Выразить собственные числа матрицы через определитель

@oobarbazanoo · Регистрация: 13.05.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lambda }_{1}, ... , {\lambda }_{n}$ - различные собственные числа матрицы n на n.

Возможно ли выразить следующие выржаение через определитель данной матрицы?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\prod_{i = 1}^{n} {\lambda }_{i}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{n} {\lambda }_{i}$

@angor6 · 22.09.2018, 12:50

oobarbazanoo, я уже давно не читал учебник по линейной алгебре, но со студенческих лет помню, что, в частности,
1) произведение собственных чисел квадратной матрицы равно её определителю;
2) сумма собственных чисел квадратной матрицы равна сумме её диагональных элементов.
Возможно, я ошибаюсь, поэтому проверьте правильность этих утверждений по учебнику.

@oobarbazanoo · 22.09.2018, 14:41 **[ТС]**

angor6, это для матрицы 2 на 2. Для 2 на 2 я знаю как доказать, а дальше нет.

@angor6 · 22.09.2018, 14:45

oobarbazanoo, я думаю, что эти утверждения истинны не только для квадратных матриц второго порядка.

@oobarbazanoo · 22.09.2018, 20:23 **[ТС]**

angor6, подскажите, пожалуйста, источник где может быть доказательство. Нахожу лишь утверждения везде без доказательства.

@angor6 · 23.09.2018, 07:01

oobarbazanoo, наверное, во всех случаях нужно использовать формулы Виета, которые выражают коэффициенты многочлена через его корни.

@kabenyuk · 26.09.2018, 11:29

Сообщение от oobarbazanoo

подскажите, пожалуйста, источник где может быть доказательство.

Это утверждение далеко не такое простое, как может показаться, и из теоремы Виета оно в полном объеме, скорее всего, не следует. По-видимому, надо воспользоваться небольшой теорией про линейные операторы, а она есть в любом учебнике по алгебре для первокурсников.

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
		1
	Выразить собственные числа матрицы через определитель 22.09.2018, 12:27. Показов 809. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lambda }_{1}, ... , {\lambda }_{n}$ - различные собственные числа матрицы n на n. Возможно ли выразить следующие выржаение через определитель данной матрицы? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\prod_{i = 1}^{n} {\lambda }_{i}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{n} {\lambda }_{i}$ 0

@angor6 Любитель математики 1476 / 987 / 282 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,275
	22.09.2018, 12:50	2
	oobarbazanoo, я уже давно не читал учебник по линейной алгебре, но со студенческих лет помню, что, в частности, 1) произведение собственных чисел квадратной матрицы равно её определителю; 2) сумма собственных чисел квадратной матрицы равна сумме её диагональных элементов. Возможно, я ошибаюсь, поэтому проверьте правильность этих утверждений по учебнику. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	22.09.2018, 14:41 [ТС]	3
	angor6, это для матрицы 2 на 2. Для 2 на 2 я знаю как доказать, а дальше нет. 0

@angor6 Любитель математики 1476 / 987 / 282 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,275
	22.09.2018, 14:45	4
	oobarbazanoo, я думаю, что эти утверждения истинны не только для квадратных матриц второго порядка. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	22.09.2018, 20:23 [ТС]	5
	angor6, подскажите, пожалуйста, источник где может быть доказательство. Нахожу лишь утверждения везде без доказательства. 0

@angor6 Любитель математики 1476 / 987 / 282 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,275
	23.09.2018, 07:01	6
	oobarbazanoo, наверное, во всех случаях нужно использовать формулы Виета, которые выражают коэффициенты многочлена через его корни. 1

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	26.09.2018, 11:29	7
	Сообщение от oobarbazanoo подскажите, пожалуйста, источник где может быть доказательство. Это утверждение далеко не такое простое, как может показаться, и из теоремы Виета оно в полном объеме, скорее всего, не следует. По-видимому, надо воспользоваться небольшой теорией про линейные операторы, а она есть в любом учебнике по алгебре для первокурсников. 2