Найти все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению

@kiviisfruit96 · Регистрация: 10.09.2017

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

найти все пары целых чисел (x,y), удовлетворяющее уравнению 2x^2+35xy+17y^2=1517

был рассмотрен вариант: принимаем y в качестве константы(или как правильно это называется, параметр?). затем решаем квадратное уравнение. решив его, подставляем вместо x в исходное ур-е. решение трудоемкое, какие есть варианты более простого в вычислении?

Байт · 24.10.2018, 23:25

kiviisfruit96, Имхо, выражение слева можно разложить на множители. Для этого надо найти корни уравнения 2x² + 35z + 17 = 0. Корни есть и довольно милые.
Потом разложить на множители (факторизовать) число 1517.
И решение само упадет вам в руки.

@wer1 · 25.10.2018, 08:47

Уважаемый kiviisfruit96,
из вашего уравнения следуют свойства
1. 1517 = 37 * 41 (мне это правда не пригодилось)
2. если (x₀, y₀) - решение уравнения, то (-x₀, -y₀) тоже является решением
3. число y - нечетное (это очевидно)
4. сравнение по модулю 2 дает y(x + 1) = 1 , то есть число x - чётное
5. я нашел пару решений
(20, 1) и (-20, -1)
...
С геометрической точки зрения ваше уравнение либо эллипс либо гипербола и больше двух решений оно не должно иметь.

@SSC · 25.10.2018, 09:11

Сообщение от нтч

я нашел пару решений
(20, 1) и (-20, -1)

В диапазоне -1000<=x<=1000 -1000<=y<=1000 других решений нет
Хотя утверждение

Сообщение от нтч

уравнение либо эллипс либо гипербола и больше двух решений оно не должно иметь.

очень спорно.
Если вместо 1517 взять 1517*4, то корней будет 4. (-75 2)(-40 -2)(40 2)(75 -2)
А для 1517*16 уже будет 6 корней

Байт · 25.10.2018, 10:23

Сообщение от нтч

1517 = 37 * 41 (мне это правда не пригодилось)

А мне вот даже очень

Мой путь разложения на множители дал (2x+y)(x+17y)= 37*41
Отсюда или 2x+y = 37 и x+17y=41 Или наоборот
Мне мой подход нравится больше, так как исключает гадание на кофейной гуще, а сразу выводит на решения и показывает, что других быть не может

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от Байт

показывает, что других быть не может

Написал и увидел, что мое утверждение тоже спорно.
Возможно еще 2x+y = 1 и x+17y=1517. Надо проверить, будут ли решения этой системки целыми...

@wer1 · 25.10.2018, 10:31

Уважаемый Байт,
а отрицательные множители вы рассматривать не собираетесь?
То есть -1, -37, - 41, - 1517

Байт · 25.10.2018, 10:46

Сообщение от нтч

а отрицательные множители вы рассматривать не собираетесь?

Да, вы правы. Сосредоточился на содержательной части задачи, а про то, что там числа целые, забыл

Добавлено через 7 минут
Но вообще-то очевидно, что если x=a, y=b является решением, то x=-2, y=-b тоже решение. (Ваш п.2)
Кстати, откуда вы вывели п.3 ? (Нечетность y). Это действительно так (видно из решения), но вот мои глаза не "очевидят".

Добавлено через 1 минуту
Хотя да. x, y не могут быть одинаковой четности. Это несложно увидеть. Но не так уж и "оче"....

@wer1 · 25.10.2018, 12:24

Кстати, откуда вы вывели п.3 ? (Нечетность y).*

Уважаемый Байт,
логика проста. Если у - чётное, то левая часть уравнения 2x^2 + 35xy + 17y^2 = 1517
будет чётным числом. Что противоречит правой части уравнения.

@kiviisfruit96 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.09.2017 Сообщений: 7
		1
	Найти все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению 24.10.2018, 22:55. Показов 10493. Ответов 7 Метки нет (Все метки) найти все пары целых чисел (x,y), удовлетворяющее уравнению 2x^2+35xy+17y^2=1517 был рассмотрен вариант: принимаем y в качестве константы(или как правильно это называется, параметр?). затем решаем квадратное уравнение. решив его, подставляем вместо x в исходное ур-е. решение трудоемкое, какие есть варианты более простого в вычислении? 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	24.10.2018, 23:25	2
	kiviisfruit96, Имхо, выражение слева можно разложить на множители. Для этого надо найти корни уравнения 2x² + 35z + 17 = 0. Корни есть и довольно милые. Потом разложить на множители (факторизовать) число 1517. И решение само упадет вам в руки. 0

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	25.10.2018, 08:47	3
	Уважаемый kiviisfruit96, из вашего уравнения следуют свойства 1. 1517 = 37 * 41 (мне это правда не пригодилось) 2. если (x₀, y₀) - решение уравнения, то (-x₀, -y₀) тоже является решением 3. число y - нечетное (это очевидно) 4. сравнение по модулю 2 дает y(x + 1) = 1 , то есть число x - чётное 5. я нашел пару решений (20, 1) и (-20, -1) ... С геометрической точки зрения ваше уравнение либо эллипс либо гипербола и больше двух решений оно не должно иметь. 1

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	25.10.2018, 09:11	4
	Сообщение от нтч я нашел пару решений (20, 1) и (-20, -1) В диапазоне -1000<=x<=1000 -1000<=y<=1000 других решений нет Хотя утверждение Сообщение от нтч уравнение либо эллипс либо гипербола и больше двух решений оно не должно иметь. очень спорно. Если вместо 1517 взять 15174, то корней будет 4. (-75 2)(-40 -2)(40 2)(75 -2) А для 151716 уже будет 6 корней 1

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	25.10.2018, 10:23	5
	Сообщение от нтч 1517 = 37 * 41 (мне это правда не пригодилось) А мне вот даже очень Мой путь разложения на множители дал (2x+y)(x+17y)= 3741 Отсюда или 2x+y = 37 и x+17y=41 Или наоборот Мне мой подход нравится больше, так как исключает гадание на кофейной гуще, а сразу выводит на решения и показывает, что других быть не может Добавлено через 2 минуты* Сообщение от Байт показывает, что других быть не может Написал и увидел, что мое утверждение тоже спорно. Возможно еще 2x+y = 1 и x+17y=1517. Надо проверить, будут ли решения этой системки целыми... 2

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	25.10.2018, 10:31	6
	Уважаемый Байт, а отрицательные множители вы рассматривать не собираетесь? То есть -1, -37, - 41, - 1517 1

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	25.10.2018, 10:46	7
	Сообщение от нтч а отрицательные множители вы рассматривать не собираетесь? Да, вы правы. Сосредоточился на содержательной части задачи, а про то, что там числа целые, забыл Добавлено через 7 минут Но вообще-то очевидно, что если x=a, y=b является решением, то x=-2, y=-b тоже решение. (Ваш п.2) Кстати, откуда вы вывели п.3 ? (Нечетность y). Это действительно так (видно из решения), но вот мои глаза не "очевидят". Добавлено через 1 минуту Хотя да. x, y не могут быть одинаковой четности. Это несложно увидеть. Но не так уж и "оче".... 1

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	25.10.2018, 12:24	8
	Кстати, откуда вы вывели п.3 ? (Нечетность y).* Уважаемый Байт, логика проста. Если у - чётное, то левая часть уравнения 2x^2 + 35xy + 17y^2 = 1517 будет чётным числом. Что противоречит правой части уравнения. 1