Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Алгебра, теория чисел
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.59/194: Рейтинг темы: голосов - 194, средняя оценка - 4.59
vetvet
Змеюка одышечная
9844 / 4585 / 177
Регистрация: 04.01.2011
Сообщений: 8,570
#1

Матрицы. Определители

28.01.2012, 23:52. Просмотров 35027. Ответов 3
Метки нет (Все метки)

1. Матрицы.
1.1.
Основные определения.
- Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

- Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

- Матрица записывается в виде:

Матрицы. Определители


или, сокращённо, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\left(a_{i,j}\right), где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i=\bar{1,m} - номер строки, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?j=\bar{1,n} - номер столбца. Числа i и j определяют, соответственно, номер строки и столбца, на пересечении которых находится элемент http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{i,j} в матрице http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A(играют роль координат этого элемента в прямоугольной таблице чисел).

- Набор http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in}\end{matrix} \right) называется i-й строкой матрицы А, а набор http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}a_{1j}\\ a_{2j}\\ ...\\ a_{mj}\end{pmatrix} называется j-м столбцом матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A.

- Любые строки и столбцы матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A, в свою очередь, являются матрицами.

- Две матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B одинакового размера называются равными (http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=B), если они совпадают поэлементно.


1.2.
Виды матриц.
- Матрица, состоящая из одной строки
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in}\end{matrix} \right)
называется матрицей-строкой или вектором.

- Матрица, состоящая из одного столбца
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}a_{1j}\\ a_{2j}\\ ...\\ a_{mj}\end{pmatrix}
называется матрицей-столбцом (вектором).

- Матрица произвольного размера, все элементы которой равны 0, называется нулевой (обозначается http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O).

- Матрица называется квадратной n-го порядка, если число её строк равно числу столбцов и равно n.

- В квадратной матрице совокупность элементов на линии, соединяющей левый верхний угол с правым нижним, называют главной диагональю. Элементы, стоящие на главной диагонали, называют диагональными. У диагональных элементов номер строки совпадает с номером столбца.

- В квадратной матрице совокупность элементов на линии, соединяющей правый верхний угол с левым нижним, называют побочной диагональю.

- Квадратную матрицу, у которой отличны от 0 лишь элементы главной диагонали, называют диагональной. Диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали одинаковые, называется скалярной.
Пример 1.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{matrix} \right) - диагональная матрица 3-го порядка;

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{matrix} \right) - скалярная матрица 3-го порядка.

- Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны 0, называется единичной (обозначается http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E).
Пример 2.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right) - единичная матрица 3-го порядка.

- Квадратная матрица, у которой все элементы выше или ниже главной диагонали равны 0, называется треугольной (левой (нижней) треугольной или правой (верхней) треугольной, соответственно).
Пример 3.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}2 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 3\end{matrix} \right) - верхняя треугольная матрица 3-го порядка;

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}2 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 3\end{matrix} \right) - нижняя треугольная матрица 3-го порядка.

- Произвольная матрица вида http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C=(A|B), составленная из двух матриц, разделённых вертикальной чертой, называется расширенной.
Пример 4.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{matrix}\left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right) - расширенная матрица, составленная из квадратной матрицы 3-го порядка и единичной матрицы 3-го порядка.

- Квадратная матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A n-го порядка называется симметричной, если её элементы подчиняются равенству: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{ij}=a_{ji}, где i,j= 1,2, ... , n.
Пример 5.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}2 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 0\\ 3 & 0 & 3\end{matrix} \right) - симметричная матрица 3-го порядка.



1.3.
Действия над матрицами.
1)
Сложение матриц.
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{m\times n} и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B_{m\times n} называется матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{m\times n} такая, что при

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{m\times n}=\left(a_{ij}\right), B_{m\times n}=\left(b_{ij}\right), C_{m\times n}=\left(c_{ij}\right),

имеем
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i=1,2, ...,m,j=1,2,...,n

Т.е., элементы матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C равны суммам соответствующих элементов матриц http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B:
Матрицы. Определители

Пример 6.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}3 & -2 & 0\\ 5 & 4 & 6\end{matrix} \right)+\left(\begin{matrix}3 & 3 & -1\\ -2 & -5 & 4\end{matrix} \right)http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\left(\begin{matrix}3+3 & -2+3 & 0-1\\ 5-2 & 4-5 & 6+4\end{matrix} \right)http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\left(\begin{matrix}6 & 1 & -1\\ 3 & -1 & 10\end{matrix} \right)

Разность матриц определяется аналогично.


2)
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{m\times n} на число http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda называется матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B_{m\times n} такая, что при

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{m\times n}=\left(a_{ij}\right), B_{m\times n}=\left(b_{ij}\right)

имеем
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b_{ij}=\lambda\cdot a_{ij},

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i=1,2, ...,m,j=1,2,...,n

Т.е., элементы матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B получаются из соответствующих элементов матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A умножением на число http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda:
Матрицы. Определители

Пример 7.
Матрицы. Определители

- Матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-A=(-1)\cdot A называется противоположной матрице http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A.

Т.о., разность матриц http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A-B можно ещё определить так:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A-B=A+(-B).


3)
Умножение матриц. Возведение в степень.
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{m\times n} на матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B_{n\times p} называется матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{m\times p} такая, что при

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{m\times n}=\left(a_{ij}\right), B_{n\times p}=\left(b_{jk}\right), C_{m\times p}=\left(c_{ik}\right),
имеем
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_{ik}=a_{i1}\cdot b_{1k}+a_{i2}\cdot b_{2k}+...+a_{in}\cdot b_{nk},

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i=1,2, ...,m,k=1,2,...,p

т.е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A на соответствующие элементы k-го столбца матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B.

Схематично это можно изобразить так:
Матрицы. Определители

Пример 8.

Матрицы. Определители

Произведение http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot B не определено, так как число столбцов матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A не совпадает с числом строк матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B.

- Порядок матриц-сомножителей существенен. Поэтому говорят об умножении матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A на матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B справа или слева. Т.е. в произведении http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot B матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A называют левым множителем для матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B и говорят об умножении матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B на матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A слева. Аналогично в произведении http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot B матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B называют правым множителем для матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A и говорят об умножении матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A на матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B справа.

- Если произведения http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot B и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B\cdot A определены и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot B=B\cdot A, то матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B называются перестановочными.

- Возведение матрицы в целую положительную степень k сводится к произведению k одинаковых матриц.
При этом http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^0=E,A^1=A.
Пример 9.
Найти http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(A), если http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=x^2-2x,
Матрицы. Определители


Решение. Находим:
Матрицы. Определители


Матрицы. Определители


Матрицы. Определители

Получаем:
Матрицы. Определители


Свойства умножения матриц:
1. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A(BC)=(AB)C;

2. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B);

3. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(A+B)=CA+CB;

4. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(A+B)C=AC+BC.


4)
Транспонирование матрицы.
Транспонированием матрицы - переход от матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A к матрице http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{T}, в которой строки заменены на соответствующие столбцы с сохранением порядка.

Матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{T} называется транспонированной относительно матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A.

Т.е., чтобы получить матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{T}, нужно первую строку матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A записать как первый столбец матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{T}, вторую строку матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A записать как второй столбец матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{T} и т.д. по порядку.

Если матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A имеет размер m x n, то матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{T} будет иметь размер n x m.
Пример 10.
Матрицы. Определители


Свойства:
1. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(A+B)^T=A^T+B^T;

2. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\alpha A)^T=\alpha A^T;

3. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(AB)^T=B^TA^T;

4. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(A^T)^T=A.


5)
Элементарные преобразования строк (столбцов).

- Суммой столбцов (строк) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b одинаковой высоты (длины) называют столбец (строку) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c той же высоты (длины), элементы которого равны суммам соответствующих элементов слагаемых столбцов (строк), т.е.

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a+b=\left(\begin{matrix}a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{matrix} \right)+\left(\begin{matrix}b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix}a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ ...\\ a_n+b_n\end{matrix} \right)=c

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+y=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}x_1 & x_2 & ... & x_m\end{matrix} \right)+\left(\begin{matrix}y_1 & y_2 & ... & y_m\end{matrix} \right)http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\left(\begin{matrix}x_1+y_1 & x_2+y_2 & ... & x_m+y_m\end{matrix} \right)http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=z

- Произведением столбца (строки) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a на число http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda называют столбец (строку), элементами которого являются соответствующие элементы столбца (строки) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a, умноженные на число http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda, т.е.

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda a=\lambda\left(\begin{matrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix}\lambda a_1\\ \lambda a_2\\ ...\\ \lambda a_n\end{matrix} \right)

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda x=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda\left(\begin{matrix}x_1 & x_2 & ... & x_m\end{matrix} \right)http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\left(\begin{matrix}\lambda x_1 & \lambda x_2 & ... & \lambda x_m\end{matrix} \right)

- Пусть даны столбцы
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1=\left(\begin{matrix}\alpha_{11}\\ \alpha_{21}\\ ...\\ \alpha_{n1}\end{matrix} \right),http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_2=\left(\begin{matrix}\alpha_{12}\\ \alpha_{22}\\ ...\\ \alpha_{n2}\end{matrix} \right),..., http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_k=\left(\begin{matrix}\alpha_{1k}\\ \alpha_{2k}\\ ...\\ \alpha_{nk}\end{matrix} \right),http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=\left(\begin{matrix}\beta_{1}\\ \beta_{2}\\ ...\\ \beta_{n}\end{matrix} \right).

Столбец http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b называют линейной комбинацией столбцов http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1,a_2,...,a_n, если существует набор чисел http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k, для которых выполняется равенство http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+...+\lambda_ka_k.

Под элементарными преобразованиями над матрицей размером m x n понимают следующие действия:

1. Умножение любой строки матрицы на любое ненулевое число.

2. Прибавление к любой i-й строке матрицы любой её j-й строки, умноженной на произвольное число http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha.

3. Умножение любого столбца матрицы на любое ненулевое число.

4. Прибавление к любму i-му столбцу матрицы любого её j-го столбца, умноженного на произвольное число http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha.

5. Перестановку строк (столбцов) матрицы.

Если матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A может быть преобразована в матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B с помощью элементарных преобразований, то матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B называют эквивалентными.
30
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
28.01.2012, 23:52
Ответы с готовыми решениями:

Определители и матрицы
Пожалуйста помогите решить, вроде не сложно, но чего-то недопонимаю. Задание:...

определители
Решите пожалуйста

решить определители

Вычислить определители.
Здравствуйте.Есть задачи.Я решил первые две через умножение чисел в главной...

Задания на определители
Тут задания 4 типов,много писать поэтмоу я фото сделал,помогите пожалуйста...

3
vetvet
Змеюка одышечная
9844 / 4585 / 177
Регистрация: 04.01.2011
Сообщений: 8,570
02.02.2012, 04:23  [ТС] #2
2. Определители.
2.1.
Определение.
Определителем (детерминантом) n-го порядка, соответствующим квадратной матрице
Матрицы. Определители

называется алгебраическая сумма n! членов вида
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{1\alpha_1}\cdot a_{2\alpha_2}\cdot ... \cdot a_{n\alpha_n}.
Эти члены представляют собой всевозможные произведения по n элементов матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Произведения берутся со знаком http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1)^t, где t - число инверсий в перестановке http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha_1\alpha_2...\alpha_n, составленной из вторых индексов элементов матрицы, входящих в рассматриваемое произведение.

- Обозначается:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{matrix} \right| или http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?detA, или http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|A|, или http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta.


2.2.
Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.
1) Для определителя 2-го порядка непосредственно по определению получаем формулу

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{matrix} \right]=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}
которую легко запомнить по следующей схеме:
Матрицы. Определители

Пример 1.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}3 & 5\\ 2 & 7\end{matrix} \right]=3\cdot 7-2\cdot 5=21-10=11


2) Для определителя 3-го порядка также непосредственно из определения получаем:

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a{32} & a_{33}\end{matrix} \right]=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}
Для запоминания этой формулы удобно пользоваться правилом треугольников, которое схематично можно изобразить так:
Матрицы. Определители

Пример 2.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}2 & 3 & 4\\ 5 & 7 & 8\\ 3 & 2 & 1\end{matrix} \right]=2\cdot 7\cdot 1+3\cdot 8\cdot 3+4\cdot 5\cdot 2-4\cdot 7\cdot 3-3\cdot 5\cdot 1-2\cdot 8\cdot 2=14+72+40-84-15-32=-5


При выписывании формулы для вычисления определителя третьего порядка можно также воспользоваться правилом Саррюса: к определителю приписывают справа его первый и второй столбцы, затем записывают нужную формулу, последовательно составляя произведения по три элемента, стоящих на одной диагонали и приписывая знаки этим произведениям по следующей схеме:
Матрицы. Определители


2.3.
Свойства определителя.
1) Определитель не меняется при транспонировании (преобразовании, при котором строки определителя заменяются на его соответствующие столбцы).

2) Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен 0.

3) При перестановке двух строк определитель меняет знак.

4) Определитель, содержащий две равных строки, равен 0.

5) Если все элементы некоторой строки умножить на число k, то определитель умножится на это число.

6) Определитель, содержащий пропорциональные строки, равен 0.

7) Если все элементы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{ij} i-й строки определителя n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых, т.е. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и у исходного определителя, а i-я строка в первом слагаемом состоит из элементов http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b_{ij}, во втором - из элементов http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_{ij}, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?j=1,2,...,n. Т.о.,
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12}&... & a_{1n}\\...& ...& ...& ...\\ b_{i1}+c_{i1} & b_{i2}+c_{i2}& ... & b_{in}+c_{in}\\...& ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2}&... & a_{nn}\end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12}&... & a_{1n}\\...& ...& ...& ...\\ b_{i1} & b_{i2}& ... & b_{in}\\...& ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2}&... & a_{nn}\end{matrix} \right]+\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12}&... & a_{1n}\\...& ...& ...& ...\\ c_{i1} & c_{i2}& ... & c_{in}\\...& ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2}&... & a_{nn}\end{matrix} \right]

Это свойство распространяется и на случай m слагаемых.

8) Определитель не меняется, если к элементам одной его строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Так как множитель может быть и отрицательным, то определитель не меняется и при вычитании из одной строки определителя другой, умноженной на некоторое число.

9) Если одна из строк определителя является линейной комбинацией других его строк (представлена в виде суммы этих строк, умноженных на некоторое число), то этот определитель равен 0.

10) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\det (A \cdot B) = \det (B \cdot A) = \det A \cdot \det B

Так как определитель не меняется при транспонировании, то указанные свойства строк справедливы и для столбцов определителя.


2.4.
Миноры и алгебраические дополнения.
- Выделим в определителе n-го порядка произвольно k строк и k столбцов. Определитель k-го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечениях выделенных строк и столбцов, называют минором k-го порядка определителя (обозначается http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M).
В частности минорами первого порядка являются элементы определителя.

- Если после составления минора k-го порядка вычеркнуть выделенные k строк и k столбцов, то из оставшихся элементов можно составить определитель (n-k)-го порядка. Этот определитель называют дополнительным минором к минору http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M (обозначают http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M').
Дополнительный минор элемента http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{ij} обозначают http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M'_{ij}.

- Алгебраическим дополнением минора http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M называют его дополнительный минор http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M', взятый со знаком http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1)^{s_M}, где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?s_M - сумма номеров всех строк и столбцов, в которых располагается минор http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M (обозначается http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A).
В частности для алгебраического дополнения http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{ij} элемента http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{ij} получается формула
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{ij}=(-1)^{i+j}M'_{ij}.
Пример 3.
Найдём алгебраические дополнения всех элементов определителя:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\begin{matrix}1 & -1 & 1\\2 & 1 & 1 \\1 & 1 & 2 \end{matrix} \right|.

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{11}=(-1)^{1+1}\left[\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{matrix} \right]=1; http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{12}=(-1)^{1+2}\left[\begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{matrix} \right]=-3; http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{13}=(-1)^{1+3}\left[\begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{matrix} \right]=1;

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{21}=(-1)^{2+1}\left[\begin{matrix} -1 & 1\\ 1 & 2 \end{matrix} \right]=3; http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{22}=(-1)^{2+2}\left[\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{matrix} \right]=1; http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{23}=(-1)^{2+3}\left[\begin{matrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{matrix} \right]=-2;

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{31}=(-1)^{3+1}\left[\begin{matrix} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{matrix} \right]=-2; http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{32}=(-1)^{3+2}\left[\begin{matrix} 1 & 1\\ 2 & 1 \end{matrix} \right]=1; http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{33}=(-1)^{3+3}\left[\begin{matrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{matrix} \right]=3.



2.5.
Разложение определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа.
- Определитель http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta n-го порядка равен сумме всех элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}
В частности, если в какой-либо строке (столбце) все элементы, кроме одного, нули, то определитель равен произведению этого не равного нулю элемента на его алгебраическое дополнение.

- Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна 0, т.е.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+...+a_{in}A_{kn}=0

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{1j}A_{1k}+a_{2j}A_{2k}+...+a_{nj}A_{nk}=0

- Теорема Лапласа: Пусть в определителе http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta n-го порядка произвольно выбраны k строк (или k столбцов), http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\le k\le n-1. Тогда сумма произведений всех минороа k-го порядка, расположенных в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta.
Пример 4.
Вычислим по теореме Лапласа определитель:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 4\\ 0 & 3 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3\end{matrix} \right|
Выберем в матрице http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A первые две строки http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(i_1=1,i_2=2). В этих строках расположены 6 миноров, которые получаются при произвольном выборе двух столбцов:
Матрицы. Определители

Найдём алгебраические дополнения этих миноров:
Матрицы. Определители

Тогда по теореме Лапласа определитель равен:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta=M_{12}^{12}\cdot A_{12}^{12}+M_{13}^{12}\cdot A_{13}^{12}+M_{14}^{12}\cdot A_{12}^{14}+M_{23}^{12}\cdot A_{23}^{12}+M_{24}^{12}\cdot A_{24}^{12}+M_{34}^{12}\cdot A_{34}^{12}=

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=3\cdot(-1)+0\cdot 2+1\cdot(-1)+(-9)\cdot 1+(-12)\cdot(-2)+3\cdot 3=20



2.6.
Вычисление определителей n-го порядка.
Вычисление определителя по определению в общем случае приводит к громоздким вычичслениям. Уже для 4 порядка имеем 4!=24 слагаемых. Поэтому для вычисления определители порядка выше 3 используют преобразования определителя по свойствам и разложение определителя по строке (столбцу).

1 способ. Использование теоремы о разложении определителя по строке (столбцу).
Пример 5.
Разложим определитель
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}2 & 2 & -1\\2 & -4 & 1 \\-2 & -2& 2 \end{matrix} \right],
например, по третьему столбцу:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}2 & 2 & -1\\2 & -4 & 1 \\-2 & -2& 2 \end{matrix} \right]=-1\cdot(-1)^{1+3}\left[\begin{matrix}2 & -4\\-2 & -2\end{matrix} \right]+1\cdot(-1)^{2+3}\left[\begin{matrix}2 & 2\\-2 & -2\end{matrix} \right]+2\cdot(-1)^{3+3}\left[\begin{matrix}2 & 2\\2 & -4\end{matrix} \right]=-(-4-8)-(-4+4)+2(-8-4)=-12


2 способ. Использование свойств определителя для преобразования его к виду, когда он содержит строку или столбец с максимальным количеством нулей. Затем производят разложение определителя по этой строке (столбцу).
При этом для преобразований выбирают строку (столбец), содержащую элемент равный 1 (если есть).
Пример 6.
Вычислим определитель четвёртого порядка:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}4 & 6 & -2 & 4\\ 1 & 2 & -3 & 1\\ 4 & -2 & 1 & 0\\ 6 & 4 & 4 & 6\end{matrix}\right].
Для преобразований выберем 3 строку. Преобразуем определитель так, чтобы в 3-й строке все элементы, кроме 1, обращались в 0. Для этого умножим элементы 3-го столбца на (-4) и на 2 и прибавим их соответственно к элементам 1-го и 2-го столбцов. Получим
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}4 & 6 & -2 & 4\\ 1 & 2 & -3 & 1\\ 4 & -2 & 1 & 0\\ 6 & 4 & 4 & 6\end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix}12 & 2 & -2 & 4\\ 13 & -4 & -3 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -10 & 12 & 4 & 6\end{matrix}\right]
Раскладываем полученный определитель по элементам третьей строки:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}12 & 2 & -2 & 4\\ 13 & -4 & -3 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -10 & 12 & 4 & 6\end{matrix} \right]=1\cdot(-1)^{3+3}\left[\begin{matrix}12 & 2 & 4\\ 13 & -4 & 1\\ -10 & 12 & 6\end{matrix} \right]
Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или с помощью теоремы Лапласа, однако можно продолжить упрощение. "Обнулим" в полученном определителе элементы 2-й строки (кроме 3-го). Для этого элементы 3-го столбца матрицы, предварительно умножив на (-13) и на 4, сложим с элементами 1-го и 2-го столбцов соответственно:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}12 & 2 & 4\\ 13 & -4 & 1\\ -10 & 12 & 6\end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix}-40 & 18 & 4\\ 0 & 0 & 1\\ -88 & 36 & 6\end{matrix} \right]
Раскладывая по элементам второй строки и вынося общие множители, получаем:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|A|=1\cdot(-1)^{2+3}\left[\begin{matrix}-40 & 18 \\ -88 & 36 \end{matrix} \right]=(-1)\cdot(-8)\cdot 18\cdot\left[\begin{matrix}5 & 1 \\ 11 & 2 \end{matrix} \right]=-144


3 способ. Используя свойства определителя, преобразовать его к треугольному виду. Тогда величина определителя вычисляется как произведение элементов, стоящих на главной диагонали.
Пример 7.
Вычислим определитель из 1 примера:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}2 & 2 & -1\\2 & -4 & 1 \\-2 & -2& 2 \end{matrix} \right]
Элементы первой строки умножим на (-1) и сложим с элементами второй строки:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}2 & 2 & -1\\2 & -4 & 1 \\-2 & -2& 2 \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix}2 & 2 & -1\\0 & -6 & 2 \\-2 & -2& 2 \end{matrix} \right]
Элементы первой строки сложим с элементами третьей строки:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}2 & 2 & -1\\0 & -6 & 2 \\-2 & -2& 2 \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix}2 & 2 & -1\\0 & -6 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]
Перемножим элементы главной диагонали:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\begin{matrix}2 & 2 & -1\\0 & -6 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]=-12


*Так как редактор формул на форуме не всегда адекватно отображает определители, то в обозначении определителей использованы квадратные скобки вместо вертикальной черты, что не есть верно для общеупотребительного их обозначения.
34
vetvet
Змеюка одышечная
9844 / 4585 / 177
Регистрация: 04.01.2011
Сообщений: 8,570
10.02.2012, 22:30  [ТС] #3
3. Обратная матрица.
3.1.
Основные опредеделния.
- Обратной по отношению к квадратной матрице http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A порядка n называется матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{-1} того же порядка, если выполняются условия:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E.

- Матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A будет обратной для матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{-1}, т.е. можно говорить, что матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{-1} взаимно обратны (а также являются перестановочными).

- Если существует матрица, обратная к матрице http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A, то такая матрица единственная.

- Матрица называется невырожденной, если её определитель отличен от 0, т.е. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|A|\ne 0. В противном случае матрица называется вырожденной.

- Матрица
Матрицы. Определители

элементами которой являются алгебраические дополнения http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{ij} элементов http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{ij} матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A, называется присоединённой или союзной матрицей к матрице http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A.

- Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная. При этом матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{-1} определяется формулой:

Матрицы. Определители


3.2.
Способы нахождения обратной матрицы.

I. Матрицу, обратную к матрице второго порядка легко найти по формуле:
Матрицы. Определители


II. Способы нахождения обратных матриц порядка выше двух:

Первый способ.
1) Сначала находим определитель данной матрицы и убеждаемся, что матрица не является вырожденной.

2) Если определитель матрицы не равен 0, то строим матрицу, союзную данной. Для этого элементы исходной матрицы нужно заменить их алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать (на практике после нахождения алгебраических дополнений сразу записывают уже транспонированную матрицу).

3) Умножаем элементы союзной матрицы на число http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{|A|}.
Пример 1.
Найдём матрицу, обратную к матрице
Матрицы. Определители


Определитель матрицы:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|A|=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\begin{matrix}5 & -2 & 2\\ 3 & -2 & 3\\ 2 & -3 & 4\end{matrix} \right|http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=-40-12-18+8+24+45=7
отличен от 0, поэтому матрица имеет обратную.

Чтобы найти её, найдём алгебраические дополнения:
Матрицы. Определители


Матрицы. Определители


Матрицы. Определители


Матрицы. Определители


Матрицы. Определители


Матрицы. Определители


Матрицы. Определители


Матрицы. Определители


Матрицы. Определители


Запишем присоединённую матрицу:
Матрицы. Определители


Тогда обратная матрица равна:
Матрицы. Определители


Второй способ. Для матриц больших размеров отыскание обратной матрицы удобно производить с помощью элементарных преобразований над матрицами.
Этот метод состоит в следующем:
1) Выписывают расширенную матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(A|E\right), составленную из исходной матрицы и единичной матрицы того же порядка.

2) Проводят над строками этой матрицы элементарные преобразования так, чтобы матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A в составе расширенной матрицы превратилась в единичную. Тогда единичная матрица в ходе этих преобразований преобразуется в обратную матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{-1}.
Пример 2.
Найдём матрицу, обратную к матрице
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6\end{matrix} \right)

Запишем расширенную матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(A|E\right)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6\end{matrix}\left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right)

и преобразуем её с помощью элементарных преобразований строк.
Вычтем из элементов второй и третьей строки элементы первой:
Матрицы. Определители
.

Прибавим к элементам третьей строки элементы второй строки, умноженные на (-2):
Матрицы. Определители
.

Прибавим к элементам второй строки элементы третьей строки, умноженные на (-2),
и к элементам первой строки элементы третьей, умноженные на (-1):
Матрицы. Определители
.

Вычтем из элементов первой строки элементы второй:
Матрицы. Определители
.

Из этих преобразований получаем, что
Матрицы. Определители


3.3.
Свойства обратных матриц.
Обратная матрица обладает следующими свойствами:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1)(A^{-1})^{-1}=A;

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2)(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T;

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3)(A^{-1})^{m}=(A^m)^{-1};

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4)(A_1\cdot A_2)^{-1}=A_2^{-1}\cdot A_1^{-1};

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5)|A^{-1}|=\frac{1}{|A|};

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?6)E^{-1}=E.
28
vetvet
Змеюка одышечная
9844 / 4585 / 177
Регистрация: 04.01.2011
Сообщений: 8,570
11.03.2012, 23:37  [ТС] #4
4. Матричные уравнения.
4.1.
Определения.
- Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу.

- Простейшими матричными уравнениями называются равенства вида

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot X=B,X\cdot A=B,A\cdot X\cdot A=C,A\cdot X=X\cdot B,A\cdot X+X\cdot B=C, где

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A,B,C - данные матрицы, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X - матрица, которую необходимо найти.

- Некоторую матрицу называют решением матричного уравнения, если при её подстановке вместо http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X матричное уравнение превращается в тождество.


4.2.
Решение простейших уравнений вида AX=B,XA=B,AXB=C.
I) Рассмотрим уравнение вида http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot X=B, где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A,B - известные матрицы, причём матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A квадратная и невырожденная, а матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B имеет тоже количество строк, что и матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A.
Такое уравнение можно решить двумя способами:
1. Вычисляется обратная матрица любым из известных способов. Тогда решение матричного уравнения будет иметь вид:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X=A^{-1}\cdot B

2. При помощи элементарных преобразований строк блочной матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(A|B\right) к виду http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(E|B_1\right), где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E - единичная матрица. Тогда матрица http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B_1 будет решением уравнения.
Пример 1.
Найдём решение матричного уравнения http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot X=B, имеющего вид
Матрицы. Определители
.
1. Найдём матрицу, обратную матрице http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A по правилу нахождения обратной матрицы 2-го порядка:
Матрицы. Определители

Матрицы. Определители


2. Запишем матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(A|B\right) и выполним элементарные преобразования, чтобы получить слева единичную матрицу:
Матрицы. Определители

В обоих случаях получим ответ
Матрицы. Определители


II) Матричное уравнение http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X\cdot A=B также можно решить двумя способами:
1. Вычисляется обратная матрица любым из известных способов. Тогда решение матричного уравнения будет иметь вид:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X= B\cdot A^{-1}

2. Транспонированием левой и правой частей уравнения получим
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(X\cdot A \right)^T=B^T\Rightarrow A^T\cdot X^T=B^T.
После введения новой неизвестной матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y=X^T получаем уравнение вида
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^T\cdot Y=B^T, которое можно решить методом элементарных преобразований, составив блочную матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(A^T|B^T\right).
Пример 2.
Найдём решение матричного уравнения http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X\cdot A=B, имеющего вид
Матрицы. Определители

1. Так как обратная матрица была найдена нами в предыдущем примере, то находим
Матрицы. Определители

2. Транспонируем обе части уравнения
Матрицы. Определители

Составим блочную матрицу и при помощи элементарных преобразований получим слева единичную
Матрицы. Определители

Итак,
Матрицы. Определители

что совпадает с решением, полученным первым способом.


III) Так как умножение матриц ассоциативно http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(A(BC)=(AB)C\right), то при решении уравнений вида http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot X\cdot B=C используются последовательно способы решения уравнений http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot X=B и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X\cdot A=B, описанные выше.
Например, решение, полученное первым способом, будет иметь вид
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}


4.3.
Решение уравнений вида AX=XB, AX+XB=C и уравнений с вырожденными множителями.
Для решения уравнений вида http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot X=X\cdot B,A\cdot X+X\cdot B=C описанные выше методы не подходят. Они не подходят также для решения уравнений, в которых хотя бы один из сомножителей при неизвестной матрице http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X является вырожденной матрицей.
В таких случаях матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X выписывают поэлементно (т.е. неизвестными будут элементы матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X, а не матрица в целом), проводят указанные в уравнении действия над матрицами и равенство двух частей уравнения записывают поэлементно. В результате получают систему линейных уравнений, решив которую, находят возможные значения элементов матрицы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X. Если система оказывается несовместной, то исходное матричное уравнение не имеет решений.
Пример 3.
Решить матричное уравнение http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AX+XB=C при
Матрицы. Определители


Запишем матрицу http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X поэлементно
Матрицы. Определители

Тогда в подробной записи матричное уравнение примет вид:
Матрицы. Определители

Вычислив произведения в левой части уравнения и сложив эти произведения, придём к уравнению
Матрицы. Определители

Записывая это матричное равенство по элементам, получим систему уравнений:
Матрицы. Определители

Решив эту систему, найдём
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=2,y=3,z=3,v=4
Следовательно, искомая матрица имеет вид:
Матрицы. Определители
23
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
11.03.2012, 23:37

Уравнение (определители)
Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить уравнение с определителем: 2 Х -1...

Определители разреженных матриц
Здравствуйте! Помогите посчитать определители следующих матриц: 1)...

Вычислить определители n-го порядка
4) Вычислить определители n-го порядка: Матрица: |1 2 3 ...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
4
Закрытая тема Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru