Найти значение суммы, основанной на биноме ньютона

@xWhoAmIx · Регистрация: 09.03.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Дали задание, но не могу понять, как подойти, подскажите пожалуйста.
вот такие формулы, нужно найти значение выражения, основываясь на биноме ньютона.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^{n}{2}^{k}{(-3)}^{n-k}C_{n}^{k}(2k-1)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^{n}{(-3)}^{k}{2}^{n-k}C_{n}^{k}({k}^{2}+1)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}{{(-1)}^{k}({k}^{2}+1)/ (k+1)$

Понимаю, что нужно использовать операции дифференцирования/интегрирования, но не понимаю, как получить многочлен(2К-1), к примеру. С простым коэффициентом - вроде бы получились примеры, а с многочленом - не понимаю :/

zer0mail · 02.08.2014, 08:04

Рассмотри y(x)=(2+x)ⁿ и его производную по x: y'(x).

@xWhoAmIx · 02.08.2014, 09:36 **[ТС]**

Эм, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n{(2+x)}^{n-1}$ . Опять пустой коэффициент n... Может конечно я не так ее взял?

iifat · 02.08.2014, 11:26

Раскрой в ряд по формуле бинома и от суммы уже бери производную

@CyberSolver · 02.08.2014, 12:25

Очевидно, что в первом как-то надо использовать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2 - 3)^n$ . Разобьём нашу сумму на две: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^n C_n^k 2^k (-3)^{n-k} (2k-1) = 2\sum_{k=0}^n kC_n^k 2^k (-3)^{n-k} - \sum_{k=0}^n C_n^k 2^k (-3)^{n-k}$ . Со второй всё понятно - это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^n C_n^k 2^k (-3)^{n-k} = (-1)^n$ . Для вычисления первой рассмотрим функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-3 + x)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^k (-3)^{n-k}$ . Дифференцируем и умножаем на x: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \left[(-3 + x)^n\right]' = \sum_{k=0}^n kC_n^k x^k (-3)^{n-k} = nx(-3+x)^{n-1}$ . Итого наша сумма равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\cdot n\cdot2(-1)^{n-1} - (-1)^n = -(-1)^n(4n+1)$

Собственно, второй делается так же, только дифференцировать два раза из-за k^2.

Добавлено через 54 минуты
Третий пример перепишем так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{k^2 + 1}{k+1} = k - 1 + \frac{2}{k+1}$ ,
поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k\frac{k^2 + 1}{k+1} = \sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k(k - 1) + \sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k\frac{2}{k+1}$ . Обе суммы можно выудить из разложения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0 - x)^n$ : первая получается дифференцированием, вторая - интегрированием. Доводить выкладки до конца мне лень

zer0mail · 02.08.2014, 13:41

Сообщение от iifat

Раскрой в ряд по формуле бинома и от суммы уже бери производную

Совсем думать не хотят - надо, чтобы разжевали до манной каши и в рот положили

iifat · 02.08.2014, 13:58

Не по теме:

Шо меня удивляет больше, так это люди, жаждущие разжёвывать и класть в рот. Вот, хоть CyberSolver, например.

@CyberSolver · 02.08.2014, 14:07

Не по теме:

iifat, вы адресом не ошиблись? Это вроде как форум. Вас учили в школе так же? "Дети, вот вам, кароч... а да ну нафиг, сами разберётесь, предмет у нас математика?" Если вы так хотели сказать, что топикстартер тупой, а вы светоч разума, то так и скажите.

zer0mail · 02.08.2014, 14:11

Не по теме:

iifat, один чел сказал: чем меньше будут знать и уметь они, тем больше будут ценить меня... :)

iifat · 02.08.2014, 15:31

Не по теме:

Ещё кто-то, кабы даже не тут, на этом форуме, хорошо сказал: даёшь решение бесплатно — и ты без денег, и он без ума. И на кой, спрашивается? ;D

Сообщение от CyberSolver

Это вроде как форум

Форум, форум. И да, тебе можно писать всё, что соответствует правилам. И, ты удивишься: мне тоже.

@xWhoAmIx · 02.08.2014, 18:13 **[ТС]**

zer0mail, спасибо. А вам,CyberSolver, спасибо огромное.

Для тех, кто считает, что разъяснять нафиг не нужно...Я думаю и вам когда-то что-то поясняли и разъясняли, если человек тупит - это не значит, что ничего он не знает. Я, например, просто поймал дикий стопор: банально не дошел до того, что можно растащить изначальную сумму с многочленом на две с более простыми коэффициентами. Даже расписывать не нужно было, достаточно было бы одной фразы...И это спасибо CyberSolver, иначе бы пару дней доходило бы...

А про решения, iifat, за 3 года универа у меня накопилось такое количество готового материала, что хватит на отдых по выходным, если его выставить на платную загрузку. Но, да, вы не поверите - все лежит в открытом виде на нужных ресурсах. Я мудак? Возможно, но мне это кажется правильным.

@xWhoAmIx 14 / 0 / 0 Регистрация: 09.03.2014 Сообщений: 33
		1
	Найти значение суммы, основанной на биноме ньютона 02.08.2014, 01:37. Показов 2907. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Дали задание, но не могу понять, как подойти, подскажите пожалуйста. вот такие формулы, нужно найти значение выражения, основываясь на биноме ньютона. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^{n}{2}^{k}{(-3)}^{n-k}C_{n}^{k}(2k-1)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^{n}{(-3)}^{k}{2}^{n-k}C_{n}^{k}({k}^{2}+1)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}{{(-1)}^{k}({k}^{2}+1)/ (k+1)$ Понимаю, что нужно использовать операции дифференцирования/интегрирования, но не понимаю, как получить многочлен(2К-1), к примеру. С простым коэффициентом - вроде бы получились примеры, а с многочленом - не понимаю :/ 0

zer0mail 2664 / 2239 / 240 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,141 Записей в блоге: 1
	02.08.2014, 08:04	2
	Рассмотри y(x)=(2+x)ⁿ и его производную по x: y'(x). 1

@xWhoAmIx 14 / 0 / 0 Регистрация: 09.03.2014 Сообщений: 33
	02.08.2014, 09:36 [ТС]	3
	Эм, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n{(2+x)}^{n-1}$ . Опять пустой коэффициент n... Может конечно я не так ее взял? 0

iifat 2719 / 1773 / 187 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,132
	02.08.2014, 11:26	4
	Раскрой в ряд по формуле бинома и от суммы уже бери производную 2

@CyberSolver 102 / 75 / 17 Регистрация: 23.07.2014 Сообщений: 877 Записей в блоге: 1
	02.08.2014, 12:25	5
	Сообщение было отмечено xWhoAmIx как решение Решение Очевидно, что в первом как-то надо использовать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2 - 3)^n$ . Разобьём нашу сумму на две: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^n C_n^k 2^k (-3)^{n-k} (2k-1) = 2\sum_{k=0}^n kC_n^k 2^k (-3)^{n-k} - \sum_{k=0}^n C_n^k 2^k (-3)^{n-k}$ . Со второй всё понятно - это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^n C_n^k 2^k (-3)^{n-k} = (-1)^n$ . Для вычисления первой рассмотрим функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-3 + x)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^k (-3)^{n-k}$ . Дифференцируем и умножаем на x: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \left[(-3 + x)^n\right]' = \sum_{k=0}^n kC_n^k x^k (-3)^{n-k} = nx(-3+x)^{n-1}$ . Итого наша сумма равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\cdot n\cdot2(-1)^{n-1} - (-1)^n = -(-1)^n(4n+1)$ Собственно, второй делается так же, только дифференцировать два раза из-за k^2. Добавлено через 54 минуты Третий пример перепишем так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{k^2 + 1}{k+1} = k - 1 + \frac{2}{k+1}$ , поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k\frac{k^2 + 1}{k+1} = \sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k(k - 1) + \sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k\frac{2}{k+1}$ . Обе суммы можно выудить из разложения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0 - x)^n$ : первая получается дифференцированием, вторая - интегрированием. Доводить выкладки до конца мне лень 1

zer0mail 2664 / 2239 / 240 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,141 Записей в блоге: 1
	02.08.2014, 13:41	6
	Сообщение от iifat Раскрой в ряд по формуле бинома и от суммы уже бери производную Совсем думать не хотят - надо, чтобы разжевали до манной каши и в рот положили 0

iifat
	02.08.2014, 13:58 #7
	Не по теме: Шо меня удивляет больше, так это люди, жаждущие разжёвывать и класть в рот. Вот, хоть CyberSolver, например. 0

@CyberSolver
	02.08.2014, 14:07 #8
	Не по теме: iifat, вы адресом не ошиблись? Это вроде как форум. Вас учили в школе так же? "Дети, вот вам, кароч... а да ну нафиг, сами разберётесь, предмет у нас математика?" Если вы так хотели сказать, что топикстартер тупой, а вы светоч разума, то так и скажите. 0

zer0mail
	02.08.2014, 14:11 #9
	Не по теме: iifat, один чел сказал: чем меньше будут знать и уметь они, тем больше будут ценить меня... :) 0

iifat
	02.08.2014, 15:31 #10
	Не по теме: Ещё кто-то, кабы даже не тут, на этом форуме, хорошо сказал: даёшь решение бесплатно — и ты без денег, и он без ума. И на кой, спрашивается? ;D Сообщение от CyberSolver Это вроде как форум Форум, форум. И да, тебе можно писать всё, что соответствует правилам. И, ты удивишься: мне тоже. 0

	02.08.2014, 18:13

@xWhoAmIx 14 / 0 / 0 Регистрация: 09.03.2014 Сообщений: 33
	02.08.2014, 18:13 [ТС]	11
	zer0mail, спасибо. А вам,CyberSolver, спасибо огромное. Для тех, кто считает, что разъяснять нафиг не нужно...Я думаю и вам когда-то что-то поясняли и разъясняли, если человек тупит - это не значит, что ничего он не знает. Я, например, просто поймал дикий стопор: банально не дошел до того, что можно растащить изначальную сумму с многочленом на две с более простыми коэффициентами. Даже расписывать не нужно было, достаточно было бы одной фразы...И это спасибо CyberSolver, иначе бы пару дней доходило бы... А про решения, iifat, за 3 года универа у меня накопилось такое количество готового материала, что хватит на отдых по выходным, если его выставить на платную загрузку. Но, да, вы не поверите - все лежит в открытом виде на нужных ресурсах. Я мудак? Возможно, но мне это кажется правильным. 0

Найти значение суммы, основанной на биноме ньютона

Решение