Матрица перехода от одного базиса к другому

@NEvOl · Регистрация: 13.08.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Ребят, подскажите пожалуйста где можно посмотреть алгоритм нахождения матрицы перехода от одного базиса к другому с примером ??

@Igor · 25.09.2013, 22:34

NEvOl, например, Киркинский А.С. "Линейная алгебра и аналитическая геометрия".

@NEvOl · 26.09.2013, 11:03 **[ТС]**

А еще есть какие-нибудь источники ?

@Igor · 26.09.2013, 12:23

NEvOl, а зачем еще, если там

подробно описано.

@NEvOl · 26.09.2013, 20:04 **[ТС]**

Да там есть теория, т.е. что из себя представляет матрица перехода от одного базиса к другому (раздел 3.3) но что то именно алгоритма нахождение этой матрицы и примера я не нашел(

@Igor · 26.09.2013, 20:06

Сообщение от NEvOl

но что то именно алгоритма нахождение этой матрицы и примера я не нашел(

NEvOl, плохо смотрели, значит. "Прошел" эту книжку от корки до корки, за мелким исключением.

@Catstail · 26.09.2013, 20:33

Сообщение от NEvOl

Ребят, подскажите пожалуйста где можно посмотреть алгоритм нахождения матрицы перехода от одного базиса к другому с примером ??

- и без книги можно:

Каждый вектор нового базиса разлагаешь по старому базису, а коэффициенты выстраиваешь в столбцы.

@NEvOl · 27.09.2013, 09:53 **[ТС]**

Сообщение от Catstail

- а коэффициенты выстраиваешь в столбцы.

мне вот это какраз не понятно, можно поподробней, как найти эти коэффициенты ?

Добавлено через 25 минут
e - тарый базис, e' - новый базис

e'1 = s11e1 + s12e2 + . . . + s1nen,
e'2 = s21e1 + s22e2 + . . . + s2nen,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e'n = sn1e1 + sn2e2 + . . . + snnen.

S - матрица перехода от базиса e к базису e', так вот как найти эту матрицу ?

@Igor · 27.09.2013, 10:15

Сообщение от NEvOl

S - матрица перехода от базиса e к базису e', так вот как найти эту матрицу ?

Например,

e'₁=s₁₁e₁+s₁₂e₂
e'₂=s₂₁e₁+s₂₂e₂

тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({e'}_{1},{e'}_{2})=({e}_{1},{e}_{2})\cdot \begin{pmatrix}{s}_{11} & {s}_{21}\\ {s}_{12} & {s}_{22}\end{pmatrix},$

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}{s}_{11} & {s}_{21}\\ {s}_{12} & {s}_{22}\end{pmatrix}$ - матрица перехода.

@NEvOl · 27.09.2013, 10:28 **[ТС]**

Сообщение от Igor

Например,

e'₁=s₁₁e₁+s₁₂e₂
e'₂=s₂₁e₁+s₂₂e₂

тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({e'}_{1},{e'}_{2})=({e}_{1},{e}_{2})\cdot \begin{pmatrix}{s}_{11} & {s}_{21}\\ {s}_{12} & {s}_{22}\end{pmatrix},$

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}{s}_{11} & {s}_{21}\\ {s}_{12} & {s}_{22}\end{pmatrix}$ - матрица перехода.

это я понимаю, я имею ввиду вот например есть у нас старый базис e1(0,707; 0; -0,707) e2(0; 1; 0) e3(0,707; 0; 0,707) и новый базис е'1(-0,976; 0; 0,214) e'2(0; 1; 0) e'3(-0,212; 0; -0,976), исходя из этих данных как найти матрицу перехода S от базиса е к базису e'?

@cmath · 28.09.2013, 01:31

Сообщение от NEvOl

это я понимаю, я имею ввиду вот например есть у нас старый базис e1(0,707; 0; -0,707) e2(0; 1; 0) e3(0,707; 0; 0,707) и новый базис е'1(-0,976; 0; 0,214) e'2(0; 1; 0) e'3(-0,212; 0; -0,976), исходя из этих данных как найти матрицу перехода S от базиса е к базису e'?

Точно также, как написал выше Igor.
У вас получатся две (хотя, вообще, три) СЛАУ:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> e'_1=(e_1,e_2,e_3)S_1\\e'_3=(e_1,e_2,e_3)S_3$
S_j - j-ый столбец матрицы перехода, (e₁,e₂,e₃) - матрица, составленная из векторов старого базиса (координаты базисных векторов записываются в столбцы)
вектор e₂переходит сам в себя (поэтому решение можно выписать сразу: S₂ = {0;1;0}).

@NEvOl · 28.09.2013, 13:23 **[ТС]**

А для переноса произвольной точки из базиса e в базис e' также используется матрица S ?

@helter · 28.09.2013, 13:57

При переходе между тремя базисами матрицы перехода перемножаются: Teg = Tef Tfg. Вам по сути даны Teg и Tef, отсюда Tfg = Tef^{-1} Teg.

@NEvOl · 29.09.2013, 21:36 **[ТС]**

Сообщение от helter

При переходе между тремя базисами матрицы перехода перемножаются: Teg = Tef Tfg. Вам по сути даны Teg и Tef, отсюда Tfg = Tef^{-1} Teg.

не понял что вы написали, почемы вы говорите о 3-х базисах ?

@helter · 29.09.2013, 22:40

У вас два базиса, а их координаты заданы в третьем.

@NEvOl · 30.09.2013, 09:44 **[ТС]**

ага, теперь понятнее, а что за матрицы Tef, Teg и Tfg ?

@helter · 30.09.2013, 11:02

Это указано, переход от какого базиса к какому. На первом месте старый, на втором - новый. Например, T_ef - матрица перехода от базиса e к базису f.

@NEvOl · 30.09.2013, 14:47 **[ТС]**

ясно, спасибо)

Добавлено через 3 часа 43 минуты
Только я не понял по поводу моего вопроса, если у нас есть базис е и точка координаты которой разложена по этму базису то что бы разложить эту точка в базисе е' достаточно домножитьикоординаты этой точки на матрицу перехода от базиса е к базису е'

@helter · 30.09.2013, 16:22

На обратную к ней. Координаты в старом базисе есть матрица перехода умножить на координаты в новом базисе.

@NEvOl · 02.10.2013, 10:25 **[ТС]**

вот ещё у меня никак не укладывается в голове, почему при умножении координат точки в первом базисе на ортонормированный базис, мы получаем координаты точки в этом базисе, получается координаты векторов ортонормированного базиса составляют матрицу поворота ?

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	30.09.2013, 11:02	17
	Это указано, переход от какого базиса к какому. На первом месте старый, на втором - новый. Например, T_ef - матрица перехода от базиса e к базису f. 1

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	30.09.2013, 14:47 [ТС]	18
	ясно, спасибо) Добавлено через 3 часа 43 минуты Только я не понял по поводу моего вопроса, если у нас есть базис е и точка координаты которой разложена по этму базису то что бы разложить эту точка в базисе е' достаточно домножитьикоординаты этой точки на матрицу перехода от базиса е к базису е' 0

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	30.09.2013, 16:22	19
	На обратную к ней. Координаты в старом базисе есть матрица перехода умножить на координаты в новом базисе. 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	25.09.2013, 22:34	2
	NEvOl, например, Киркинский А.С. "Линейная алгебра и аналитическая геометрия". 1

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	26.09.2013, 11:03 [ТС]	3
	А еще есть какие-нибудь источники ? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	26.09.2013, 12:23	4
	NEvOl, а зачем еще, если там подробно описано. 0

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	26.09.2013, 20:04 [ТС]	5
	Да там есть теория, т.е. что из себя представляет матрица перехода от одного базиса к другому (раздел 3.3) но что то именно алгоритма нахождение этой матрицы и примера я не нашел( 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	26.09.2013, 20:06	6
	Сообщение от NEvOl но что то именно алгоритма нахождение этой матрицы и примера я не нашел( NEvOl, плохо смотрели, значит. "Прошел" эту книжку от корки до корки, за мелким исключением. 0

@Catstail Модератор 36601 / 20330 / 4220 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 33,640 Записей в блоге: 13
	26.09.2013, 20:33	7
	Сообщение от NEvOl Ребят, подскажите пожалуйста где можно посмотреть алгоритм нахождения матрицы перехода от одного базиса к другому с примером ?? - и без книги можно: Каждый вектор нового базиса разлагаешь по старому базису, а коэффициенты выстраиваешь в столбцы. 1

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	27.09.2013, 09:53 [ТС]	8
	Сообщение от Catstail - а коэффициенты выстраиваешь в столбцы. мне вот это какраз не понятно, можно поподробней, как найти эти коэффициенты ? Добавлено через 25 минут e - тарый базис, e' - новый базис e'1 = s11e1 + s12e2 + . . . + s1nen, e'2 = s21e1 + s22e2 + . . . + s2nen, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e'n = sn1e1 + sn2e2 + . . . + snnen. S - матрица перехода от базиса e к базису e', так вот как найти эту матрицу ? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	27.09.2013, 10:15	9
	Сообщение от NEvOl S - матрица перехода от базиса e к базису e', так вот как найти эту матрицу ? Например, e'₁=s₁₁e₁+s₁₂e₂ e'₂=s₂₁e₁+s₂₂e₂ тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({e'}_{1},{e'}_{2})=({e}_{1},{e}_{2})\cdot \begin{pmatrix}{s}_{11} & {s}_{21}\\ {s}_{12} & {s}_{22}\end{pmatrix},$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}{s}_{11} & {s}_{21}\\ {s}_{12} & {s}_{22}\end{pmatrix}$ - матрица перехода. 2

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	27.09.2013, 10:28 [ТС]	10
	Сообщение от Igor Например, e'₁=s₁₁e₁+s₁₂e₂ e'₂=s₂₁e₁+s₂₂e₂ тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({e'}_{1},{e'}_{2})=({e}_{1},{e}_{2})\cdot \begin{pmatrix}{s}_{11} & {s}_{21}\\ {s}_{12} & {s}_{22}\end{pmatrix},$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}{s}_{11} & {s}_{21}\\ {s}_{12} & {s}_{22}\end{pmatrix}$ - матрица перехода. это я понимаю, я имею ввиду вот например есть у нас старый базис e1(0,707; 0; -0,707) e2(0; 1; 0) e3(0,707; 0; 0,707) и новый базис е'1(-0,976; 0; 0,214) e'2(0; 1; 0) e'3(-0,212; 0; -0,976), исходя из этих данных как найти матрицу перехода S от базиса е к базису e'? 1

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	28.09.2013, 01:31	11
	Сообщение от NEvOl это я понимаю, я имею ввиду вот например есть у нас старый базис e1(0,707; 0; -0,707) e2(0; 1; 0) e3(0,707; 0; 0,707) и новый базис е'1(-0,976; 0; 0,214) e'2(0; 1; 0) e'3(-0,212; 0; -0,976), исходя из этих данных как найти матрицу перехода S от базиса е к базису e'? Точно также, как написал выше Igor. У вас получатся две (хотя, вообще, три) СЛАУ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> e'_1=(e_1,e_2,e_3)S_1\\e'_3=(e_1,e_2,e_3)S_3$ S_j - j-ый столбец матрицы перехода, (e₁,e₂,e₃) - матрица, составленная из векторов старого базиса (координаты базисных векторов записываются в столбцы) вектор e₂переходит сам в себя (поэтому решение можно выписать сразу: S₂ = {0;1;0}). 0

	02.10.2013, 10:25

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	28.09.2013, 13:23 [ТС]	12
	А для переноса произвольной точки из базиса e в базис e' также используется матрица S ? 0

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	28.09.2013, 13:57	13
	При переходе между тремя базисами матрицы перехода перемножаются: Teg = Tef Tfg. Вам по сути даны Teg и Tef, отсюда Tfg = Tef^{-1} Teg. 0

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	29.09.2013, 21:36 [ТС]	14
	Сообщение от helter При переходе между тремя базисами матрицы перехода перемножаются: Teg = Tef Tfg. Вам по сути даны Teg и Tef, отсюда Tfg = Tef^{-1} Teg. не понял что вы написали, почемы вы говорите о 3-х базисах ? 0

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	29.09.2013, 22:40	15
	У вас два базиса, а их координаты заданы в третьем. 0

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	30.09.2013, 09:44 [ТС]	16
	ага, теперь понятнее, а что за матрицы Tef, Teg и Tfg ? 0

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	02.10.2013, 10:25 [ТС]	20
	вот ещё у меня никак не укладывается в голове, почему при умножении координат точки в первом базисе на ортонормированный базис, мы получаем координаты точки в этом базисе, получается координаты векторов ортонормированного базиса составляют матрицу поворота ? 0