Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами

@lukinyx99 · Регистрация: 16.10.2017

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

2)2.Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:
а) (0 а)
(-а 0) ;
б) (5 9 7)
(0 3 -2)
(0 2 -1)
помогите, пожалуйста

@eropegov · 06.03.2018, 09:17

Найдите определители матриц $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}-\lambda & a\\ -a & -\lambda \end{pmatrix}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}5-\lambda & 9 & 7\\ 0 & 3-\lambda & -2\\ 0 & 2 & -1-\lambda\end{pmatrix}$ . Напишите, что у вас получилось.

@lukinyx99 · 06.03.2018, 10:05 **[ТС]**

eropegov, у первой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\alpha }^{2}+{a}^{2}$
у второй: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5-6\alpha +2{\alpha }^{2}-{\alpha }^{3}$

Добавлено через 10 минут
eropegov, у второй матрицы определитель приравняла к 0, нашла корни, они равны 5 и 1.
как их найти у первой? и как дорешить задание?

@mathmichel · 06.03.2018, 10:34

В первой получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda =\pm i\cdot a$ . Чтобы дорешать (найти собственные вектора), надо решить однородные матричные уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M\cdot V=\lambda \cdot V$ (для каждого собственного значения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ отдельно)

@lukinyx99 · 06.03.2018, 11:20 **[ТС]**

mathidiot, давайте под буквой б сначала.
вот я подставляю единицу:
получается система: 4х1+9х2+7х3=0
2х2-2х3=0
2х2-2х3=0
составляю матрицу: 4 9 7 0
0 2 -2 0
0 2 -2 0
решаю методом Гаусса.
получилась система, из которой я выразила х1 и х2, получилось:
х1=-9/4*х2-7/4*х3
х2=х3.
где х3- произвольное число.
точно так же делаю для пяти, выражаю х2 и х3, получается:
х2=-7/9*х3
х3=0
где х1- произвольное число
это вообще верно?

@palva · 06.03.2018, 12:05

lukinyx99, верно. Дальше для определенности для каждого собственного значения надо указать какой-нибудь собственный вектор.

Добавлено через 3 минуты
У первого оператора действительных собственных векторов нет. (Это поворот с растяжением, направление любого ненулевого вектора поменяется.)

@lukinyx99 · 06.03.2018, 12:13 **[ТС]**

Сообщение от palva

Дальше для определенности для каждого собственного значения надо указать какой-нибудь собственный вектор.

базис написать?
типо в первом случае х2=4, х3=4
тогда х1=-16
х3=4
да? и во втором случае(при пятерке) так же?palva,

@palva · 06.03.2018, 12:16

Ну можно и так. Но обычно берут самый простой вид. То есть в первом случае логичнее будет взять (-4,1,1)

@lukinyx99 · 06.03.2018, 12:23 **[ТС]**

palva, а под буквой а как сделать?

@palva · 06.03.2018, 12:33

Возьмите произвольное ненулевое решение вашей системы. Этого будет достаточно.
(Если размерность пространства решений была бы больше единицы, нужно было бы взять базис пространства решений.)

@lukinyx99 · 06.03.2018, 12:49 **[ТС]**

palva, т. е. можно взять а=1?

@palva · 06.03.2018, 12:54

Да, можно.

@lukinyx99 · 06.03.2018, 13:08 **[ТС]**

palva, дальше делать все так же, как в примере под буквой б?

@palva · 06.03.2018, 20:35

Как вы можете делать там всё также, если не нашли там собственных значений.

@lukinyx99 · 13.03.2018, 16:14 **[ТС]**

palva, вот под а, дошла до собственных значений, они получились: ia и -ia.
как тогда найти собственные векторы?

@palva · 13.03.2018, 17:20

Скорее всего от вас требуется сказать, что собственных значений и собственных векторов нет.
Если же вас учили работать в комплексной области, тогда ой!
Тогда делайте так же. Составляйте систему линейных уравнений
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ax=\lambda x$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ одно из найденных собственных значений.
Тут стандартно решаете систему однородных линейных уравнений, получаете линейное пространство решений и в качестве ответа выписываете его базис.

@lukinyx99 · 13.03.2018, 18:00 **[ТС]**

palva, т.е.
0 а х1 =iax ? и что дальше? ах1-ах2=iax?
-а 0 * х2

Добавлено через 2 минуты
palva, palva, данную матрицу умножить на столбец х1, х2 нужно? и приравнять к собственным значениям?

@palva · 13.03.2018, 18:13

т.е. это что? Вы написали что-то неправильное и непонятное. Какое собственное значение вы выбрали? Напишите для него получившуюся однородную систему. Вы в состоянии писать формулы?

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от lukinyx99

данную матрицу умножить на столбец х1, х2 нужно? и приравнять к собственным значениям?

Да пожалуйста, пишите в матричном виде. Только пишите понятно.

@lukinyx99 · 13.03.2018, 18:13 **[ТС]**

palva, я перемножила, приравняла, сократила на а, выразила х2. получилось: х2=ix+x1;
дальше надо взять произвольные значения х и х1?
если беру х=1, х1=1 тогда х2=I+1;
отсюда получается, что базис {1; I+1}
это верно или нет?

@palva · 13.03.2018, 18:15

Сначала выберите собственное значение, собственный вектор к которому вы собираетесь находить.

@lukinyx99 1 / 5 / 0 Регистрация: 16.10.2017 Сообщений: 170
	13.03.2018, 18:13 [ТС]	19
	palva, я перемножила, приравняла, сократила на а, выразила х2. получилось: х2=ix+x1; дальше надо взять произвольные значения х и х1? если беру х=1, х1=1 тогда х2=I+1; отсюда получается, что базис {1; I+1} это верно или нет? 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	06.03.2018, 09:17	2
	Найдите определители матриц $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}-\lambda & a\\ -a & -\lambda \end{pmatrix}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}5-\lambda & 9 & 7\\ 0 & 3-\lambda & -2\\ 0 & 2 & -1-\lambda\end{pmatrix}$ . Напишите, что у вас получилось. 1

@lukinyx99 1 / 5 / 0 Регистрация: 16.10.2017 Сообщений: 170
	06.03.2018, 10:05 [ТС]	3
	eropegov, у первой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\alpha }^{2}+{a}^{2}$ у второй: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5-6\alpha +2{\alpha }^{2}-{\alpha }^{3}$ Добавлено через 10 минут eropegov, у второй матрицы определитель приравняла к 0, нашла корни, они равны 5 и 1. как их найти у первой? и как дорешить задание? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	06.03.2018, 10:34	4
	В первой получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda =\pm i\cdot a$ . Чтобы дорешать (найти собственные вектора), надо решить однородные матричные уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M\cdot V=\lambda \cdot V$ (для каждого собственного значения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ отдельно) 0

@lukinyx99 1 / 5 / 0 Регистрация: 16.10.2017 Сообщений: 170
	06.03.2018, 11:20 [ТС]	5
	mathidiot, давайте под буквой б сначала. вот я подставляю единицу: получается система: 4х1+9х2+7х3=0 2х2-2х3=0 2х2-2х3=0 составляю матрицу: 4 9 7 0 0 2 -2 0 0 2 -2 0 решаю методом Гаусса. получилась система, из которой я выразила х1 и х2, получилось: х1=-9/4х2-7/4х3 х2=х3. где х3- произвольное число. точно так же делаю для пяти, выражаю х2 и х3, получается: х2=-7/9*х3 х3=0 где х1- произвольное число это вообще верно? 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	06.03.2018, 12:05	6
	lukinyx99, верно. Дальше для определенности для каждого собственного значения надо указать какой-нибудь собственный вектор. Добавлено через 3 минуты У первого оператора действительных собственных векторов нет. (Это поворот с растяжением, направление любого ненулевого вектора поменяется.) 0

@lukinyx99 1 / 5 / 0 Регистрация: 16.10.2017 Сообщений: 170
	06.03.2018, 12:13 [ТС]	7
	Сообщение от palva Дальше для определенности для каждого собственного значения надо указать какой-нибудь собственный вектор. базис написать? типо в первом случае х2=4, х3=4 тогда х1=-16 х3=4 да? и во втором случае(при пятерке) так же?palva, 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	06.03.2018, 12:16	8
	Ну можно и так. Но обычно берут самый простой вид. То есть в первом случае логичнее будет взять (-4,1,1) 0

@lukinyx99 1 / 5 / 0 Регистрация: 16.10.2017 Сообщений: 170
	06.03.2018, 12:23 [ТС]	9
	palva, а под буквой а как сделать? 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	06.03.2018, 12:33	10
	Возьмите произвольное ненулевое решение вашей системы. Этого будет достаточно. (Если размерность пространства решений была бы больше единицы, нужно было бы взять базис пространства решений.) 0

@lukinyx99 1 / 5 / 0 Регистрация: 16.10.2017 Сообщений: 170
	06.03.2018, 12:49 [ТС]	11
	palva, т. е. можно взять а=1? 0

	13.03.2018, 18:15

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	06.03.2018, 12:54	12
	Да, можно. 0

@lukinyx99 1 / 5 / 0 Регистрация: 16.10.2017 Сообщений: 170
	06.03.2018, 13:08 [ТС]	13
	palva, дальше делать все так же, как в примере под буквой б? 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	06.03.2018, 20:35	14
	Как вы можете делать там всё также, если не нашли там собственных значений. 0

@lukinyx99 1 / 5 / 0 Регистрация: 16.10.2017 Сообщений: 170
	13.03.2018, 16:14 [ТС]	15
	palva, вот под а, дошла до собственных значений, они получились: ia и -ia. как тогда найти собственные векторы? 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	13.03.2018, 17:20	16
	Скорее всего от вас требуется сказать, что собственных значений и собственных векторов нет. Если же вас учили работать в комплексной области, тогда ой! Тогда делайте так же. Составляйте систему линейных уравнений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ax=\lambda x$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ одно из найденных собственных значений. Тут стандартно решаете систему однородных линейных уравнений, получаете линейное пространство решений и в качестве ответа выписываете его базис. 0

@lukinyx99 1 / 5 / 0 Регистрация: 16.10.2017 Сообщений: 170
	13.03.2018, 18:00 [ТС]	17
	palva, т.е. 0 а х1 =iax ? и что дальше? ах1-ах2=iax? -а 0 * х2 Добавлено через 2 минуты palva, palva, данную матрицу умножить на столбец х1, х2 нужно? и приравнять к собственным значениям? 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	13.03.2018, 18:13	18
	т.е. это что? Вы написали что-то неправильное и непонятное. Какое собственное значение вы выбрали? Напишите для него получившуюся однородную систему. Вы в состоянии писать формулы? Добавлено через 2 минуты Сообщение от lukinyx99 данную матрицу умножить на столбец х1, х2 нужно? и приравнять к собственным значениям? Да пожалуйста, пишите в матричном виде. Только пишите понятно. 0