Линейная зависимость/независимость

@szl · Регистрация: 23.10.2018

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Система строк a₁,..,a_k линейно независима.
Что можно сказать о системе:
b₁=a₁+a₂, b₂=a₂+a₃, b₃=a₃+a₄, ... , b_k-1=a_k-1+a_k, b_k=a_k+a₁

Помогите, пожалуйста. Только с подробным объяснением.

Байт · 10.12.2018, 17:36

Представьте b_i в базе { a_i } и сделайте из них матрицу. Получится что-то вроде

Код

1 1 0 ...
0 1 1 ..
...
1`0... 0 1

Нам надо выяснить, нулевой ли определитель этой матрицы
Разложением по первому столбцу получаем
D = 1 + (-1)^n-1 (n-размернсть матрицы
Отсюда при четном n D=0 - линейно-зависимы
При нечетном D=2 - линейно-независимы

@jogano · 10.12.2018, 18:09

Для нечётных k новая система будет линейно независимой, для чётных k линейно зависимой.
Подробного решения не выйдет - мартышкин труд в редакторе формул с матрицами, это долго.
Запишите линейную комбинацию новых строк $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{k-1}\lambda _i \left(a_i+a_{i+1} \right)+\lambda _k \left(a_k+a_1 \right)$ , сведите подобные по a_i и получите при каждом a_i сумму двух коэффициентов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ . Так как исходные строки линейно независимые, то чтобы вышенаписанная сумма была равна 0, необходимо, чтобы каждый коэффициент при a_i был равен 0. Получаете однородную систему по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda_i, \: i=\bar{1;k}$ . Если эта однородная система имеет ненулевое решение (а это будет когда определитель матрицы k*k равен 0), то система новых строк линейно зависима, а если решения системы только нулевые, то новая система строк линейно независима. И нужно посчитать этот определитель. У меня вышло, что он равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1+\left(-1 \right)^{k+1} \right)\left(-1 \right)^{\frac{\left(k+2 \right)\left(k-1 \right)}{2}}$ . Вот этот момент , как считать такой определитель, расписывать долго. Второй сомножитель не 0, а первый будет равен 0 при чётных k и равен 2 при нечётных k.

Байт меня опередил...

@szl · 10.12.2018, 18:09 **[ТС]**

Спасибо большое!

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
		1
	Линейная зависимость/независимость 10.12.2018, 15:40. Показов 1701. Ответов 3 Метки базис, векторы, матрицы (Все метки) Система строк a₁,..,a_k линейно независима. Что можно сказать о системе: b₁=a₁+a₂, b₂=a₂+a₃, b₃=a₃+a₄, ... , b_k-1=a_k-1+a_k, b_k=a_k+a₁ Помогите, пожалуйста. Только с подробным объяснением. 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	10.12.2018, 17:36	2
	Сообщение было отмечено szl как решение Решение Представьте b_i в базе { a_i } и сделайте из них матрицу. Получится что-то вроде Код 1 1 0 ... 0 1 1 .. ... 1`0... 0 1 Нам надо выяснить, нулевой ли определитель этой матрицы Разложением по первому столбцу получаем D = 1 + (-1)^n-1 (n-размернсть матрицы Отсюда при четном n D=0 - линейно-зависимы При нечетном D=2 - линейно-независимы 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	10.12.2018, 18:09	3
	Для нечётных k новая система будет линейно независимой, для чётных k линейно зависимой. Подробного решения не выйдет - мартышкин труд в редакторе формул с матрицами, это долго. Запишите линейную комбинацию новых строк $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{k-1}\lambda _i \left(a_i+a_{i+1} \right)+\lambda _k \left(a_k+a_1 \right)$ , сведите подобные по a_i и получите при каждом a_i сумму двух коэффициентов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ . Так как исходные строки линейно независимые, то чтобы вышенаписанная сумма была равна 0, необходимо, чтобы каждый коэффициент при a_i был равен 0. Получаете однородную систему по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda_i, \: i=\bar{1;k}$ . Если эта однородная система имеет ненулевое решение (а это будет когда определитель матрицы kk равен 0), то система новых строк линейно зависима, а если решения системы только нулевые, то новая система строк линейно независима. И нужно посчитать этот определитель. У меня вышло, что он равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1+\left(-1 \right)^{k+1} \right)\left(-1 \right)^{\frac{\left(k+2 \right)\left(k-1 \right)}{2}}$ . Вот этот момент , как считать такой определитель, расписывать долго. Второй сомножитель не 0, а первый будет равен 0 при чётных k и равен 2 при нечётных k. Байт* меня опередил... 0

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	10.12.2018, 18:09 [ТС]	4
	Спасибо большое! 0

Линейная зависимость/независимость

Решение