Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Алгебра, теория чисел
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
FasterHarder
4 / 2 / 1
Регистрация: 28.04.2015
Сообщений: 148
#1

Как такое рассчитывается без калькулятора? Аннуитетный платеж

14.02.2017, 19:58. Просмотров 291. Ответов 5
Метки нет (Все метки)

Всем привет!
Сходу к делу.

Есть задача из курса "Финансовая математика" или "Экономические задачи" на схему аннуитетных платежей.
Вот ее условие:
Был взят кредит на сумму 1 миллион рублей, сроком на 8 лет с ежегодной равной выплатой (аннуитетная схема выплат), процентная ставка банка равна 16% годовых.
Какую сумму в итоге пришлось заплатить банку после погашения всего кредита?


В общем я построил математическую модель и ПРИ ПОМОЩИ КАЛЬКУЛЯТОРА получил ответ. Также загнал информацию в Excel и выкладки доказали, что все я рассчитал правильно. Но я пользовался калькулятором, т к нужно было возводить число 1.16 в 8-ую степень.

Вот мои выкладки:
S = 1 000 000 - размер первоначального кредита;
n = 8 - количество отчетных периодов;
r = 0.16 - процентная ставка банка, выраженная в %; R = 1 + r = 1.16
p - размер ежегодного платежа, рублей.

1 отчетный период:
сумма начисленных банком процентов: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S*r
долг перед платежом: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S + S*r = S(1 + r) = S*R
долг после платежа: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S*R - p

2 отчетный период:
сумма начисленных банком процентов: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(S*R - p)*r
долг перед платежом: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(S*R - p) + (S*R - p)*r = (S*R - p)(1 + r) = (S*R - p)*R = S*R^2 - p*R
долг после платежа: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S*R^2 - p*R - p

Вырисовывается закономерность, вот этим и воспользуемся!
8 (последний) отчетный период:
долг после платежа: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S*R^8 - p*R^7 - p*R^6 - ... - p*R^2 - p*R - p
Т к в итоге весь кредит был выплачен, то составим уравнение:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S*R^8 - p*R^7 - p*R^6 - ... - p*R^2 - p*R - p = 0
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S*R^8 - p(R^7 + R^6 + ... + R^2 + R + 1) = 0
Заметим, что выражение в скобках образует геом. прогрессию, у которой: b1 = 1, n = 8, q = R
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S8 = b1*(q^n - 1)/(q - 1) = 1*(R^8 - 1)/(R - 1) = (R^8 - 1)/0.16 = 25*(R^8 - 1)/4
В итоге получим:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p*25/4 * (R^8 - 1) = S*R^8 | *4<br />
25*p*(R^8 - 1) = 4*S*R^8<br />
p = (4*S*R^8)/(25(R^8 - 1))

И дальше уже через калькулятор посчитал, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R^8 = 1.16^8 примерно = 3.278
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p = (4 * 1 000 000 * 3.27)/(25 * (3.278 - 1)) = 230 224,2601
Но это все было посчитано НА КАЛЬКУЛЯТОРЕ, т к вручную возводить в 8-ную степень явно долго. А могло быть n = 16, например.

Кстати в excel все пробил (на всякий сл. прикладываю картинку), т е все посчитал корректно.

ВОПРОС: как такое вычислять БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КАЛЬКУЛЯТОРА?? Или придется тупо возводить многократно в степень на бумаге?
0
Миниатюры
Как такое рассчитывается без калькулятора? Аннуитетный платеж  
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
14.02.2017, 19:58
Ответы с готовыми решениями:

Задача на аннуитетный платеж из ЕГЭ по Математике
Проблемы в понимании экономических задач. Сам текст: Сам пытался решать...

Мутная экономическая задача на аннуитетный платеж (ЕГЭ)
Всем хай! Сходу к делу! Условие задачи: в июле 2015 года Иван взял кредит в...

Как найти значение выражения без калькулятора.
как найти значение выражения 8¹⁶/16¹² без калькулятора

Возведение в квадрат без калькулятора
Возведение в квадрат... 11^2=100+(21+0) ×1 21^2=400+(41+0)×1...

Аннуитетный платеж формула
Добрый день всем участникам форума, столкнулся с проблемой аннуитетного...

5
mathidiot
Эксперт по математике/физике
2686 / 2385 / 1032
Регистрация: 14.01.2014
Сообщений: 5,084
14.02.2017, 21:20 #2
А кто заставляет Вас считать по этим формулам без калькулятора?
0
FasterHarder
4 / 2 / 1
Регистрация: 28.04.2015
Сообщений: 148
16.02.2017, 00:08  [ТС] #3
Цитата Сообщение от mathidiot Посмотреть сообщение
А кто заставляет Вас считать по этим формулам без калькулятора?
вообще это задача из ЕГЭ по математика, а, как известно, на экзамене НЕЛЬЗЯ пользоваться калькулятором!

как тогда решать? может есть другой, более простой способ?
0
mathidiot
Эксперт по математике/физике
2686 / 2385 / 1032
Регистрация: 14.01.2014
Сообщений: 5,084
16.02.2017, 08:50 #4
Ну, насколько мне известно, на реальном ЕГЭ таких задач никогда не было. Последние три года на реальном ЕГЭ встречались задачи с дифференцированными платежами, когда долг равномерно уменьшается, вот эти задачи как раз и путают с задачами аннуитетного платежа! Ради справедливости надо сказать, что в тренировочных вариантах ЕГЭ встречаются задачи аннуитетного платежа, но там не более 4 платежей! Такие задачи можно посмотреть в сборнике 36 вариантов заданий профильного ЕГЭ под ред. Ященко. Хотя с моей точки зрения даже с таким числом платежей такие задачи непосильны большинству школьников без калькулятора. К сожалению, более простых способов решения задач с подобными платежами, кроме приведенной Вами формулы аннуитетного платежа, нет. А по критериям проверки этих заданий учащиеся должны сначала вывести эти формулу, а потом считать. Другой вариант решения заключается в рекуррентной скобочной записи, который в неявной виде приводит к той же формуле аннуитета.
0
Alex5
1122 / 783 / 232
Регистрация: 12.04.2010
Сообщений: 2,012
16.02.2017, 10:30 #5
Цитата Сообщение от FasterHarder Посмотреть сообщение
Но это все было посчитано НА КАЛЬКУЛЯТОРЕ, т к вручную возводить в 8-ную степень явно долго. А могло быть n = 16, например.
FasterHarder, если не нужны все степени от 1 до 7, то можно 3 раза возвести в квадрат. Если n = 16, то A16 = ( ( (A2 )2 )2 )2

Алгоритмы быстрого возведения в степень
0
FasterHarder
4 / 2 / 1
Регистрация: 28.04.2015
Сообщений: 148
16.02.2017, 13:06  [ТС] #6
Цитата Сообщение от mathidiot Посмотреть сообщение
Ну, насколько мне известно, на реальном ЕГЭ таких задач никогда не было. Последние три года на реальном ЕГЭ встречались задачи с дифференцированными платежами, когда долг равномерно уменьшается, вот эти задачи как раз и путают с задачами аннуитетного платежа!
Да-да, как правило дают задачи на схему дифференцированных платежей, но теоретически может попасться также на аннуитет или вообще на вклады с капитализацией % и без и т.п.

Да, в большинстве задач дается 3-4 отчетных периода, но очевидно, что периодов может быть и больше 10, т к это не будет противоречить условиям экономических задач как таковым.

Скобочная форма, это случаем не схема Горнера? В общем-то не важно, т к все равно придется многократно умножать при раскрытии скобок.

Понял, что по-другому не решаются такие задачи - вопросов больше нет, спс!

Добавлено через 2 минуты
Цитата Сообщение от Alex5 Посмотреть сообщение
если не нужны все степени от 1 до 7
а если степень будет 19-ой...
В задачах на схему дифф.платежей абсолютно не важно кол-во отчетных периодов, т к строится ариф.прогрессия, которая иногда решается устно, а на аннуитете приходится уходить в геом.прогрессию, что гораздо менее удобно для анализа и расчетов!
0
16.02.2017, 13:06
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
16.02.2017, 13:06

Аннуитетный платеж (уравнение)
Всем привет! У меня такая вот проблема: есть задание в котором нужно...

Как вычислить arccos без калькулятора
Как вычислить arccos без калькулятора? Есть где нибудь формула? Я весь интернет...

Как оптимально и без лишнего кода запрограммировать кнопки калькулятора
Всем доброго здоровичка!!! У меня вопрос: На форме кнопки с цифрами, как на...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
6
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru