Найти многочлен 4-ой степени с коэффициентом из поля Q такой, что a=sqrt(3)+sqrt(5) является его корнем

@Likanika · Регистрация: 06.12.2018

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

@mathmichel · 06.12.2018, 22:55

Найдем сначала квадратное уравнение для пары корней $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & x_1=\sqrt{5}+\sqrt{3} \\ & x_2=\sqrt{5}-\sqrt{3} \end{cases}$ с помощью теоремы Виета: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2-2\sqrt{5}x+2=0$ , умножим это уравнение на сопряженное $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+2\sqrt{5}x+2=0$ , получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^4-16x^2+4=0$ . Это и есть нужное уравнение, одним из его корней будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\sqrt{5}+\sqrt{3}$ .

@wer1 · 07.12.2018, 09:16

Уважаемый Likanika,
к решению вашей задачи можно подойти иначе. Хотя решение уважаемого mathidiot
выглядит удивительно красиво. Итак дано $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\sqrt5+\sqrt3$ (корень нашего уравнения)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-\sqrt5=\sqrt3$
возводим в квадрат и приводим подобные
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2-2\sqrt5+2=0$
запишем это уравнение в виде
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+2=2\sqrt5$
возводим в квадрат и приводим подобные
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^4-16x^2+4=0$ (это ответ)

примечание
если искомый многочлен умножить на целое число, то получим ещё ответ.
(так что условие задачи сформулировано не совсем корректно)

@Likanika 0 / 0 / 0 Регистрация: 06.12.2018 Сообщений: 11
		1
	Найти многочлен 4-ой степени с коэффициентом из поля Q такой, что a=sqrt(3)+sqrt(5) является его корнем 06.12.2018, 20:12. Показов 804. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Найти многочлен 4-ой степени с коэффициентом из поля Q такой, что a=sqrt(3)+sqrt(5) является его корнем 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	06.12.2018, 22:55	2
	Найдем сначала квадратное уравнение для пары корней $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & x_1=\sqrt{5}+\sqrt{3} \\ & x_2=\sqrt{5}-\sqrt{3} \end{cases}$ с помощью теоремы Виета: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2-2\sqrt{5}x+2=0$ , умножим это уравнение на сопряженное $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+2\sqrt{5}x+2=0$ , получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^4-16x^2+4=0$ . Это и есть нужное уравнение, одним из его корней будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\sqrt{5}+\sqrt{3}$ . 1

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	07.12.2018, 09:16	3
	Уважаемый Likanika, к решению вашей задачи можно подойти иначе. Хотя решение уважаемого mathidiot выглядит удивительно красиво. Итак дано $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\sqrt5+\sqrt3$ (корень нашего уравнения) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-\sqrt5=\sqrt3$ возводим в квадрат и приводим подобные $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2-2\sqrt5+2=0$ запишем это уравнение в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+2=2\sqrt5$ возводим в квадрат и приводим подобные $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^4-16x^2+4=0$ (это ответ) примечание если искомый многочлен умножить на целое число, то получим ещё ответ. (так что условие задачи сформулировано не совсем корректно) 0