Доказать, что многочлены образуют векторное пространство

@Kapitan KaKao · Регистрация: 15.05.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доказать, что все многочлены степени <= n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами (или с коэффициентами из любого поля P) образуют векторное пространство, если за операции взять обычные сложения многочленов и умножение многочлена на число. Найти базис и размерность этого пространства.

@Kapitan KaKao · 31.05.2012, 13:39 **[ТС]**

у кого-нибудь есть идеи?

@Eugeniy · 31.05.2012, 15:56

Kapitan KaKao, идея в том, что функции

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1,x,{x}^{2},...,{x}^{n}$

линейно независимы. Это прямо следует из основной теоремы алгебры, по-этому мы вправе рассматривать линейную оболочку

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left{ 1,x,{x}^{2},...,{x}^{n}\right}$

порожденную всеми линейными комбинациями таких многочленов.
Это будет линейное пространство с базисом

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1,x,{x}^{2},...,{x}^{n}$

@Kapitan KaKao · 31.05.2012, 16:44 **[ТС]**

Сообщение от Eugeniy

Kapitan KaKao, идея в том, что функции

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1,x,{x}^{2},...,{x}^{n}$

линейно независимы. Это прямо следует из основной теоремы алгебры, по-этому мы вправе рассматривать линейную оболочку

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left{ 1,x,{x}^{2},...,{x}^{n}\right}$

порожденную всеми линейными комбинациями таких многочленов.
Это будет линейное пространство с базисом

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1,x,{x}^{2},...,{x}^{n}$

Спасибо, а размерность будет n-1?

@Eugeniy · 31.05.2012, 16:46

Kapitan KaKao, размерность это количество элементов в базисе. Стало быть n+1

@Kapitan KaKao 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.05.2012 Сообщений: 26
		1
	Доказать, что многочлены образуют векторное пространство 29.05.2012, 14:45. Показов 7770. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Доказать, что все многочлены степени <= n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами (или с коэффициентами из любого поля P) образуют векторное пространство, если за операции взять обычные сложения многочленов и умножение многочлена на число. Найти базис и размерность этого пространства. 0

@Kapitan KaKao 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.05.2012 Сообщений: 26
	31.05.2012, 13:39 [ТС]	2
	у кого-нибудь есть идеи? 0

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	31.05.2012, 15:56	3
	Сообщение было отмечено как решение Решение Kapitan KaKao, идея в том, что функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1,x,{x}^{2},...,{x}^{n}$ линейно независимы. Это прямо следует из основной теоремы алгебры, по-этому мы вправе рассматривать линейную оболочку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left{ 1,x,{x}^{2},...,{x}^{n}\right}$ порожденную всеми линейными комбинациями таких многочленов. Это будет линейное пространство с базисом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1,x,{x}^{2},...,{x}^{n}$ 4

@Kapitan KaKao 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.05.2012 Сообщений: 26
	31.05.2012, 16:44 [ТС]	4
	Сообщение от Eugeniy Kapitan KaKao, идея в том, что функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1,x,{x}^{2},...,{x}^{n}$ линейно независимы. Это прямо следует из основной теоремы алгебры, по-этому мы вправе рассматривать линейную оболочку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left{ 1,x,{x}^{2},...,{x}^{n}\right}$ порожденную всеми линейными комбинациями таких многочленов. Это будет линейное пространство с базисом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1,x,{x}^{2},...,{x}^{n}$ Спасибо, а размерность будет n-1? 0

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	31.05.2012, 16:46	5
	Kapitan KaKao, размерность это количество элементов в базисе. Стало быть n+1 2

Доказать, что многочлены образуют векторное пространство

Решение