Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
tabbols95
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
Рейтинг: 5.00. Голосов: 1.

Нечетные совершенные числа

Запись от tabbols95 размещена 19.03.2019 в 15:46

Доброе время суток, друзья и гости моего блога. На данный момент перед обществом стоит множество различных нерешенных математических задач, которые предстоит решать нам и нашим потомкам. Одной из таких проблем, заинтересовавшая меня, является недоказанная гипотеза о несуществовании нечетных совершенных чисел. Таких чисел на данный момент никто не может найти, но и доказать, что их не существует тоже еще никто не смог. Давайте напряжем кибер мозг и попробуем общими усилиями посодействовать данной проблеме.
Очевидностью на данный момент является то, что мы имеем множество P = {1, 2, 3, 5, ...} - множество простых чисел. И смело можем исключить P_2 = {2} - такое множество я предпочитаю называть регулирующее множество. Оно помогает нам регулировать четность числа. В итоге получаем множество P/P_2 с которым мы и будем в дальнейшем работать. При решении нашей проблемы данное множество в "сыром" виде мы сразу можем исключить, ведь если нам попадается простое число, то гипотеза о не существовании нечетных совершенных чисел сразу становится очевидным фактом. Так же дела обстоят и с полными квадратами. В обработке остальных чисел, можно начать работу. Я буду рад любому полезному комментарию. Заранее благодарю. Буду рад любому содействию и общению.
Размещено в Без категории
Просмотров 293 Комментарии 16
Всего комментариев 16
Комментарии
  1. Старый комментарий
    Уважаемый tabbols95,
    можно также не рассматривать нечетные числа вида pn (где p - простое нечетное число), ибо сумма делителей этих чисел равна 1 + p + p2 + ... + pn - 1 = (pn - 1) / (p - 1) < pn
    ...
    примечание
    вероятно есть смысл попробовать посчитать число разных делителей, начиная 3. (3, 5, 7, ...)
    То есть решить сначала более простую задачу: нечетное число состоит из простых делителей и только в первой степени. И только потом рассматривать все степени числа 3... Я полагаю, что число 3 в данной задаче ключевое. Ведь чётные совершенные числа опираются на число 2 (!). Возможно я и ошибаюсь? А ваше мнение?
    Запись от нтч размещена 20.03.2019 в 09:46 нтч вне форума
  2. Старый комментарий
    нтч, благодарю за комментарий.
    Да, про числа вида pn я совсем забыл указать. Да, данную задачу я решаю как раз представлением числа ввиде простых множителей (т.к. данное представление единственное). У меня также было предположение, что число 3 ключевое и данная задача сводилась к решению задачи с использованием разбиения отрезков, но число 35 испортило мои планы, т.к. единственным образом оно раскладывается как 35 = 1 * 5 * 7.
    Про четные числа абсолютно верно, поэтому мы преждевременно и исключаем множество P_2 = {2}, такое множество я предпочитаю называть регулирующим, которое регулирует четность.
    Запись от tabbols95 размещена 20.03.2019 в 09:59 tabbols95 вне форума
  3. Старый комментарий
    tabbols95,
    рассмотрим число вида 5*3n. Сумма делителей этого числа равна
    1 + 1*5 +
    3 + 3*5 +
    32 + 32*5 +
    33 + 33*5 +
    ...
    3n - 1 + 3n - 1*5 +
    3n
    суммируем две геометрические прогрессии... имеем
    (3n + 1 - 1)/(3 - 1) + 5*(3n - 1)/(3 - 1) =
    (3n + 1 - 1)/2 + 5*(3n - 1)/2 =
    (3n + 1 - 1 + 5*3n - 5)/2 =
    (3*3n - 1 + 5*3n - 5)/2 =
    (8*3n - 6)/2 = 4*3n - 3 < 5*3n
    ...
    Отсюда очевидно, что одного числа 5 (в качестве множителя) мало. Сумма делителей числа 5*3n меньше самого числа. Тут надо ещё подумать... Пока речь идёт о количестве простых множителей числа.
    Запись от нтч размещена 20.03.2019 в 10:37 нтч вне форума
  4. Старый комментарий
    tabbols95,
    предыдущее решение было обобщёно на число p*3n (где p - простое число большее 3), для которого
    сумма делителей равна ((3 + p)3n - (p + 1)) / 2 < (3 + p)3n / 2 < p*3n
    то есть число p - не подходит
    ...
    примечание
    Итак очевидно, что если решение существует, то в качестве множителей числа следует брать малые числа (3, 5, 7, ...) ... хотя выводы делать пока рано.
    Запись от нтч размещена 20.03.2019 в 10:58 нтч вне форума
  5. Старый комментарий
    Цитата:
    Сообщение от нтч Просмотреть комментарий
    Итак очевидно, что если решение существует, то в качестве множителей числа следует брать малые числа (3, 5, 7, ...) ... хотя выводы делать пока рано.
    Это так кажется, но на самом деле мы работаем на всем множестве N(P).
    Запись от tabbols95 размещена 20.03.2019 в 11:05 tabbols95 вне форума
  6. Старый комментарий
    tabbols95,
    мне удалось найти аналитическое доказательство того, что число 5m3n
    больше, чем сумма всех его делителей. Если необходимо, то я приведу это доказательство в комментариях.
    ...
    примечание
    собираюсь попробовать произвести вычисления и найти нечетное число, которое меньше, чем сумма его делителей...
    Запись от нтч размещена 20.03.2019 в 13:57 нтч вне форума
  7. Старый комментарий
    Вычисления
    ...
    Число ..... Сумма делителей
    315 ... 309
    1155 ... 1149 (сумма делителей на 6 единиц меньше числа)
    ...
    8925 ... 8931 (8925 = 3 * 52 * 7 * 17)
    32445 ... 32451
    442365 ... 442371 (сумма делителей на 6 единиц больше числа)
    ...
    примечание
    минимальная разность - 6 единиц - может случайность, а может нет?
    Запись от нтч размещена 20.03.2019 в 14:42 нтч вне форума
    Обновил(-а) нтч 20.03.2019 в 15:42
  8. Старый комментарий
    Здесь единственная проблема (задача) в числах типа 1*3*3*3*5*5*5*7*7*7. Делители там получаются различные. 1, 3, 5, 7, 1*3*5, 1*3*7, и т.д.
    Запись от tabbols95 размещена 21.03.2019 в 07:56 tabbols95 вне форума
  9. Старый комментарий
    Доказательство того, что число pnqm больше суммы всех своих делителей (p, q - простые нечетные числа; n, m - натуральные числа)
    Запишем сумму всех делителей
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+q*1+\;...\;+q^m*1+
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p+q*p+\;...\;+q^m*p+
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^2+q*p^2+\;...\;+q^m*p^2+
    ........
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^{n-1}+q*p^{n-1}+\;...\;+q^m*p^{n-1}+
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^n+q*p^n+\;...\;+q^{m-1}*p^n+0 (здесь последнего делителя нет, ибо оно равно самому числу)
    Теперь всё суммируем. Имеем.
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{p^{n+1}}{p-1}+q\frac{p^{n+1}}{p-1}+\;...\;+q^{m-1}\frac{p^{n+1}}{p-1}+q^m\frac{p^n-1}{p-1}=
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1+q+\;...\;+q^{m-1})\frac{p^{n+1}}{p-1}+q^m\frac{p^n-1}{p-1}=
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{q^m-1}{q-1}\frac{p^{n+1}}{p-1}+q^m\frac{p^n-1}{p-1}
    Теперь увеличим эту сумму (увеличив числители)
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{q^m}{q-1}\frac{p^{n+1}}{p-1}+q^m\frac{p^n}{p-1}=p^nq^m(\frac{p}{(q-1)(p-1)}+\frac{1}{p-1})=p^nq^m\frac{p+q-1}{(q-1)(p-1)}
    Легко убедиться, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{p+q-1}{(q-1)(p-1)}<1
    Это и доказывает высказанное выше утверждение.
    Запись от нтч размещена 21.03.2019 в 08:49 нтч вне форума
  10. Старый комментарий
    Мне кажется, что дальше может что-то дать теория сравнения. Ведь если сумма всех делителей будет равна самому числу, то эта сумма будет делиться на те же числа, что и число. Но надо подумать с какой стороны тут лучше подойти...
    Запись от нтч размещена 21.03.2019 в 08:56 нтч вне форума
  11. Старый комментарий
    Цитата:
    Сообщение от нтч Просмотреть комментарий
    Доказательство того, что число pnqm больше суммы всех своих делителей (p, q - простые нечетные числа; n, m - натуральные числа)
    Запишем сумму всех делителей
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+q*1+\;...\;+q^m*1+
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p+q*p+\;...\;+q^m*p+
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^2+q*p^2+\;...\;+q^m*p^2+
    ........
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^{n-1}+q*p^{n-1}+\;...\;+q^m*p^{n-1}+
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^n+q*p^n+\;...\;+q^{m-1}*p^n+0 (здесь последнего делителя нет, ибо оно равно самому числу)
    Теперь всё суммируем. Имеем.
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{p^{n+1}}{p-1}+q\frac{p^{n+1}}{p-1}+\;...\;+q^{m-1}\frac{p^{n+1}}{p-1}+q^m\frac{p^n-1}{p-1}=
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1+q+\;...\;+q^{m-1})\frac{p^{n+1}}{p-1}+q^m\frac{p^n-1}{p-1}=
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{q^m-1}{q-1}\frac{p^{n+1}}{p-1}+q^m\frac{p^n-1}{p-1}
    Теперь увеличим эту сумму (увеличив числители)
    http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{q^m}{q-1}\frac{p^{n+1}}{p-1}+q^m\frac{p^n}{p-1}=p^nq^m(\frac{p}{(q-1)(p-1)}+\frac{1}{p-1})=p^nq^m\frac{p+q-1}{(q-1)(p-1)}
    Легко убедиться, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{p+q-1}{(q-1)(p-1)}<1
    Это и доказывает высказанное выше утверждение.
    Не совсем верно, т.к. если мы в произведении 1*3*3*5*5 выполнили действие 3*5, то второй и последующие разы его выполнять уже не надо, а вашем решении оно выполняется.
    Запись от tabbols95 размещена 21.03.2019 в 09:59 tabbols95 вне форума
  12. Старый комментарий
    1 * 3 * 3 * 5 * 5 = ?
    А вот сумма делителей:
    1 + 3 + 32 +
    5 + 5 * 3 + 5 * 32 +
    52 + 52 * 3 = 178
    и где у меня повторение?
    Запись от нтч размещена 21.03.2019 в 12:42 нтч вне форума
  13. Старый комментарий
    tabbols95,
    вы подкинули интересную мысль, возможно сами того не замечая.
    Вот она:
    1. поскольку у нас число НЕЧЁТНОЕ, то и КОЛИЧЕСТВО делителей нашего числа должно быть НЕЧЁТНЫМ. Тогда сумма нечётного числа нечётных чисел будет нечётным числом.
    2. В противном случае данное число нам не подходит. Ибо сумма чётного числа нечётных делителей есть число Чётное! (а нам нужно нечётное)
    Запись от нтч размещена 21.03.2019 в 12:51 нтч вне форума
  14. Старый комментарий
    Цитата:
    Сообщение от нтч Просмотреть комментарий
    tabbols95,
    вы подкинули интересную мысль, возможно сами того не замечая.
    Вот она:
    1. поскольку у нас число НЕЧЁТНОЕ, то и КОЛИЧЕСТВО делителей нашего числа должно быть НЕЧЁТНЫМ. Тогда сумма нечётного числа нечётных чисел будет нечётным числом.
    2. В противном случае данное число нам не подходит. Ибо сумма чётного числа нечётных делителей есть число Чётное! (а нам нужно нечётное)
    неверно поставил свое предположение, при числе, раскладываемом в 1*3*5*5*7*7, под ваши рассчеты не совсем могу подобрать.
    Запись от tabbols95 размещена 21.03.2019 в 15:41 tabbols95 вне форума
  15. Старый комментарий
    tabbols95,
    теорема: число P * Q * R больше суммы всех своих делителей (где P, Q, R - простые нечётные числа)
    Доказательство:
    не ограничивая общности положим, что P < Q < R.
    Тогда сумма всех делителей равна S
    S = 1 + P + Q + R + PQ + PR + QR и далее производим действия
    S = (1 + P) + (Q + R) + P(Q + R) + QR
    S = (1 + P) + (1 + P)(Q + R) + QR
    S = (1 + P)(1 + Q + R) + QR
    так как 1 + P < Q и 1 + Q < R, то увеличим сумму всех делителей
    S < Q * (R + R) + QR = 3QR
    так как минимальное P = 3, то P * Q * R = 3 * Q * R
    то есть получаем, что S < P * Q * R
    Что и требовалось доказать.
    Запись от нтч размещена 21.03.2019 в 15:57 нтч вне форума
  16. Старый комментарий
    Если число состоит из произведения простых чисел в первой степени (без повторений), то общее количество делителей вычисляется по простой формуле 2n - 1 (где n - число простых чисел)
    Запись от нтч размещена 21.03.2019 в 16:02 нтч вне форума
 
КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2019, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru