Уравнение с комплексными числами

@roki1 · Регистрация: 04.03.2018

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго всем времени суток! Нужна помощь в решении уравнения z^2+|z|=0. Я остановился на системе уравнений
x^4-6x^2y^2-y^4-x^2-y^2=0
4x^3y-4xy^3=0 - которую не соображу как решить, буду очень благодарен за помощь в решении)

Байт · 10.12.2018, 17:23

roki1, такое уравнение удобнее решать с показательным представлением
z = Ae^it
|z| = A
A²e^2t + A = 0
Тривиальное решение A = 0 => z0 = 0
Ae^-2t = -1 = 1*e^pi => A =1, 2t = pi + 2pi*k, t1 = pi/2, t2= 3pi/2
z1 = e^pi/2 = i
z2 = -i

@kabenyuk · 10.12.2018, 17:50

Сообщение от Байт

удобнее решать с показательным представлением

Даже и этого не нужно. Из условия задачи следует, что если z не ноль, то |z|=1. Это с одной стороны. С другой стороны, квадрат комплексного числа - отрицательное вещественное - значит оно чисто мнимое. Эти две стороны за то, что z=i или z=-i.

Байт · 10.12.2018, 19:12

Не смея оспаривать блестящего решения уважаемого kabenyuk, хочу заметить, что решение можно получить и вполне "тупым" образом. Только не надо спешить возводить в квадрат модуль...
x² + 2xyi - y² +|z| = 0
Мнимая часть 2xy = 0
Отсюда или x=0 или y=0
Случай y = 0: x² + |x| = 0 -очевидно, решений не имеет (тривиальное - не в счет).
x = 0: -y² + |y| = 0 имеет 2 решения |y| = 1

Добавлено через 2 минуты
Кстати, и систему, представленную ТС в 1-м посте тоже решить не сложно. Возни, конечно, поболее, но решаемо на самом школьном уровне...

@roki1 · 10.12.2018, 21:05 **[ТС]**

Спасибо, вроде бы разобрался)

@roki1 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.03.2018 Сообщений: 51
		1
	Уравнение с комплексными числами 10.12.2018, 15:58. Показов 1316. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Доброго всем времени суток! Нужна помощь в решении уравнения z^2+\|z\|=0. Я остановился на системе уравнений x^4-6x^2y^2-y^4-x^2-y^2=0 4x^3y-4xy^3=0 - которую не соображу как решить, буду очень благодарен за помощь в решении) 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	10.12.2018, 17:23	2
	roki1, такое уравнение удобнее решать с показательным представлением z = Ae^it \|z\| = A A²e^2t + A = 0 Тривиальное решение A = 0 => z0 = 0 Ae^-2t = -1 = 1e^pi => A =1, 2t = pi + 2pik, t1 = pi/2, t2= 3pi/2 z1 = e^pi/2 = i z2 = -i 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	10.12.2018, 17:50	3
	Сообщение от Байт удобнее решать с показательным представлением Даже и этого не нужно. Из условия задачи следует, что если z не ноль, то \|z\|=1. Это с одной стороны. С другой стороны, квадрат комплексного числа - отрицательное вещественное - значит оно чисто мнимое. Эти две стороны за то, что z=i или z=-i. 1

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	10.12.2018, 19:12	4
	Не смея оспаривать блестящего решения уважаемого kabenyuk, хочу заметить, что решение можно получить и вполне "тупым" образом. Только не надо спешить возводить в квадрат модуль... x² + 2xyi - y² +\|z\| = 0 Мнимая часть 2xy = 0 Отсюда или x=0 или y=0 Случай y = 0: x² + \|x\| = 0 -очевидно, решений не имеет (тривиальное - не в счет). x = 0: -y² + \|y\| = 0 имеет 2 решения \|y\| = 1 Добавлено через 2 минуты Кстати, и систему, представленную ТС в 1-м посте тоже решить не сложно. Возни, конечно, поболее, но решаемо на самом школьном уровне... 0

@roki1 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.03.2018 Сообщений: 51
	10.12.2018, 21:05 [ТС]	5
	Спасибо, вроде бы разобрался) 0