Найдите все целые значения q

@NV_art86rus · Регистрация: 23.04.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Найдите все целые значения q, для которых уравнение х2 + px + p = q имеет целый корень только при одном целом значении р.

Помогите решить пожалуйста!

@Igor · 31.03.2013, 16:19

NV_art86rus, если правильно понял условие, то q=1.

iifat · 01.04.2013, 15:52

Не, корни 0 и -p при любых p. Скорее уж, всё кроме 1

@RoniSakh · 02.04.2013, 21:11

Задача вроде одна, а каждый по своему понимает;-)

Я понял как то таг:
"Как найти при любом целом значение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p$ , целое число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q$ , чтобы уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+px+p=q$ имело бы целые корни.

Переделаем уравнение в вид:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+px+(p-q)=0$ ;

Дискриминант данного уравнения равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=\sqrt{{p}^{2}-4(p-q)}=\sqrt{{p}^{2}-4p-4q}$ ;

Корни уравнения, соответственно, равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=\frac{-p+\sqrt{{p}^{2}-4p-4q}}{2}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{2}=\frac{-p-\sqrt{{p}^{2}-4p-4q}}{2}$

Берем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=0$ . Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=\frac{-\sqrt{-4q}}{2}=\frac{-2\sqrt{-q}}{2}=-\sqrt{-q}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{2}=\frac{2\sqrt{-q}}{2}=\sqrt{-q}$ . Следовательно, для того, чтобы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ имело бы
только целочисленные значения, должно быть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q=-\left( {2}^{n}\right)$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n>0$ то есть -2; -4; -16; и т.д. - иключительный случай ИМХО. Так как в дальнейшем все меняется парадоксально.

Берем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=1$ . Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=\frac{-1+\sqrt{5+4q}}{2}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=\frac{-1-\sqrt{5+4q}}{2}$ . Следовательно, для того, чтобы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ имело бы
только целочисленные значения, должно быть исключительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q=1$ (других вариантов не нашел) , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=-2;$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{2}=1$ - целые числа.

И т.д....

Добавлено через 20 минут
Перемешались "кони-люди" (с) - напутал часть решения для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=1$ и для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=2$ . "Мысля", вроде, тем не менее понятная...

@NV_art86rus 10 / 10 / 1 Регистрация: 23.04.2011 Сообщений: 147
		1
	Найдите все целые значения q 30.03.2013, 21:26. Показов 4167. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Найдите все целые значения q, для которых уравнение х2 + px + p = q имеет целый корень только при одном целом значении р. Помогите решить пожалуйста! 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	31.03.2013, 16:19	2
	NV_art86rus, если правильно понял условие, то q=1. 0

iifat 2719 / 1773 / 187 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,132
	01.04.2013, 15:52	3
	Не, корни 0 и -p при любых p. Скорее уж, всё кроме 1 0

@RoniSakh 656 / 374 / 24 Регистрация: 20.12.2012 Сообщений: 545
	02.04.2013, 21:11	4
	Задача вроде одна, а каждый по своему понимает;-) Я понял как то таг: "Как найти при любом целом значение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p$ , целое число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q$ , чтобы уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+px+p=q$ имело бы целые корни. Переделаем уравнение в вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+px+(p-q)=0$ ; Дискриминант данного уравнения равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=\sqrt{{p}^{2}-4(p-q)}=\sqrt{{p}^{2}-4p-4q}$ ; Корни уравнения, соответственно, равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=\frac{-p+\sqrt{{p}^{2}-4p-4q}}{2}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{2}=\frac{-p-\sqrt{{p}^{2}-4p-4q}}{2}$ Берем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=0$ . Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=\frac{-\sqrt{-4q}}{2}=\frac{-2\sqrt{-q}}{2}=-\sqrt{-q}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{2}=\frac{2\sqrt{-q}}{2}=\sqrt{-q}$ . Следовательно, для того, чтобы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ имело бы только целочисленные значения, должно быть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q=-\left( {2}^{n}\right)$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n>0$ то есть -2; -4; -16; и т.д. - иключительный случай ИМХО. Так как в дальнейшем все меняется парадоксально. Берем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=1$ . Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=\frac{-1+\sqrt{5+4q}}{2}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=\frac{-1-\sqrt{5+4q}}{2}$ . Следовательно, для того, чтобы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ имело бы только целочисленные значения, должно быть исключительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q=1$ (других вариантов не нашел) , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=-2;$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{2}=1$ - целые числа. И т.д.... Добавлено через 20 минут Перемешались "кони-люди" (с) - напутал часть решения для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=1$ и для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=2$ . "Мысля", вроде, тем не менее понятная... 0