Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Алгебра, теория чисел
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.50/6: Рейтинг темы: голосов - 6, средняя оценка - 4.50
Katyakatch
0 / 0 / 0
Регистрация: 05.05.2014
Сообщений: 26
1

Докажите, что f - изоморфизм группы на себя

23.03.2016, 20:54. Просмотров 1097. Ответов 11
Метки нет (Все метки)

Пусть http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?G - группа http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r \in G - фиксированный элемент. Определим отображение http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f: G\rightarrow G формулой http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall g \in G,    f(g) = r^{-1}gr . Докажите, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f - изоморфизм группы на себя.

Помогите пожалуйста с доказательством!
0
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
23.03.2016, 20:54
Ответы с готовыми решениями:

Докажите, что группы изоморфны
Доказать, что H_n/R_+\simeq U_n

Доказать изоморфизм фактор-группы и мультипликативной группы
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, доказать, что GL_n(F)/SL_n(F) изоморфна...

Доказать что отображение абелевой группы в себя, является гомоморфизмом
Доказать что отображение фи абелевой группы G=Z9xZ15 в себя, задаваемое...

Установить изоморфизм группы вещественных чисел относительно сложения
Установить изоморфизм группы вещественных чисел относительно сложения и группы...

Докажите, что условия равносильны
Здравствуйте. Помогите с доказательствами, пожалуйста. Большую часть сделал, а...

11
3D Homer
1735 / 1161 / 383
Регистрация: 01.09.2014
Сообщений: 2,866
23.03.2016, 21:05 2
Проверьте определение изоморфизма.
0
DeadPenguin
63 / 63 / 31
Регистрация: 11.03.2016
Сообщений: 252
Завершенные тесты: 1
23.03.2016, 21:09 3
Katyakatch, с чем конкретно возникли сложности?
Цитата Сообщение от 3D Homer Посмотреть сообщение
Проверьте определение изоморфизма.
Да, вам нужно просто проверить определение.
0
Katyakatch
0 / 0 / 0
Регистрация: 05.05.2014
Сообщений: 26
23.03.2016, 21:29  [ТС] 4
Изоморфизм групп - это отображение одной группы на другую, удовлетворяющее двум условиям:
1) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(ab) = f(a) f(b)
2) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(a)=f(b)
Хорошо. Определение есть. В моем случае отображение группы на себя.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(g) = f(gr)/f(r)=f(r)^{-1}*f(g)*f(r)
так?
Или чего-то не поняла?
0
DeadPenguin
63 / 63 / 31
Регистрация: 11.03.2016
Сообщений: 252
Завершенные тесты: 1
23.03.2016, 21:35 5
Лучший ответ Сообщение было отмечено Katyakatch как решение

Решение

Katyakatch, вы второе условие не дописали. Итак, изоморфизм — это гомоморфизм + биекция.

1. Гомоморфизм — это ваше первое условие, то есть сохранение операции. Итак,
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(ab) = r^{-1}(ab)r =r^{-1}ar\cdot r^{-1}br = f(a)f(b)

2. Биекция: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(a) = f(b) \Leftrightarrow a = b. Проверяем:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r^{-1}ar = r^{-1}br \Leftrightarrow ar = br \Leftrightarrow a = b
(умножаем справа на http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r, потом слева на http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r^{-1})
1
3D Homer
1735 / 1161 / 383
Регистрация: 01.09.2014
Сообщений: 2,866
23.03.2016, 21:37 6
Лучший ответ Сообщение было отмечено Katyakatch как решение

Решение

Цитата Сообщение от Katyakatch Посмотреть сообщение
Или чего-то не поняла?
Вы не поняли определение группы и изоморфизма.

Цитата Сообщение от Katyakatch Посмотреть сообщение
Изоморфизм групп - это отображение одной группы на другую, удовлетворяющее двум условиям:
1) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(ab) = f(a) f(b)
2) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(a)=f(b)
Функция, удовлетворяющая 1) — это гомоморфизм. А что такое 2) ? Это условие выполняется для всех a и b или только для некоторых? Если для всех, как в 1), то это означает, что f константа и не является изоморфизмом (так как изоморфизм — это взаимно-однозначный гомоморфизм). Откуда вы взяли условие 2) ?

Цитата Сообщение от Katyakatch Посмотреть сообщение
В моем случае отображение группы на себя.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(g) = f(gr)/f(r)
Откуда это? Вообще, в группе нет операции деления. Там есть операция взятия обратного. Поэтому я и сказал, что вы не поняли определение группы.

Вам следует прочитать в учебнике определение группы, несколько примеров и доказательство нескольких простых утверждений про группы.
1
Katyakatch
0 / 0 / 0
Регистрация: 05.05.2014
Сообщений: 26
24.03.2016, 12:13  [ТС] 7
Преподаватель сказал, что доказательство биекции нужно рассматривать отдельно, исходя из определения
0
3D Homer
1735 / 1161 / 383
Регистрация: 01.09.2014
Сообщений: 2,866
24.03.2016, 12:44 8
Цитата Сообщение от Katyakatch Посмотреть сообщение
Преподаватель сказал, что доказательство биекции нужно рассматривать отдельно, исходя из определения
Правильно, хотя не очень ясно, что значит "отдельно". Биективность нужно доказывать. В дополнение к тому, что написал DeadPenguin, нужно еще показать сюръективность.
0
Katyakatch
0 / 0 / 0
Регистрация: 05.05.2014
Сообщений: 26
27.03.2016, 16:13  [ТС] 9
Сюръективность:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(a)={r}^{-1}b r
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(b)={r}^{-1}a r
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(a) f(b)={r}^{-1}b r  {r}^{-1}a r ={r}^{-1}a r  {r}^{-1}b r = f(ab)
Получили гомоморфизм
Следовательно Сюръективность выполняется
Так?
0
kabenyuk
1751 / 1325 / 314
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 2,597
27.03.2016, 18:42 10
Цитата Сообщение от Katyakatch Посмотреть сообщение
Следовательно Сюръективность выполняется
Так?
Нет, не так. Сюръективность означает, что для любого элемента а нашей группы найдется х такой, что f(x)=a.
Вот и ищем этот самый х из уравнения r-1xr=a, х=rar-1.
0
Katyakatch
0 / 0 / 0
Регистрация: 05.05.2014
Сообщений: 26
27.03.2016, 21:05  [ТС] 11
Цитата Сообщение от kabenyuk Посмотреть сообщение
Нет, не так. Сюръективность означает, что для любого элемента а нашей группы найдется х такой, что f(x)=a.
Вот и ищем этот самый х из уравнения r-1xr=a, х=rar-1.
Не совсем поняла, что из этого следует
0
3D Homer
1735 / 1161 / 383
Регистрация: 01.09.2014
Сообщений: 2,866
27.03.2016, 22:25 12
Цитата Сообщение от Katyakatch Посмотреть сообщение
Сюръективность:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(a)={r}^{-1}b r
Почему вы меняете определение f? В первом сообщении говорится, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(a)=r^{-1}ar.

Что касается сюръективности, то в сообщении №10 вам написали полное доказательство, что она имеет место. Читайте про сюръективность в Википедии и учебниках, чтобы понять, что означает это свойство и увидеть примеры сюръективных отображений.
0
27.03.2016, 22:25
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
27.03.2016, 22:25

докажите что уравнение не имеет решений
Бьюсь над ним второй день.

Докажите, что подгруппа H совпадает с подгруппой
Пусть G=<a>- циклическая группа с образующим элементом a, порядка ord a= n....

Докажите, что идеал I в кольце R[x] является максимальным
Доказать, что идеал I=({x}^{2}+1) в кольце R является максимальным.


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
12
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru