Функциональное уравнение 4

@Igor · Регистрация: 11.11.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Найти все непрерывные функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x),$ удовлетворяющие уравнению

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=x(x+1)+f(\frac{x}{2}).$

@skaa · 04.03.2013, 19:26

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(0)=0$ - очевидно.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)-f(\frac{x}{2})=x^2+x$ - дано. Значит:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(\frac{x}{2})-f(\frac{x}{4})=\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(\frac{x}{4})-f(\frac{x}{8})=\frac{x^2}{16}+\frac{x}{4}$
...
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(\frac{x}{2^n})-f(\frac{x}{2^{n+1}})=\frac{x^2}{4^n}+\frac{2}{2^n}$ .

Складываем эти равенства.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)-f(\frac{x}{2^{n+1}})=x^2(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{4^n})+x(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n})$

Находим предел при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\rightarrow \propto$ .
Левая часть стремится к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ (потому что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(0)=0$ ), а правая равна
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{4}{3}x^2+2x$ , что и есть ответ.

@Igor · 04.03.2013, 19:36 **[ТС]**

skaa, быстро раскусили.

@skaa · 06.03.2013, 04:33

Я очень извиняюсь! Сегодня сыну дал эту задачу - он нашёл ошибку. С чего я сдуру решил что f(0)=0, и ещё написал что это очевидно

?
Ведь f(0)-f(0)=0, т.е. f(0)=C - константа, не зависящая от x. Т.е. решение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{4}{3}x^2+2x+C$ .

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
		1
	Функциональное уравнение 4 04.03.2013, 18:03. Показов 1831. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Найти все непрерывные функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x),$ удовлетворяющие уравнению $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=x(x+1)+f(\frac{x}{2}).$ 0

@skaa Хочу в Исландию 1041 / 840 / 119 Регистрация: 10.11.2010 Сообщений: 1,630
	04.03.2013, 19:26	2
	Сообщение было отмечено как решение Решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(0)=0$ - очевидно. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)-f(\frac{x}{2})=x^2+x$ - дано. Значит: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(\frac{x}{2})-f(\frac{x}{4})=\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(\frac{x}{4})-f(\frac{x}{8})=\frac{x^2}{16}+\frac{x}{4}$ ... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(\frac{x}{2^n})-f(\frac{x}{2^{n+1}})=\frac{x^2}{4^n}+\frac{2}{2^n}$ . Складываем эти равенства. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)-f(\frac{x}{2^{n+1}})=x^2(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{4^n})+x(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n})$ Находим предел при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\rightarrow \propto$ . Левая часть стремится к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ (потому что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(0)=0$ ), а правая равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{4}{3}x^2+2x$ , что и есть ответ. 4

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	04.03.2013, 19:36 [ТС]	3
	skaa, быстро раскусили. 0

@skaa Хочу в Исландию 1041 / 840 / 119 Регистрация: 10.11.2010 Сообщений: 1,630
	06.03.2013, 04:33	4
	Я очень извиняюсь! Сегодня сыну дал эту задачу - он нашёл ошибку. С чего я сдуру решил что f(0)=0, и ещё написал что это очевидно ? Ведь f(0)-f(0)=0, т.е. f(0)=C - константа, не зависящая от x. Т.е. решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{4}{3}x^2+2x+C$ . 1

Функциональное уравнение 4

Решение