Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Алгебра, теория чисел
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Mtrik
0 / 0 / 0
Регистрация: 06.03.2017
Сообщений: 1
#1

Найти симметрическую неотрицательно определенную матрицу - Алгебра

06.03.2017, 21:25. Просмотров 180. Ответов 2
Метки нет (Все метки)

Дана матрица А
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A = \begin{pmatrix}<br />
9 & 1\\  <br />
1 & 9\\ <br />
\end{pmatrix}

Необходимо найти симметрическую неотрицательно определенную матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? A = B \cdot B.

Сперва подумал о http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A = LDL^T разложение (для несимметричных оно выглядит как LDU), но это не помогло. Затем вспомнил про http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A = S\Lambda S^{-1}, все было бы здорово, но собственная матрица должна быть обратной самой себе, чтобы потом довести до http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B = S\sqrt(\Lambda) и быть счастливым, но не тут то было. Затем поступил прямо в лоб: умножил В на В:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A = \begin{pmatrix} <br />
9 & 1\\  <br />
1 & 9<br />
\end{pmatrix} = B \cdot B = \begin{pmatrix} <br />
a^2+b^2 & ab+bc\\  <br />
ab+bc & b^2+c^2"<br />
\end{pmatrix}

На этом этапе я каким-то образом делал вывод о положительной полуопределенности B, но, увы, забыл как
Итого получаем систему из трех уравнений и трех переменных. Магическим образом получается http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^2 = c^2, решая дальше находим одно из решений системы, если подставить в итоговую матрицу В, то получим искомую неотрицательно определенную и симметрическую, вот как сей монстр выглядит:

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B = \begin{pmatrix}<br />
sqrt(4.5 + sqrt(20)) & \dfrac{1}{2*sqrt(4.5 + sqrt(20))}\\  <br />
\dfrac{1}{2*sqrt(4.5 + sqrt(20))} & sqrt(4.5 + sqrt(20))\\ <br />
\end{pmatrix}

Все бы ничего, но ответ ужасен, а следующее задание найти теперь уже симметрическую неотрицательно определенную матрицу С, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? C \cdot C = A^{-1}...

Склоняюсь к тому, что я забыл какой-то важный факт, который позволит достаточно быстро решить эту задачу.

Заранее благодарю за ответ!
http://www.cyberforum.ru/algebra/thread1767140.html
0
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
06.03.2017, 21:25
Я подобрал для вас темы с готовыми решениями и ответами на вопрос Найти симметрическую неотрицательно определенную матрицу (Алгебра):

Найти матрицу Х из матричного уравнения (решать,используя обратную матрицу)
Ребят,помогите,пожалуйста сделать.Я вот делал,но неправильно.

Сформировать симметрическую положительно определенную матрицу
Нужно сформировать симметрическую положительно определенную матрицу порядка n

Найти симметрическую разность множеств
помогите пожалуйста исправить программу, она объединяет два множества, а нужно,...

Построить симметрическую разность массивов и найти её минимальный элемент
Дано массивы чисел A(n) и B(m) . Построить симетрическую разность масивов и...

Найти пересечение, объединение, разность, симметрическую разность множеств
Задание: Написать программу, которая проделывается операции над множествами...

2
kabenyuk
1719 / 1298 / 308
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 2,541
07.03.2017, 15:30 #2
Цитата Сообщение от Mtrik Посмотреть сообщение
Все бы ничего, но ответ ужасен,
Во-первых, ответ не столь ужасен, а вот такой
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
a=\frac{\sqrt{10}}{2}+\sqrt2,\ b=\frac{\sqrt{10}}{2}-\sqrt2.<br />
Во-вторых, именно в таком порядке a>b. Это обеспечивает положительную определенность В.
В-третьих, a=c и никакой мистики - диагональ-то хорошая у А.
В-четвертых, С=В-1.
0
helter
Эксперт по математике/физике
3741 / 2769 / 297
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,104
07.03.2017, 16:14 #3
Цитата Сообщение от Mtrik Посмотреть сообщение
Затем вспомнил про
И это было правильно.

Цитата Сообщение от Mtrik Посмотреть сообщение
но собственная матрица должна быть обратной самой себе
А?

Вообще, есть такая простая теорема, что всякий симметрический положительный оператор является квадратом симметрического положительного оператора. Ясно, что в собственном базисе матрицей оператора-корня является диагональная матрица из корней из соответствующих собственных значений A. Потому в общем случае для нахождения матрицы оператора-корня вы переходите к собственному базису, извлекаете корень и возвращаетесь к исходному базису. И системы нелинейных уравнений решать не нужно.

На языке матриц: если A = T'DT, где D — диагональная матрица с положительными элементами на диагонали, а штрих — транспонирование, то пусть E = √D и B = T'ET, тогда B² = A.
0
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
07.03.2017, 16:14
Привет! Вот еще темы с решениями:

Как записать через условие что: а не равно 0 и что d неотрицательно
как записать через условие что: а не равно 0 и что d неотрицательно

Реализовать симметрическую разность множеств
Опишите функцию, аргументами которой являются два множества, а результатом —...

Найти в строке определенную подстроку
Столкнулся с проблемой со строками. Есть огромный текст, получаемый с сайта....

Найти остаток на определенную дату
Требуется найти остаток на определенную дату. Есть 3 таблицы: Ящики, Приход,...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
3
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru