Доказать, что дробь не сократима ни при каком натуральном числе n

@Igor · Регистрация: 11.11.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Собственно, вот и она: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{30n+2}{12n+1}$ .

Не по теме:

Хоть небольшую встряску сделать, а то затишье совсем.:)

@golatin · 27.07.2012, 10:34

Числа a и b взаимно просты тогда и только тогда, когда выполняется одно из эквивалентных условий.
- Наибольший общий делитель a и b равен единице.
- Существуют целые x и y такие, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a*x+b*y=1$ (соотношение Безу).

Пишем программку

Python

a=(30,2)
b=(12,1)
for x in range(-100,100):
    for y in range(-100,100):
        if a[0]*x+b[0]*y==0 and a[1]*x+b[1]*y==1:
            print "x=%s,y=%s"%(x,y)
 
>>> 
x=-2,y=5

@Igor · 27.07.2012, 14:19 **[ТС]**

Не по теме:

golatin, а без программки?

@Thinker · 27.07.2012, 14:23

Обычный алгоритм Евклида в две итерации дает НОД(30n+2, 12n+1) = 1

@golatin · 27.07.2012, 15:33

Не по теме:

Суровые математики решают алгоритм Евклида в уме и при помощи 10 пальцев :).

Если есть инструмент, то почему им не воспользоваться.

vetvet · 27.07.2012, 15:46

Не по теме:

Суровые программисты решают любую задачу прямым перебором.

Так ведь и алгоритм Евклида инструмент.

@golatin · 27.07.2012, 15:59

Математическое решение я привел в самом начале, написав, что оба утверждения эквивалентны

Не важно, как вы находите: НОД при помощи "инструмента" алгоритм Евклида, или же ищите решение соотношения Безу при помощи "инструмента" перебор.

@Thinker · 27.07.2012, 16:07

Не по теме:

golatin, перебор Ваш наугад и Вам повезло, что попали в промежуток от -100 до 100, а могли и не попасть. И в этой задаче, действительно, легче теорией воспользоваться. А запрограммировать, например, тот же алгоритм Евклида, пустяк:
Самый быстрый алгоритм Евклида вычисления НОД

@Igor · 27.07.2012, 16:08 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{30n+2}{12n+1}=\frac{2(12n+1)+6n}{12n+1}=2+\frac{6n}{12n+1}$ .
Осталось рассмотреть обратную дробь, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{12n+1}{6n}=2+\frac{1}{6n}$ , откуда следует требуемое.

Не по теме:

Внес скромную лепту.

@Thinker · 27.07.2012, 16:11

Не по теме:

Igor, тоже с этого варианта начал, но подумал с Евклидом красивее:) Может еще есть варианты

@splen · 27.07.2012, 16:12

Если бы была сократима дробь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{30n+2}{12n+1}=2+\frac{6n}{12n+1},$ то была бы сократима и дробь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{12n+1}{6n}=2+\frac{1}{6n},$ а вместе с ней - и дробь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{6n}$ - противоречие.

@golatin · 27.07.2012, 16:52

Igor, splen, приведенное вами решение и есть "алгоритм Евклида" в две итерации, так что плюс Thinkerу

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
		1
	Доказать, что дробь не сократима ни при каком натуральном числе n 26.07.2012, 22:48. Показов 4640. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Собственно, вот и она: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{30n+2}{12n+1}$ . Не по теме: Хоть небольшую встряску сделать, а то затишье совсем.:) 0

@Igor
	27.07.2012, 14:19 [ТС] #3
	Не по теме: golatin, а без программки? 0

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	27.07.2012, 14:23	4
	Сообщение было отмечено как решение Решение Обычный алгоритм Евклида в две итерации дает НОД(30n+2, 12n+1) = 1 3

@golatin 317 / 268 / 61 Регистрация: 12.10.2011 Сообщений: 434
	27.07.2012, 15:33	5
	Не по теме: Суровые математики решают алгоритм Евклида в уме и при помощи 10 пальцев :). Если есть инструмент, то почему им не воспользоваться. 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	27.07.2012, 15:46	6
	Не по теме: Суровые программисты решают любую задачу прямым перебором. Так ведь и алгоритм Евклида инструмент. 1

@golatin 317 / 268 / 61 Регистрация: 12.10.2011 Сообщений: 434
	27.07.2012, 15:59	7
	Математическое решение я привел в самом начале, написав, что оба утверждения эквивалентны Не важно, как вы находите: НОД при помощи "инструмента" алгоритм Евклида, или же ищите решение соотношения Безу при помощи "инструмента" перебор. 0

@Thinker
	27.07.2012, 16:07 #8
	Не по теме: golatin, перебор Ваш наугад и Вам повезло, что попали в промежуток от -100 до 100, а могли и не попасть. И в этой задаче, действительно, легче теорией воспользоваться. А запрограммировать, например, тот же алгоритм Евклида, пустяк: Самый быстрый алгоритм Евклида вычисления НОД 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	27.07.2012, 16:08 [ТС]	9
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{30n+2}{12n+1}=\frac{2(12n+1)+6n}{12n+1}=2+\frac{6n}{12n+1}$ . Осталось рассмотреть обратную дробь, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{12n+1}{6n}=2+\frac{1}{6n}$ , откуда следует требуемое. Не по теме: Внес скромную лепту. 1

@Thinker
	27.07.2012, 16:11 #10
	Не по теме: Igor, тоже с этого варианта начал, но подумал с Евклидом красивее:) Может еще есть варианты 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	27.07.2012, 16:12	11
	Если бы была сократима дробь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{30n+2}{12n+1}=2+\frac{6n}{12n+1},$ то была бы сократима и дробь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{12n+1}{6n}=2+\frac{1}{6n},$ а вместе с ней - и дробь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{6n}$ - противоречие. 1

	27.07.2012, 16:52

Доказать, что дробь не сократима ни при каком натуральном числе n

Решение