Определить линейную зависимость

@NEvOl · Регистрация: 13.08.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите пожалуйста разобраться с темой линейной зависимости.
По определению вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1,a_2,...,a_n$ линейно зависимы если найдутся такие коэффициенты
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n$ такие что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _1a_1+\alpha _2a_2+...+\alpha _na_n=\theta$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ нулевой вектор, причем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n$ одновременно не равны 0.
В противном случае, вектора линейно независимы.
Что бы определить Л.З я составляю систему уравнений и пытаюсь ее решить. С "квадратными" системами все вроде понятно, можно например воспользоваться правилом крамера, посчитать определитель системы, если он не 0, значит система линейно независима. Но вот для случаев неквадратных систем немного начинаю путаться, вот пример:
даны вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1=(1,i,2-i,3+i)$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_2=(1-i,1+i,1-3i,4-2i)$ составляю систему
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}\alpha _1+\alpha _2(1-i)=0\\ \alpha _1i+\alpha _2(1+i)=0\\ \alpha _1(2-i)+\alpha _2(1-3i)=0\\ \alpha _1(3+i)+\alpha _2(4-2i)=0\\ \end{matrix}\right.$ выражаю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _1=\alpha _2(i-1)$ и подставляю в остальные равенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}\alpha _2(i-1)i+\alpha _2(1+i)=0\\ \alpha _2(i-1)(2-i)+\alpha _2(1-3i)=0\\ \alpha _2(i-1)(3+i)+\alpha _2(4-2i)=0\\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha _2i^2-\alpha _2i+\alpha _2+\alpha _2i=0\\ 2\alpha _2i-\alpha _2i^2-2\alpha _2+\alpha _2i+\alpha _2-3\alpha _2i=0\\ 3\alpha _2i+\alpha _2i^2-3\alpha _2-\alpha _2i+4\alpha _2-2\alpha _2i=0\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha _2i^2+\alpha _2=0\\ -\alpha _2i^2-\alpha _2=0\\ \alpha _2i^2+\alpha _2=0\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \alpha _2i^2+\alpha _2=0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _2i^2+\alpha _2=\alpha _2(i^2+1)=0$
отсюда получаем что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _2=0$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _1=0$ значит вектора независимы ?

@jogano · 04.10.2016, 19:02

Значит независимы. Что и не удивительно, учитывая, что размерность векторов 4, но их только два.
Можно было проще делать, если векторов только два. Если бы они были линейно зависимы, то один бы выражался как другой умножить на какое-то число (т.е. коллинеарны). И было бы выполнено свойство пропорциональности координат
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1-i}{1}=\frac{1+i}{i}=\frac{1-3i}{2-i}=\frac{4-2i}{3+i}$
Первое же равенство (пропорция) даёт $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i \in \empty$ , если всё рассматривается над полем действительных чисел (ваше обозначение i, вообще говоря, сбивает с толку - это мнимая единица или просто переменная).
Значит, уже по первым двум координатам видно, что векторы не пропорциональны, т.е. линейно независимы.

@Том Ардер · 04.10.2016, 19:08

NEvOl, Алгебра правильная, а вывод - нет.
Что такое $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i$ ? Чему равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i^2$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i^2+1$ ?

@NEvOl · 04.10.2016, 19:34 **[ТС]**

в условии задачи не оговорено ничего, думаю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i\in \mathbb {R}$

@Том Ардер · 04.10.2016, 23:56

Сообщение от NEvOl

думаю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i\in \mathbb {R}$

Сомневаюсь, очень уж плохая идея использовать для вещественного числа обозначение мнимой единицы.
Да и числа так подобраны, что везде появляется множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i^2+1$ . Поэтому гораздо более естественно считать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i$ мнимой единицей, тогда векторы линейно зависимы:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{2}=(1-i){a}_{1}$

@NEvOl · 05.10.2016, 18:53 **[ТС]**

хм... а в общем случае как определяют линейную зависимость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n>1$ векторов размерностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m$ ? а то я так до конца и не понял. Есть признаки линейной зависимости типа:
1) два равных вектора;
2) два вектора, различающиеся числовым множителем;
3) если один из векторов нулевой.
Для случая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=m$ можно найти определитель матрицы составленной из векторов записанных по столбцам. А в остальных случаях "общим" методом будет составление и решение системы ?

@jogano · 05.10.2016, 19:15

В общем случае записывается матрица n*m (i-я строка - координаты i-го вектора) и сводится к диагональному виду. Если в сведённой матрице нет нулевых строк - векторы линейно независимы. Если есть - зависимы. Говоря проще, ищется ранг матрицы. Если ранг меньше n, то векторы линейно зависимы.

@NEvOl · 13.10.2016, 06:17 **[ТС]**

Сообщение от jogano

В общем случае записывается матрица n*m (i-я строка - координаты i-го вектора)

вектора нужно записывать именно в строки или можно записывать в качестве столбцов ?

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
		1
	Определить линейную зависимость 04.10.2016, 18:09. Показов 1633. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Помогите пожалуйста разобраться с темой линейной зависимости. По определению вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1,a_2,...,a_n$ линейно зависимы если найдутся такие коэффициенты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n$ такие что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _1a_1+\alpha _2a_2+...+\alpha _na_n=\theta$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ нулевой вектор, причем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n$ одновременно не равны 0. В противном случае, вектора линейно независимы. Что бы определить Л.З я составляю систему уравнений и пытаюсь ее решить. С "квадратными" системами все вроде понятно, можно например воспользоваться правилом крамера, посчитать определитель системы, если он не 0, значит система линейно независима. Но вот для случаев неквадратных систем немного начинаю путаться, вот пример: даны вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1=(1,i,2-i,3+i)$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_2=(1-i,1+i,1-3i,4-2i)$ составляю систему $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}\alpha _1+\alpha _2(1-i)=0\\ \alpha _1i+\alpha _2(1+i)=0\\ \alpha _1(2-i)+\alpha _2(1-3i)=0\\ \alpha _1(3+i)+\alpha _2(4-2i)=0\\ \end{matrix}\right.$ выражаю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _1=\alpha _2(i-1)$ и подставляю в остальные равенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}\alpha _2(i-1)i+\alpha _2(1+i)=0\\ \alpha _2(i-1)(2-i)+\alpha _2(1-3i)=0\\ \alpha _2(i-1)(3+i)+\alpha _2(4-2i)=0\\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha _2i^2-\alpha _2i+\alpha _2+\alpha _2i=0\\ 2\alpha _2i-\alpha _2i^2-2\alpha _2+\alpha _2i+\alpha _2-3\alpha _2i=0\\ 3\alpha _2i+\alpha _2i^2-3\alpha _2-\alpha _2i+4\alpha _2-2\alpha _2i=0\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha _2i^2+\alpha _2=0\\ -\alpha _2i^2-\alpha _2=0\\ \alpha _2i^2+\alpha _2=0\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \alpha _2i^2+\alpha _2=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _2i^2+\alpha _2=\alpha _2(i^2+1)=0$ отсюда получаем что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _2=0$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _1=0$ значит вектора независимы ? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	04.10.2016, 19:02	2
	Сообщение было отмечено NEvOl как решение Решение Значит независимы. Что и не удивительно, учитывая, что размерность векторов 4, но их только два. Можно было проще делать, если векторов только два. Если бы они были линейно зависимы, то один бы выражался как другой умножить на какое-то число (т.е. коллинеарны). И было бы выполнено свойство пропорциональности координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1-i}{1}=\frac{1+i}{i}=\frac{1-3i}{2-i}=\frac{4-2i}{3+i}$ Первое же равенство (пропорция) даёт $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i \in \empty$ , если всё рассматривается над полем действительных чисел (ваше обозначение i, вообще говоря, сбивает с толку - это мнимая единица или просто переменная). Значит, уже по первым двум координатам видно, что векторы не пропорциональны, т.е. линейно независимы. 1

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	04.10.2016, 19:08	3
	NEvOl, Алгебра правильная, а вывод - нет. Что такое $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i$ ? Чему равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i^2$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i^2+1$ ? 1

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	04.10.2016, 19:34 [ТС]	4
	в условии задачи не оговорено ничего, думаю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i\in \mathbb {R}$ 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	04.10.2016, 23:56	5
	Сообщение от NEvOl думаю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i\in \mathbb {R}$ Сомневаюсь, очень уж плохая идея использовать для вещественного числа обозначение мнимой единицы. Да и числа так подобраны, что везде появляется множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i^2+1$ . Поэтому гораздо более естественно считать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i$ мнимой единицей, тогда векторы линейно зависимы: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{2}=(1-i){a}_{1}$ 1

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	05.10.2016, 18:53 [ТС]	6
	хм... а в общем случае как определяют линейную зависимость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n>1$ векторов размерностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m$ ? а то я так до конца и не понял. Есть признаки линейной зависимости типа: 1) два равных вектора; 2) два вектора, различающиеся числовым множителем; 3) если один из векторов нулевой. Для случая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=m$ можно найти определитель матрицы составленной из векторов записанных по столбцам. А в остальных случаях "общим" методом будет составление и решение системы ? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	05.10.2016, 19:15	7
	В общем случае записывается матрица n*m (i-я строка - координаты i-го вектора) и сводится к диагональному виду. Если в сведённой матрице нет нулевых строк - векторы линейно независимы. Если есть - зависимы. Говоря проще, ищется ранг матрицы. Если ранг меньше n, то векторы линейно зависимы. 1

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	13.10.2016, 06:17 [ТС]	8
	Сообщение от jogano В общем случае записывается матрица n*m (i-я строка - координаты i-го вектора) вектора нужно записывать именно в строки или можно записывать в качестве столбцов ? 0

Определить линейную зависимость

Решение