{2}}^{2}$ Метод Лагранджа видел, пробывал использовать не получается. На матричном методе у меня дробные числа выходят странные. Прошу помощи( 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	17.03.2016, 09:40	2
	Вот почти ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-(x_1-3x_2)^2+11x_2^2$ 1

@Memow 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2012 Сообщений: 46
	17.03.2016, 13:37 [ТС]	3
	Я составил матрицу: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}-1 & 3 & 0\\ 3 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ Далее произвел вычитание: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}-1-\lambda & 3 & 0\\ 3 & 2-\lambda & 0\\ 0 & 0 & -\lambda\end{pmatrix}$ В итоге получил следующее: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-{\lambda }^{3} +{\lambda }^{2} +2\lambda$ значения вышли следующие: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda = -1; 0 ; 2.$ Но что делать далее? Подставлять в матрицу все 3 варианта поочередно? Как узнать какой из них верный? Простите за столько вопросов но оч хочу разобраться. 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	17.03.2016, 15:13	4
	Сообщение от Memow Но что делать далее? Сначала объясните откуда и зачем у вас матрица третьего порядка, а? 1

@Memow 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2012 Сообщений: 46
	17.03.2016, 15:17 [ТС]	5
	На всех остальных примерах была матрица 3 порядка, я думал что ее дополнить нужно. Примеров с квадратной матрицей я не нашел. Да и пробовал решать - ответ выходил дробный. 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	17.03.2016, 15:25	6
	Сообщение от Memow На всех остальных примерах была матрица 3 порядка Да, уж. Примеры надо творчески обдумывать, а не копировать. Чем вас не устраивает решение, указанное мною? 1

@Memow 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2012 Сообщений: 46
	17.03.2016, 17:33 [ТС]	7
	Да меня то решение устраивает, просто как вы пришли к нему? Я решал матричным методом и в итоге получилось что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lambda }^{2} - \lambda -11 = 0$ . Корни у уравнения дробные, что сильно смущает. В связи с этим и решил что что то неверно делаю. Добавлено через 34 минуты Понял как вы пришли к такому решению, буду разбираться что дальше. Спасибо! Добавлено через 51 минуту Все равно застопорился. Ожидаю помощи Добавлено через 32 минуты Получилось что-то вроде: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{3}{2}({{x}^{2}}_{1} + \sqrt{5}{{x}^{2}}_{2})$ Метод решения был матричный. Так же построил матрицу, вычел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ из нее. Получил уравнения и нашел корни, которые подставил в итоговое уравнение. Может кто-нибудь оценить правильность действий и ответа? 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	17.03.2016, 17:57	8
	Сообщение было отмечено Memow как решение Решение Сообщение от Memow просто как вы пришли к нему? Это в точности метод Лагранжа в простонародье именуемый методом выделения полных квадратов. Здесь все заканчивается в один (в один!, Карл) шаг. Теперь к вашему "что-то вроде". Это несовместимо с моим результатом по следующей причине. Есть такое утверждение в теории вещественных квадратичных, называемое законом инерции. Оно утверждает, что хотя канонический вид сильно неоднозначен, но... Но число положительных квадратов не зависит от способа приведения к каноническому виду. Это первое. Второе. Метод, который вы пытаетесь использовать существенно более сложен, чем вы думаете. После того, как вы вычислили характеристические числа, вы обязаны вычислить собственные векторы, соответствующие каждому из этих чисел, затем провести процесс ортогонализации (в этом вашем случае он может быть пропущен), а затем еще и пронормировать найденные векторы. И только после этого из координат этих векторов составляем матрицу замены (матрицу замены!!). Канонический вид впрочем может быть выписан немедленно после вычисления характеристических чисел. Все зависит от того, какая задача стоит перед вами. И наконец, третье. Характеристические числа здесь довольно безобразны по той простой причине, что ваша задача проще. А вовсе не приведение к главным осям - так называют метод, который вы пытаетесь реализовать. При том, что не умеете вычислить правильно характеристические числа. Во какую простыню накатал. Прямо хоть сейчас в учебник. 1

@Memow 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.12.2012 Сообщений: 46
	17.03.2016, 18:06 [ТС]	9
	То есть по факту можно писать условие = преобразование = ваш ответ? Я просто думал задача с подковыркой, спасибо большое) 0

Привести к каноническому виду квадратичную форму

Решение