Организовать перебор всех возможных сочетаний

@Shout · Регистрация: 27.04.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Затрудняюсь с алгоритмом. Как можно организовать перебор всех возможных группировок?

Имеется несколько романов одного писателя. Для каждого из них известен объем (число страниц). Для издания сочиннения романы надо сгруппировать в пары. Каждая пара будет печататься в одном томе. Если число романов нечетно, то один печатается в отдельном томе. Требуется найти такую группировку, при которой объем самого толстого тома минимален.

8-BITOV · 21.05.2014, 23:44

Shout, Пока в голову пришла только только такая тривиальная мысль, что для нечетного количества романов надо создать фиктивный роман объемом 0 страниц, и дальше работать только с четными.
Но задача интересная. Надо подумать на свежую голову...

Добавлено через 42 минуты
Это называется "Разбиение на блоки". Алгоритм есть в книжке Липски, которой к сожалению сейчас нет под рукой. Но думаю, и в других книжках по комбинаторным алгоритмам он должен быть. К сожалению, их под рукой тоже нет, Только топор да лопата

IGPIGP · 22.05.2014, 00:09

Сообщение от Shout

при которой объем самого толстого тома минимален.

Я не уверен, но как фантазия:
Минимальный объём это сумма максимального и минимального элементов. Выбрав пару и сложив (для контроля ) сохраняем пару. То же делаем из оставшихся пока не кончатся.
Может разделить сортированный ряд пополам и перевернув одну из половинок почленно сложить со второй? Это гарантирует сложение максимального и минимального элементов. То есть то же самое, но быстрее.

8-BITOV · 22.05.2014, 10:23

Shout, После нахождения алгоритма разбиения на блоки для сокращения объема вычислений вам , скорее всего, надо будет применить "метод ветвей и границ"

Добавлено через 1 минуту
Это я к тому, чтобы вы знали в какую сторону копать дальше...

IGPIGP · 22.05.2014, 13:40

Сообщение от Shout

Если число романов нечетно, то один печатается в отдельном томе.

А тут, возможно, имело бы смысл сразу выделять в отдельный том максимальный элемент вначале, а с оставшимися как с чётным количеством?

@Mr.X · 23.05.2014, 18:54

C++

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//Имеется несколько романов одного писателя. Для каждого из них известен объем (число страниц). 
//Для издания сочиннения романы надо сгруппировать в пары. Каждая пара будет печататься в одном томе. 
//Если число романов нечетно, то один печатается в отдельном томе. Требуется найти такую группировку, 
//при которой объем самого толстого тома минимален.
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
#include <algorithm>
#include <complex>
#include <conio.h>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <iterator>
#include <map>
#include <numeric>
#include <set>
#include <string>
#include <utility>
#include <vector>
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
typedef std::string                     T_str;
typedef int                             T_volume;
typedef std::vector     < T_volume  >   T_volumes;
typedef std::multiset   < T_volume  >   T_volumes_multiset;
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
typedef std::pair< T_volume,    T_volume    >   T_book_volumes;
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
class  T_book
{
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes  volumes_;
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    friend  std::ostream& operator<<
        (
            std::ostream&       os,
            T_book  const   &   book
        )
    {
        os  <<  std::complex<T_volume>
                    (
                        book.get_sorted_volumes().first,
                        book.get_sorted_volumes().second
                    );
 
        return os;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
public:
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book
        (
            T_volume    const   &   vol_first   =   0,
            T_volume    const   &   vol_second  =   0
        )
        :
        volumes_
            (
                vol_first,
                vol_second
            )
    {}
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    bool  operator< ( T_book    const   &   book )  const
    {
        return  sum()  <   book.sum();
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    bool  operator== ( T_book    const   &   book )  const
    {
        return  get_sorted_volumes()    ==  book.get_sorted_volumes();
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes::first_type  &   first()
    {
        return  volumes_.first;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes::second_type  &  second()
    {
        return  volumes_.second;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes::first_type      first()         const
    {
        return  volumes_.first;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes::second_type     second()        const
    {
        return  volumes_.second;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_volume  sum()                                 const
    {
        return  first() + second();
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
private:
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes  get_sorted_volumes()            const
    {
        T_book_volumes  temp_volumes( volumes_ );
 
        if( temp_volumes.first  >   temp_volumes.second )
        {
            std::swap
                (
                    temp_volumes.first,
                    temp_volumes.second
                );
        }//if
 
        return  temp_volumes;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
};
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
typedef std::multiset< T_book   >   T_books;
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
template< typename  T >
void  print_prompt_and_input_value
    (
        T_str   const   &   prompt,
        T               &   val
    )
{
    std::cout   <<  prompt;
    std::cin    >>  val;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
struct  T_get_rand_novel_volume
{
    T_volume  static  const   MIN_NOVEL_VOLUME    =   1;
    T_volume  static  const   MAX_NOVEL_VOLUME    =   1000;
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_volume  operator()  ()
    {
        return  rand() % ( MAX_NOVEL_VOLUME - MIN_NOVEL_VOLUME + 1 ) + MIN_NOVEL_VOLUME;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
};
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  generate_and_sort_even_number_of_novel_volumes_for_count
    (
        T_volumes   &   novel_volumes,
        int             novels_total
    )
{
    novel_volumes.resize( novels_total );
 
    std::generate
        (
            novel_volumes.begin         (),
            novel_volumes.end           (),
            T_get_rand_novel_volume     ()
        );
 
    if( novels_total % 2 != 0 )
    {
        novel_volumes.push_back(0);
    }
 
    std::sort
        (
            novel_volumes.begin (),
            novel_volumes.end   ()
        );
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  print_novel_volumes( T_volumes  const   &   novel_volumes )
{
    std::copy
        (
            novel_volumes.begin     (),
            novel_volumes.end       (),
            std::ostream_iterator< T_volumes::value_type >(std::cout, " ")
        );
 
    std::cout   <<  std::endl
                <<  std::endl;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
bool  successfully_improve_pair_of_books
    (
        T_book  &   big_book,
        T_book  &   small_book
    )
{
    bool    bool_res    =   false;
 
    //a     b
 
    //c     d
 
    T_volume    &   a   =   big_book.first      ();
    T_volume    &   b   =   big_book.second     ();
 
    T_volume    &   c   =   small_book.first    ();
    T_volume    &   d   =   small_book.second   ();
 
    //Если максимум у перекресных меньше, чем у вертикальных
    if  (
            std::max( a + d, b + c ) < std::max( a + c, b + d )
        )
    {
        //и если он меньше, чем текущей большой пары.
        if  (
                std::max( a + d, b + c ) < a + b
            )
        {
            //Заменяем на перекрестную.
            a + d > b + c
                ?   std::swap( b, d )
                :   std::swap( a, c );
 
            return  true;
        }//if
    }//Если максимум у вертикальных меньше или равен чем у перекрестных, то.
    else
    {
        //и если он меньше, чем текущей большой пары.
        if  (
                std::max( a + c, b + d ) < a + b
            )
        {
            //Заменяем на вертикальную.
            a + c > b + d
                ?   std::swap( b, c )
                :   std::swap( a, d );
 
            return  true;
        }//if
    }//else
 
    return  bool_res;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
T_books::iterator   get_it_from_rev_it( T_books::reverse_iterator &   rev_it )
{
    T_books::iterator    it  =   rev_it.base();
    --it;
    return  it;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  optimize( T_books   &   books )
{
    //Берем самый толстый двухтомник и сравниваем его с каждым. Если обмен романами 
    //с каким-нибудь двухтомником делает самый толстый тоньше, то делаем его.
    //Повторяем процедуру.
    bool    were_exchanges;
 
    do
    {
        were_exchanges      =   false;
        auto    big_book    =   *books.rbegin();
        T_book  cur_book;
 
        books.erase
            (
                get_it_from_rev_it
                    (
                        books.rbegin()
                    )
            );
 
        //Обходим оставшиеся двухтомники, начиная с толстых.
        for (
                auto
                book_rev_it     =   books.rbegin    ();
                book_rev_it     !=  books.rend      ();
                ++book_rev_it
            )
        {
            cur_book    =   *book_rev_it;
 
            if  (
                    were_exchanges  =   successfully_improve_pair_of_books
                                            (
                                                big_book,
                                                cur_book
                                            )
                )
            {
                books.erase
                    (
                        get_it_from_rev_it( book_rev_it )
                    );
 
                break;
            }//if
        }//for
 
        if( were_exchanges )
        {
            books.insert( cur_book );
        }
 
        books.insert( big_book );
    }
    while( were_exchanges );
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  make_books_from_novel_volumes
    (
        T_volumes   const   &   novel_volumes,
        T_books             &   books
    )
{
    //Составляем двухтомник из самого тонкого и самого толстого романов. Из оставшихся так же.
    for (
            int  first = 0, last = novel_volumes.size() - 1;
            first < last;
            ++first, --last
        )
    {
        books.insert
            (
                T_book
                    (
                        novel_volumes[ first    ],
                        novel_volumes[ last     ]
                    )
            );
    }//for
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  print_books( T_books  const   &   books )
{
    for (
            auto    book_it     =   books.begin    ();
            book_it             !=  books.end      ();
            ++book_it
        )
    {
        std::cout   <<  *book_it
                    <<  "\t->\t"
                    <<  book_it->sum()
                    <<  std::endl;
    }
    std::cout   <<  std::endl;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
T_volumes_multiset  set_of_books_volumes( T_books    const   &   books )
{
    T_volumes_multiset   res_set;
 
    for (
            auto
            book_it     =   books.begin ();
            book_it     !=  books.end   ();
            ++book_it
        )
    {
        res_set.insert( book_it->sum() );
    }
 
    return  res_set;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
int  main()
{
    std::locale::global(std::locale(""));
    srand(unsigned(time(0)));
 
    for(;;)
    {
        int     novels_total    =   0;
 
        print_prompt_and_input_value
            (
                "Введите количество романов: ",
                novels_total
            );
 
        T_volumes   novel_volumes;
 
        generate_and_sort_even_number_of_novel_volumes_for_count
            (
                novel_volumes,
                novels_total
            );
 
        std::cout   <<  "Отсортированные случайные объемы:"
                    <<  std::endl;
 
        print_novel_volumes( novel_volumes );
 
        T_books   books;
 
        make_books_from_novel_volumes
            (
                novel_volumes,
                books
            );
 
        std::cout   <<  "Двухтомники, полученные простым способом."
                    <<  std::endl;
 
        print_books( books );
 
        T_volumes   novel_volumes_shuf  =   novel_volumes;
 
        std::random_shuffle
            (
                novel_volumes_shuf.begin   (),
                novel_volumes_shuf.end     ()
            );
 
        std::cout   <<  "Перемешанные объемы:"
                    <<  std::endl;
 
        print_novel_volumes( novel_volumes_shuf );
 
        T_books   books_shuf;
 
        make_books_from_novel_volumes
            (
                novel_volumes_shuf,
                books_shuf
            );
 
        std::cout   <<  "Случайные двухтомники до сортировки."
                    <<  std::endl;
 
        print_books( books_shuf );
 
        optimize( books_shuf );
 
        std::cout   <<  "Случайные двухтомники после сортировки."
                    <<  std::endl;
 
        print_books( books_shuf );
 
        if( books == books_shuf )
        {
            std::cout   <<  "Все двухтомники по содержанию совпадают."
                        <<  std::endl;
        }
        else
        {
            //Если совпадают размеры всех двухтомников
            if  (
                        set_of_books_volumes( books         )
                    ==  set_of_books_volumes( books_shuf    )
                )
            {
                std::cout   <<  "Размеры всех двухтомников совпадают."
                            <<  std::endl;
            }
            else
            {
                if  (
                        *books.rbegin() ==  *books_shuf.rbegin()
                    )
                {
                    std::cout   <<  "Самые тостые двухтомники по содержанию совпадают."
                                <<  std::endl;
                }
                else
                {
                    int     book_size_max       =   books       .rbegin()->sum();
                    int     book_size_max_shuf  =   books_shuf  .rbegin()->sum();
 
                    if( book_size_max   ==   book_size_max_shuf )
                    {
                        std::cout   <<  "Размеры самых толстых двухтомников совпадают."
                                    <<  std::endl;
                    }
                    else if( book_size_max   <   book_size_max_shuf )
                    {
                        std::cout   <<  "Двухтомник, полученный обычным способом, - тоньше."
                                    <<  std::endl;
                    }
                    else
                    {
                        std::cout   <<  "Двухтомник, полученный сортировкой, - тоньше."
                                    <<  std::endl;
                    }//else
                }//else
            }//else
        }//else
 
        std::cout   <<  std::endl
                    <<  std::endl
                    <<  std::endl
                    <<  std::endl
                    <<  std::endl;
    }//for
}

IGPIGP · 24.05.2014, 00:32

Mr.X, классный код и я сразу прошу прощения за тот вариант который выкладываю. У меня нет С++11 и я попытался адаптировать к своему компилятору, вдруг у кого-то та же история . Если где-то ошибся, - не обессудьте.

C++

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//Имеется несколько романов одного писателя. Для каждого из них известен объем (число страниц). 
//Для издания сочиннения романы надо сгруппировать в пары. Каждая пара будет печататься в одном томе. 
//Если число романов нечетно, то один печатается в отдельном томе. Требуется найти такую группировку, 
//при которой объем самого толстого тома минимален.
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
#include <algorithm>
#include <complex>
#include <conio.h>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <iterator>
#include <map>
#include <numeric>
#include <set>
#include <string>
#include <utility>
#include <vector>
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
typedef std::string                     T_str;
typedef int                             T_volume;
typedef std::vector     < T_volume  >   T_volumes;
typedef std::multiset   < T_volume  >   T_volumes_multiset;
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
typedef std::pair< T_volume,    T_volume    >   T_book_volumes;
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
class  T_book
{
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes  volumes_;
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    friend  std::ostream& operator<<
        (
            std::ostream&       os,
            T_book  const   &   book
        )
    {
        os  <<  std::complex<T_volume>
                    (
                        book.get_sorted_volumes().first,
                        book.get_sorted_volumes().second
                    );
 
        return os;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
public:
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book
        (
            T_volume    const   &   vol_first   =   0,
            T_volume    const   &   vol_second  =   0
        )
        :
        volumes_
            (
                vol_first,
                vol_second
            )
    {}
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    bool  operator< ( T_book    const   &   book )  const
    {
        return  sum()  <   book.sum();
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    bool  operator== ( T_book    const   &   book )  const
    {
        return  get_sorted_volumes()    ==  book.get_sorted_volumes();
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes::first_type  &   first()
    {
        return  volumes_.first;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes::second_type  &  second()
    {
        return  volumes_.second;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes::first_type      first()         const
    {
        return  volumes_.first;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes::second_type     second()        const
    {
        return  volumes_.second;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_volume  sum()                                 const
    {
        return  first() + second();
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
private:
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes  get_sorted_volumes()            const
    {
        T_book_volumes  temp_volumes( volumes_ );
 
        if( temp_volumes.first  >   temp_volumes.second )
        {
            std::swap
                (
                    temp_volumes.first,
                    temp_volumes.second
                );
        }//if
 
        return  temp_volumes;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
};
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
typedef std::multiset< T_book   >   T_books;
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
template< typename  T >
void  print_prompt_and_input_value
    (
        T_str   const   &   prompt,
        T               &   val
    )
{
    std::cout   <<  prompt;
    std::cin    >>  val;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
struct  T_get_rand_novel_volume
{
    T_volume  static  const   MIN_NOVEL_VOLUME    =   1;
    T_volume  static  const   MAX_NOVEL_VOLUME    =   1000;
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_volume  operator()  ()
    {
        return  rand() % ( MAX_NOVEL_VOLUME - MIN_NOVEL_VOLUME + 1 ) + MIN_NOVEL_VOLUME;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
};
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  generate_and_sort_even_number_of_novel_volumes_for_count
    (
        T_volumes   &   novel_volumes,
        int             novels_total
    )
{
    novel_volumes.resize( novels_total );
 
    std::generate
        (
            novel_volumes.begin         (),
            novel_volumes.end           (),
            T_get_rand_novel_volume     ()
        );
 
    if( novels_total % 2 != 0 )
    {
        novel_volumes.push_back(0);
    }
 
    std::sort
        (
            novel_volumes.begin (),
            novel_volumes.end   ()
        );
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  print_novel_volumes( T_volumes  const   &   novel_volumes )
{
    std::copy
        (
            novel_volumes.begin     (),
            novel_volumes.end       (),
            std::ostream_iterator< T_volumes::value_type >(std::cout, " ")
        );
 
    std::cout   <<  std::endl
                <<  std::endl;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
bool  successfully_improve_pair_of_books
    (
        T_book  &   big_book,
        T_book  &   small_book
    )
{
    bool    bool_res    =   false;
 
    //a     b
 
    //c     d
 
    T_volume    &   a   =   big_book.first      ();
    T_volume    &   b   =   big_book.second     ();
 
    T_volume    &   c   =   small_book.first    ();
    T_volume    &   d   =   small_book.second   ();
 
    //Если максимум у перекресных меньше, чем у вертикальных
    if  (
            std::max( a + d, b + c ) < std::max( a + c, b + d )
        )
    {
        //и если он меньше, чем текущей большой пары.
        if  (
                std::max( a + d, b + c ) < a + b
            )
        {
            //Заменяем на перекрестную.
            a + d > b + c
                ?   std::swap( b, d )
                :   std::swap( a, c );
 
            return  true;
        }//if
    }//Если максимум у вертикальных меньше или равен чем у перекрестных, то.
    else
    {
        //и если он меньше, чем текущей большой пары.
        if  (
                std::max( a + c, b + d ) < a + b
            )
        {
            //Заменяем на вертикальную.
            a + c > b + d
                ?   std::swap( b, c )
                :   std::swap( a, d );
 
            return  true;
        }//if
    }//else
 
    return  bool_res;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
T_books::iterator   get_it_from_rev_it( T_books::reverse_iterator &   rev_it )
{
    T_books::iterator    it  =   rev_it.base();
    --it;
    return  it;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  optimize( T_books   &   books )
{
    //Берем самый толстый двухтомник и сравниваем его с каждым. Если обмен романами 
    //с каким-нибудь двухтомником делает самый толстый тоньше, то делаем его.
    //Повторяем процедуру.
    bool    were_exchanges;
 
    do
    {
        were_exchanges      =   false;
         T_book  big_book    =   *books.rbegin();
        T_book  cur_book;
 
        books.erase
            (
                get_it_from_rev_it
                    (
                        books.rbegin()
                    )
            );
 
        //Обходим оставшиеся двухтомники, начиная с толстых.
        for (
            //books.it
            std::multiset<T_book>::reverse_iterator  
                book_rev_it     =   books.rbegin    ();
                book_rev_it     !=  books.rend      ();
                ++book_rev_it
            )
        {
            cur_book    =   *book_rev_it;
 
            if  (
                    were_exchanges  =   successfully_improve_pair_of_books
                                            (
                                                big_book,
                                                cur_book
                                            )
                )
            {
                books.erase
                    (
                        get_it_from_rev_it( book_rev_it )
                    );
 
                break;
            }//if
        }//for
 
        if( were_exchanges )
        {
            books.insert( cur_book );
        }
 
        books.insert( big_book );
    }
    while( were_exchanges );
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  make_books_from_novel_volumes
    (
        T_volumes   const   &   novel_volumes,
        T_books             &   books
    )
{
    //Составляем двухтомник из самого тонкого и самого толстого романов. Из оставшихся так же.
    for (
            int  first = 0, last = novel_volumes.size() - 1;
            first < last;
            ++first, --last
        )
    {
        books.insert
            (
                T_book
                    (
                        novel_volumes[ first    ],
                        novel_volumes[ last     ]
                    )
            );
    }//for
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  print_books( T_books  const   &   books )
{
    for (
           T_books::const_iterator      book_it     =   books.begin    ();
            book_it             !=  books.end      ();
            ++book_it
        )
    {
        std::cout   <<  *book_it
                    <<  "\t->\t"
                    <<  book_it->sum()
                    <<  std::endl;
    }
    std::cout   <<  std::endl;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
T_volumes_multiset  set_of_books_volumes( T_books    const   &   books )
{
    T_volumes_multiset   res_set;
 
    for (
        T_books::const_iterator   
            book_it     =   books.begin ();
            book_it     !=  books.end   ();
            ++book_it
        )
    {
        res_set.insert( book_it->sum() );
    }
 
    return  res_set;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
int  main()
{
    std::locale::global(std::locale(""));
    srand(unsigned(time(0)));
 
    for(;;)
    {
        int     novels_total    =   0;
 
        print_prompt_and_input_value
            (
                "Введите количество романов (-1 для выхода) : ",
                novels_total
            );
        if ( novels_total = -1 ){
            std::cout << "Всего хорошего!" << std::endl;
            std::cin.sync();
            std::cin.get();
            break;
        }
        T_volumes   novel_volumes;
 
        generate_and_sort_even_number_of_novel_volumes_for_count
            (
                novel_volumes,
                novels_total
            );
 
        std::cout   <<  "Отсортированные случайные объемы:"
                    <<  std::endl;
 
        print_novel_volumes( novel_volumes );
 
        T_books   books;
 
        make_books_from_novel_volumes
            (
                novel_volumes,
                books
            );
 
        std::cout   <<  "Двухтомники, полученные простым способом."
                    <<  std::endl;
 
        print_books( books );
 
        T_volumes   novel_volumes_shuf  =   novel_volumes;
 
        std::random_shuffle
            (
                novel_volumes_shuf.begin   (),
                novel_volumes_shuf.end     ()
            );
 
        std::cout   <<  "Перемешанные объемы:"
                    <<  std::endl;
 
        print_novel_volumes( novel_volumes_shuf );
 
        T_books   books_shuf;
 
        make_books_from_novel_volumes
            (
                novel_volumes_shuf,
                books_shuf
            );
 
        std::cout   <<  "Случайные двухтомники до сортировки."
                    <<  std::endl;
 
        print_books( books_shuf );
 
        optimize( books_shuf );
 
        std::cout   <<  "Случайные двухтомники после сортировки."
                    <<  std::endl;
 
        print_books( books_shuf );
 
        if( books == books_shuf )
        {
            std::cout   <<  "Все двухтомники по содержанию совпадают."
                        <<  std::endl;
        }
        else
        {
            //Если совпадают размеры всех двухтомников
            if  (
                        set_of_books_volumes( books         )
                    ==  set_of_books_volumes( books_shuf    )
                )
            {
                std::cout   <<  "Размеры всех двухтомников совпадают."
                            <<  std::endl;
            }
            else
            {
                if  (
                        *books.rbegin() ==  *books_shuf.rbegin()
                    )
                {
                    std::cout   <<  "Самые тостые двухтомники по содержанию совпадают."
                                <<  std::endl;
                }
                else
                {
                    int     book_size_max       =   books       .rbegin()->sum();
                    int     book_size_max_shuf  =   books_shuf  .rbegin()->sum();
 
                    if( book_size_max   ==   book_size_max_shuf )
                    {
                        std::cout   <<  "Размеры самых толстых двухтомников совпадают."
                                    <<  std::endl;
                    }
                    else if( book_size_max   <   book_size_max_shuf )
                    {
                        std::cout   <<  "Двухтомник, полученный обычным способом, - тоньше."
                                    <<  std::endl;
                    }
                    else
                    {
                        std::cout   <<  "Двухтомник, полученный сортировкой, - тоньше."
                                    <<  std::endl;
                    }//else
                }//else
            }//else
        }//else
 
        std::cout   <<  std::endl
                    <<  std::endl
                    <<  std::endl
                    <<  std::endl
                    <<  std::endl;
    }//for
}

Я не понимаю всё же, чем простой вариант плох? Я написал ужасный код, сравнивающий алгоритм, в котором тома перебираются последовательно и каждому подбирается пара, так чтобы сумма минимально отличалась от удвоенного среднего ( просто первое, что пришло в голову) и простой: отсортировать, разделить, перевернуть один и сложить. Нечетное количество не учтено, т.к. максимальный, вероятно следует издавать отдельной книжкой в этом случае и остаётся четное.

C++

#include <iostream>
#include <Cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int max_roman(int *arr_romans, int arr_size){
int max_rom(0);
for(int i = 0; i < arr_size; ++i)
if( arr_romans[i] > max_rom) max_rom = arr_romans[i];
return max_rom;
}
double average_of(int *arr_romans, int arr_size){
double sum(0);
for(int i = 0; i < arr_size; ++i) sum += arr_romans[i];
sum /= arr_size;
return sum;
}
int closer_to_average_with( double average_roman, int max_roman, int ind_target, vector<int>& vec_romans){
int vec_size = vec_romans.size();
    int target_roman = vec_romans[ind_target];  
        vec_romans[ ind_target ] = -1; //кость))   
            double best_abs_diff_from_average = 2*max_roman;
                double current_abs_diff_from_average(0);
                    int ind_to_find=-1;
 for(int i = 0; i < vec_size; ++i){
 
if(vec_romans[i] != -1 /*))*/ ){
current_abs_diff_from_average = fabs( vec_romans[i] + target_roman - 2*average_roman);
if(best_abs_diff_from_average > current_abs_diff_from_average){
        best_abs_diff_from_average = current_abs_diff_from_average;
            ind_to_find = i;
        }
    }
 }
if(ind_to_find != -1) vec_romans[ind_to_find] = -1;
return ind_to_find;
}
int next_targ(vector<int> &vec_romans, int current_rom){
int vec_size = vec_romans.size();
int found_ind = 11;
if ( current_rom > vec_size - 2 ) return -1; 
for ( int i = current_rom+1; i < vec_size; ++i ){
if(vec_romans[i] != -1){
found_ind = i;
    break;
}
}
return found_ind;
}
void print_vec(vector<int> &vec_romans){
int vec_size = vec_romans.size();
cout<<"\n________________________"<<endl;
for ( int i = 0; i < vec_size; ++i ){
cout<<vec_romans[i]<<" ";
cout<<endl;
}
}
int main()
{
// сортированный ряд
int arr_romans[12] = {100, 110, 120, 130, 150, 180, 200, 210, 215, 220, 225, 230};
//алгоритм в котором пары выбираются так:
//первому по порядку подыскивается пара так, что разность их суммы
//и удвоенного среднего по начальной группе была минимальна по модулю
//пара удаляется из группы и процесс повторяется
vector<int> vec_romans(arr_romans, arr_romans + 12);
double average_roman = average_of(arr_romans, 12);
int max_rom =  max_roman(arr_romans, 12);
vector <pair<int, int>> vec_romans_pair;
int targ = 0;
int next_tar=0;
while (targ < 11){
next_tar = closer_to_average_with(
                     average_roman, max_rom, targ, vec_romans
                            );
    vec_romans_pair.push_back( pair<int,int>( targ,  next_tar ) );
targ = next_targ(vec_romans, targ);//передвигаемся к следующему targ
next_tar = next_targ(vec_romans, targ);//получаем следующий индекс с которого можно начать новый поиск пары к targ
}
cout<<"\nAlgorithm ща sequent target selection when \
summ pair of targ and candidate \nis the moste closer to 2*average)\n________________________"<<endl;
for(size_t i = 0; i < vec_romans_pair.size(); ++i){
cout << arr_romans[vec_romans_pair[i].first] << " " << arr_romans[vec_romans_pair[i].second] << " " << (arr_romans[vec_romans_pair[i].first] + arr_romans[vec_romans_pair[i].second]) <<endl;
}
//алгоритм "взять и поделить + перевернуть и сложить"
const int half_life = 6;
int first[half_life];
int second[half_life];
cout<<"\nSharickov's algoritm: \n\"take and divide\" + reverse one of them and add to other\n________________________"<<endl;
for(int i = 0; i < half_life; ++i) {
    first[i] = arr_romans[i];
    second[i] = arr_romans[2*half_life - 1 - i];
cout << first[i] << " " << second[i] <<" "<< (first[i] + second[i]) << endl;
}
cout<<"\nThat's strenge, bat they produse slightly different rezults!\nSharickov wins as always. Gray dog)))"<<endl;
system("pause") ;
return 0;
}

@Mr.X · 24.05.2014, 06:09

Сообщение от IGPIGP

Я не понимаю всё же, чем простой вариант плох?

Он не плох, но требует математического доказательства своей правильности.

IGPIGP · 24.05.2014, 11:53

Сообщение от Mr.X

Он не плох, но требует математического доказательства своей правильности.

Понятно. То есть задача про романы, это просто иллюстрация, а главная цель, - перебор и сравнение всех возможных вариантов, сама по себе? Тогда моё выступление не в тему.

Однако в формулировке задачи остаётся слово "сравнение". Наверное в зависимости от способа сравнения/сопоставления существуют если не обязательно доказательства, но хотя бы способы сокращения объёма? Ведь перебор всех вариантов, как следует из комбинаторики, это штука затратная?
Тем не менее спасибо за ответ. Хороший алгоритм перебора всех вариантов сочетаний, это самостоятельная и серьёзная задача.

@0x10 · 24.05.2014, 12:00

Кнут, "Искусство программирования", том 4, выпуск 3 - "Генерация всех сочетаний и разбиений".
Сам не разбирался с вопросом, поэтому конкретнее сказать ничего не могу.

@Mr.X · 24.05.2014, 15:26

Кстати, насчет эффективности. Я, особо не размышляя, поставил обход начиная с толстых двухтомников. А сделал начиная с тонких, и скорость работы увеличилась на порядок:

C++

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//Имеется несколько романов одного писателя. Для каждого из них известен объем (число страниц). 
//Для издания сочиннения романы надо сгруппировать в пары. Каждая пара будет печататься в одном томе. 
//Если число романов нечетно, то один печатается в отдельном томе. Требуется найти такую группировку, 
//при которой объем самого толстого тома минимален.
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
#include <algorithm>
#include <complex>
#include <conio.h>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <iterator>
#include <map>
#include <numeric>
#include <set>
#include <string>
#include <utility>
#include <vector>
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
typedef std::string                                 T_str;
typedef int                                         T_volume;
typedef std::vector     < T_volume  >               T_volumes;
typedef std::pair       < T_volume, T_volume    >   T_book_volumes;
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
class  T_book
{
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes  volumes_;
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    friend  std::ostream& operator<<
        (
            std::ostream&       os,
            T_book  const   &   book
        )
    {
        os  <<  std::complex<T_volume>
                    (
                        book.get_sorted_volumes().first,
                        book.get_sorted_volumes().second
                    )
 
            <<  "\t->\t"
            <<  book.sum();
 
        return os;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
public:
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book
        (
            T_volume    const   &   vol_first   =   0,
            T_volume    const   &   vol_second  =   0
        )
        :
        volumes_
            (
                vol_first,
                vol_second
            )
    {}
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    bool  operator< ( T_book    const   &   book )  const
    {
        return      std::make_pair
                        (
                            sum                 (),
                            get_sorted_volumes  ()
                        )
 
                <   std::make_pair
                        (
                            book.sum                (),
                            book.get_sorted_volumes ()
                        );
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    bool  operator== ( T_book    const   &   book )  const
    {
        return  get_sorted_volumes()    ==  book.get_sorted_volumes();
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes::first_type  &   first()
    {
        return  volumes_.first;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes::second_type  &  second()
    {
        return  volumes_.second;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes::first_type      first()         const
    {
        return  volumes_.first;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes::second_type     second()        const
    {
        return  volumes_.second;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_volume  sum()                                 const
    {
        return  first() + second();
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
private:
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_book_volumes  get_sorted_volumes()            const
    {
        T_book_volumes  temp_volumes( volumes_ );
 
        if( temp_volumes.first  >   temp_volumes.second )
        {
            std::swap
                (
                    temp_volumes.first,
                    temp_volumes.second
                );
        }//if
 
        return  temp_volumes;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
};
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
typedef std::multiset< T_book   >   T_books;
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
template< typename  T >
void  print_prompt_and_input_value_not_less_than
    (
        T_str   const   &   prompt,
        T               &   val,
        T                   left_bound
    )
{
    do
    {
        std::cout   <<  prompt;
        std::cin    >>  val;
    }
    while( val < left_bound );
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
struct  T_get_rand_novel_volume
{
    T_volume  static  const   MIN_NOVEL_VOLUME    =   1;
    T_volume  static  const   MAX_NOVEL_VOLUME    =   1000;
    //-----------------------------------------------------------------------------------
    T_volume  operator()  ()
    {
        return  rand() % ( MAX_NOVEL_VOLUME - MIN_NOVEL_VOLUME + 1 ) + MIN_NOVEL_VOLUME;
    }
    //-----------------------------------------------------------------------------------
};
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  generate_and_sort_even_number_of_novel_volumes_for_count
    (
        T_volumes   &   novel_volumes,
        int             novels_total
    )
{
    novel_volumes.resize( novels_total );
 
    std::generate
        (
            novel_volumes.begin         (),
            novel_volumes.end           (),
            T_get_rand_novel_volume     ()
        );
 
    if( novels_total % 2 != 0 )
    {
        novel_volumes.push_back(0);
    }
 
    std::sort
        (
            novel_volumes.begin (),
            novel_volumes.end   ()
        );
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  print_novel_volumes( T_volumes  const   &   novel_volumes )
{
    std::copy
        (
            novel_volumes.begin     (),
            novel_volumes.end       (),
            std::ostream_iterator< T_volumes::value_type >(std::cout, " ")
        );
 
    std::cout   <<  std::endl
                <<  std::endl;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
bool  successfully_improve_pair_of_books
    (
        T_book  &   big_book,
        T_book  &   small_book
    )
{
    bool    bool_res    =   false;
 
    //a     b
 
    //c     d
 
    T_volume    &   a   =   big_book.first      ();
    T_volume    &   b   =   big_book.second     ();
 
    T_volume    &   c   =   small_book.first    ();
    T_volume    &   d   =   small_book.second   ();
 
    //Если максимум у перекресных меньше, чем у вертикальных
    if  (
            std::max( a + d, b + c ) < std::max( a + c, b + d )
        )
    {
        //и если он меньше, чем текущей большой пары.
        if  (
                std::max( a + d, b + c ) < a + b
            )
        {
            //Заменяем на перекрестную.
            a + d > b + c
                ?   std::swap( b, d )
                :   std::swap( a, c );
 
            bool_res    =   true;
        }//if
    }//Если максимум у вертикальных меньше или равен чем у перекрестных, то.
    else
    {
        //и если он меньше, чем текущей большой пары.
        if  (
                std::max( a + c, b + d ) < a + b
            )
        {
            //Заменяем на вертикальную.
            a + c > b + d
                ?   std::swap( b, c )
                :   std::swap( a, d );
 
            bool_res    =   true;
        }//if
    }//else
 
    return  bool_res;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
T_books::iterator   get_it_from_rev_it( T_books::reverse_iterator &   rev_it )
{
    T_books::iterator    it  =   rev_it.base();
    --it;
    return  it;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  optimize( T_books   &   books )
{
    //Берем самый толстый двухтомник и сравниваем его с каждым. Если обмен романами 
    //с каким-нибудь двухтомником делает самый толстый тоньше, то делаем его.
    //Повторяем процедуру.
    bool    were_exchanges;
 
    do
    {
        were_exchanges      =   false;
        auto    big_book    =   *books.rbegin();
        T_book  cur_book;
 
        books.erase
            (
                get_it_from_rev_it
                    (
                        books.rbegin()
                    )
            );
 
        //Обходим оставшиеся двухтомники, начиная с тонких.
        for (
                auto
                book_it     =   books.begin ();
                book_it     !=  books.end   ();
                ++book_it
            )
        {
            cur_book    =   *book_it;
 
            if  (
                    were_exchanges  =   successfully_improve_pair_of_books
                                            (
                                                big_book,
                                                cur_book
                                            )
                )
            {
                books.erase( book_it );
                break;
            }//if
        }//for
 
        if( were_exchanges )
        {
            books.insert( cur_book );
        }
 
        books.insert( big_book );
    }
    while( were_exchanges );
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  make_books_from_novel_volumes
    (
        T_volumes   const   &   novel_volumes,
        T_books             &   books
    )
{
    //Составляем двухтомник из самого тонкого и самого толстого романов. Из оставшихся так же.
    for (
            int  first = 0, last = novel_volumes.size() - 1;
            first < last;
            ++first, --last
        )
    {
        books.insert
            (
                T_book
                    (
                        novel_volumes[ first    ],
                        novel_volumes[ last     ]
                    )
            );
    }//for
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void  print_books( T_books  const   &   books )
{
    std::copy
        (
            books.begin (),
            books.end   (),
            std::ostream_iterator< T_book >( std::cout, "\n" )
        );
 
    std::cout   <<  std::endl;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
T_volumes  get_books_sizes( T_books const   &   books )
{
    T_volumes   books_volumes;
 
    std::transform
        (
            books.begin (),
            books.end   (),
            std::back_inserter( books_volumes ),
            std::mem_fun_ref( &T_book::sum )
        );
 
    return  books_volumes;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
int  main()
{
    std::locale::global(std::locale(""));
    srand(unsigned(time(0)));
 
    int const   NOVELS_TOTAL_MIN    =   1;
    for(;;)
    {
        int     novels_total    =   0;
 
        print_prompt_and_input_value_not_less_than
            (
                "Введите количество романов: ",
                novels_total,
                NOVELS_TOTAL_MIN
            );
 
        T_volumes   novel_volumes;
 
        generate_and_sort_even_number_of_novel_volumes_for_count
            (
                novel_volumes,
                novels_total
            );
 
        std::cout   <<  "Отсортированные случайные объемы:"
                    <<  std::endl;
 
        print_novel_volumes( novel_volumes );
 
        T_books   books;
 
        make_books_from_novel_volumes
            (
                novel_volumes,
                books
            );
 
        std::cout   <<  "Двухтомники, полученные простым способом."
                    <<  std::endl;
 
        print_books( books );
 
        T_volumes   novel_volumes_shuf  =   novel_volumes;
 
        std::random_shuffle
            (
                novel_volumes_shuf.begin   (),
                novel_volumes_shuf.end     ()
            );
 
        std::cout   <<  "Перемешанные объемы:"
                    <<  std::endl;
 
        print_novel_volumes( novel_volumes_shuf );
 
        T_books   books_shuf;
 
        make_books_from_novel_volumes
            (
                novel_volumes_shuf,
                books_shuf
            );
 
        std::cout   <<  "Случайные двухтомники до оптимизации."
                    <<  std::endl;
 
        print_books( books_shuf );
 
        optimize( books_shuf );
 
        std::cout   <<  "Случайные двухтомники после оптимизации."
                    <<  std::endl;
 
        print_books( books_shuf );
 
        if( books == books_shuf )
        {
            std::cout   <<  "Все двухтомники по содержанию совпадают."
                        <<  std::endl;
        }
        else
        {
            if  (
                    get_books_sizes( books )    ==  get_books_sizes( books_shuf )
                )
            {
                std::cout   <<  "Размеры всех двухтомников совпадают."
                            <<  std::endl;
                break;
            }
            else
            {
                if  (
                        *books.rbegin() ==  *books_shuf.rbegin()
                    )
                {
                    std::cout   <<  "Самые толстые двухтомники по содержанию совпадают."
                                <<  std::endl;
                }
                else
                {
                    auto    max_book        =   *books      .rbegin();
                    auto    max_shuf_book   =   *books_shuf .rbegin();
 
                    if( max_book.sum()  ==   max_shuf_book.sum() )
                    {
                        std::cout   <<  "Размеры самых толстых двухтомников совпадают."
                                    <<  std::endl;
                    }
                    else if( max_book.sum()  <  max_shuf_book.sum() )
                    {
                        std::cout   <<  "Двухтомник, полученный обычным способом, - тоньше."
                                    <<  std::endl;
                    }
                    else
                    {
                        std::cout   <<  "Двухтомник, полученный сортировкой, - тоньше."
                                    <<  std::endl;
                    }//else
                }//else
            }//else
        }//else
 
        std::cout   <<  std::endl
                    <<  std::endl
                    <<  std::endl
                    <<  std::endl
                    <<  std::endl;
    }//for
}

IGPIGP · 24.05.2014, 17:15

Сообщение от Mr.X

А сделал начиная с тонких, и скорость работы увеличилась на порядок

Я вот, как раз, об этом. Какие стратегии использовать в том или ином случае? С мат. доказательством для этой задачи не должно быть трудностей. Например:
Поскольку переход от нечётного количества к чётному тривиален, то докажем для чётного. В каждом множестве есть один или несколько элементов категории максимальный и минимальный. Разумеется первая выборка должна включать пару элементов каждой из этих категорий, поскольку любая другая комбинация даст больший результат. Попытка выбрать для не максимального минимальный элемент и сформировать данную пару из соображений "пусть эта будет ещё меньше", приведёт к тому, что максимальный обречён на пару с элементом более минимального (если тот на данной выборке один) и тогда максимальный 2-х томник увеличится в сравнении с полученным по правилу "каждый раз выбирай максимально противоположные". Я не математик и мои суждения могут быть наивны, но кажутся логичными.

Впрочем, я уже понял, что суть данной задачи не ограничена её предметом, а подобное доказательство всегда тесно с ним связано. Это ограничивает общность самого подхода.

Пока, тем не менее видно, что границы сравнений/сопоставлений в условии выборки и в условиях конечного результата связанны и анализ этой связи может существенно сократить объём.

@0x10 · 25.05.2014, 08:26

Наверное, у меня тут нет права критиковать, поскольку в теме сам не очень понимаю, но все-таки...
Почитайте Кнута. У него в принципе другой подход к задаче. Не эвристические сортировки и переборы, а вполне конкретный алгоритм генерации разибения.
У него описано несколько алгоритмов. Среди них есть для генерации всех возможных разбиений множества. Он достаточно понятно описан и просто реализуется. А еще есть алгоритм генерации разбиения множества на m блоков - и вот тут какой-то ад. Присутствует только словесное описание (с 168) алгоритма с двумя рекурсивными функциями, которые вызывают еще и друг друга. Вот с ними я не разобрался - либо перевод невнятный, либо у меня мозгов не хватило. Мб кто-нибудь осилит.
И без обид, но от приведенного в теме решения лично у меня глаза вытекают.

Добавлено через 15 часов 2 минуты
Нашел рализацию на джаве. Сам алгоритм занимает 20 строк.
https://github.com/coderodde/l... rator.java

Tulosba · 25.05.2014, 12:10

Не по теме:

Сообщение от 0x10

от приведенного в теме решения лично у меня глаза вытекают.

по ходу у кого-то таб вместо пробела на клавиатуре :)

@Mr.X · 26.05.2014, 20:26

Сформулировал-таки доказательство:

Пусть R – оптимальное разбиение множества S на пары, т.е. пара его элементов (m, M) с максимальной суммой имеет минимально возможное значение этой суммы.
Добавим к R еще пару (n, N) элементов таких, что в отсортированном массиве значений элементов они стоят на концах.
Докажем, что новое разбиение R1, состоящее из R и пары (n, N), также является оптимальным.
а) Пусть n + N >= m + M. Докажем, что не существует разбиения, в котором максимальная сумма пары была бы меньше n + N.
Действительно, если такое разбиение существует, то в нем нет пары (n, N), т.е. элемент N там сочетается с неким элементом k. Но элемент n самый левый, следовательно n <= k и n + N <= k + N, т.е. максимальная сумма пары в этом разбиении не меньше n + N.
б) Пусть n + N < m + M. Докажем, что не существует разбиения, в котором максимальная сумма пары была бы меньше m + M.
Предположим, что такое разбиение существует.
1) Пусть в этом разбиении присутствует пара (n, N).
Тогда, удалив ее, мы получим разбиение множества S с максимальной сумой пары меньше, чем m + M, что противоречит условию.
2) Пусть в этом разбиении отсутствует пара (n, N).
Тогда элемент n сочетается с неким элементом B из множества S. Но элемент N самый правый, следовательно B <= N. Удалив из разбиения пару (n, B), мы получим разбиение R2 множества S, в котором элемент B заменен на не меньший элемент N, но при этом максимальная сумма пары (m1, M1) меньше, чем m + M. Заменим в разбиении R2 элемент N обратно на B. Мы получим разбиение множества S, в котором сумма каждой пары не больше m1 + M1, т.е. меньше m + M, что противоречит условию.
Из вышедоказанного следует, что разбиение множества значений на пары, элементы которых равноотстоят от концов отсортированного массива значений, является оптимальным.

8-BITOV · 26.05.2014, 23:03

Сообщение от Mr.X

Сформулировал-таки доказательство

Дотошно не проверял, но верю. Уж больно убедителен стиль изложения.

И вообще, во время вскапывания огорода, меня часто посещала мыслишка, что все сложное - просто.

@Shout 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.04.2014 Сообщений: 8
		1
	Организовать перебор всех возможных сочетаний 21.05.2014, 22:38. Показов 3865. Ответов 15 Метки нет (Все метки) Затрудняюсь с алгоритмом. Как можно организовать перебор всех возможных группировок? Имеется несколько романов одного писателя. Для каждого из них известен объем (число страниц). Для издания сочиннения романы надо сгруппировать в пары. Каждая пара будет печататься в одном томе. Если число романов нечетно, то один печатается в отдельном томе. Требуется найти такую группировку, при которой объем самого толстого тома минимален. 0

8-BITOV 543 / 486 / 104 Регистрация: 05.05.2014 Сообщений: 1,110
	21.05.2014, 23:44	2
	Shout, Пока в голову пришла только только такая тривиальная мысль, что для нечетного количества романов надо создать фиктивный роман объемом 0 страниц, и дальше работать только с четными. Но задача интересная. Надо подумать на свежую голову... Добавлено через 42 минуты Это называется "Разбиение на блоки". Алгоритм есть в книжке Липски, которой к сожалению сейчас нет под рукой. Но думаю, и в других книжках по комбинаторным алгоритмам он должен быть. К сожалению, их под рукой тоже нет, Только топор да лопата 2

IGPIGP Комп_Оратор) $Эксперт по математике/физике$ 8949 / 4703 / 629 Регистрация: 04.12.2011 Сообщений: 13,999 Записей в блоге: 16
	22.05.2014, 00:09	3
	Сообщение от Shout при которой объем самого толстого тома минимален. Я не уверен, но как фантазия: Минимальный объём это сумма максимального и минимального элементов. Выбрав пару и сложив (для контроля ) сохраняем пару. То же делаем из оставшихся пока не кончатся. Может разделить сортированный ряд пополам и перевернув одну из половинок почленно сложить со второй? Это гарантирует сложение максимального и минимального элементов. То есть то же самое, но быстрее. 0

8-BITOV 543 / 486 / 104 Регистрация: 05.05.2014 Сообщений: 1,110
	22.05.2014, 10:23	4
	Shout, После нахождения алгоритма разбиения на блоки для сокращения объема вычислений вам , скорее всего, надо будет применить "метод ветвей и границ" Добавлено через 1 минуту Это я к тому, чтобы вы знали в какую сторону копать дальше... 0

IGPIGP Комп_Оратор) $Эксперт по математике/физике$ 8949 / 4703 / 629 Регистрация: 04.12.2011 Сообщений: 13,999 Записей в блоге: 16
	22.05.2014, 13:40	5
	Сообщение от Shout Если число романов нечетно, то один печатается в отдельном томе. А тут, возможно, имело бы смысл сразу выделять в отдельный том максимальный элемент вначале, а с оставшимися как с чётным количеством? 0

@Mr.X 3225 / 1752 / 436 Регистрация: 03.05.2010 Сообщений: 3,867
	24.05.2014, 06:09	8
	Сообщение от IGPIGP Я не понимаю всё же, чем простой вариант плох? Он не плох, но требует математического доказательства своей правильности. 2

IGPIGP Комп_Оратор) $Эксперт по математике/физике$ 8949 / 4703 / 629 Регистрация: 04.12.2011 Сообщений: 13,999 Записей в блоге: 16
	24.05.2014, 11:53	9
	Сообщение от Mr.X Он не плох, но требует математического доказательства своей правильности. Понятно. То есть задача про романы, это просто иллюстрация, а главная цель, - перебор и сравнение всех возможных вариантов, сама по себе? Тогда моё выступление не в тему. Однако в формулировке задачи остаётся слово "сравнение". Наверное в зависимости от способа сравнения/сопоставления существуют если не обязательно доказательства, но хотя бы способы сокращения объёма? Ведь перебор всех вариантов, как следует из комбинаторики, это штука затратная? Тем не менее спасибо за ответ. Хороший алгоритм перебора всех вариантов сочетаний, это самостоятельная и серьёзная задача. 0

@0x10 3257 / 2059 / 351 Регистрация: 24.11.2012 Сообщений: 4,909
	24.05.2014, 12:00	10
	Кнут, "Искусство программирования", том 4, выпуск 3 - "Генерация всех сочетаний и разбиений". Сам не разбирался с вопросом, поэтому конкретнее сказать ничего не могу. 1

IGPIGP Комп_Оратор) $Эксперт по математике/физике$ 8949 / 4703 / 629 Регистрация: 04.12.2011 Сообщений: 13,999 Записей в блоге: 16
	24.05.2014, 17:15	12
	Сообщение от Mr.X А сделал начиная с тонких, и скорость работы увеличилась на порядок Я вот, как раз, об этом. Какие стратегии использовать в том или ином случае? С мат. доказательством для этой задачи не должно быть трудностей. Например: Поскольку переход от нечётного количества к чётному тривиален, то докажем для чётного. В каждом множестве есть один или несколько элементов категории максимальный и минимальный. Разумеется первая выборка должна включать пару элементов каждой из этих категорий, поскольку любая другая комбинация даст больший результат. Попытка выбрать для не максимального минимальный элемент и сформировать данную пару из соображений "пусть эта будет ещё меньше", приведёт к тому, что максимальный обречён на пару с элементом более минимального (если тот на данной выборке один) и тогда максимальный 2-х томник увеличится в сравнении с полученным по правилу "каждый раз выбирай максимально противоположные". Я не математик и мои суждения могут быть наивны, но кажутся логичными. Впрочем, я уже понял, что суть данной задачи не ограничена её предметом, а подобное доказательство всегда тесно с ним связано. Это ограничивает общность самого подхода. Пока, тем не менее видно, что границы сравнений/сопоставлений в условии выборки и в условиях конечного результата связанны и анализ этой связи может существенно сократить объём. 0

@0x10 3257 / 2059 / 351 Регистрация: 24.11.2012 Сообщений: 4,909
	25.05.2014, 08:26	13
	Наверное, у меня тут нет права критиковать, поскольку в теме сам не очень понимаю, но все-таки... Почитайте Кнута. У него в принципе другой подход к задаче. Не эвристические сортировки и переборы, а вполне конкретный алгоритм генерации разибения. У него описано несколько алгоритмов. Среди них есть для генерации всех возможных разбиений множества. Он достаточно понятно описан и просто реализуется. А еще есть алгоритм генерации разбиения множества на m блоков - и вот тут какой-то ад. Присутствует только словесное описание (с 168) алгоритма с двумя рекурсивными функциями, которые вызывают еще и друг друга. Вот с ними я не разобрался - либо перевод невнятный, либо у меня мозгов не хватило. Мб кто-нибудь осилит. И без обид, но от приведенного в теме решения лично у меня глаза вытекают. Добавлено через 15 часов 2 минуты Нашел рализацию на джаве. Сам алгоритм занимает 20 строк. https://github.com/coderodde/l... rator.java 1

	26.05.2014, 23:03

Tulosba
	25.05.2014, 12:10 #14
	Не по теме: Сообщение от 0x10 от приведенного в теме решения лично у меня глаза вытекают. по ходу у кого-то таб вместо пробела на клавиатуре :) 0

@Mr.X 3225 / 1752 / 436 Регистрация: 03.05.2010 Сообщений: 3,867
	26.05.2014, 20:26	15
	Сформулировал-таки доказательство: Пусть R – оптимальное разбиение множества S на пары, т.е. пара его элементов (m, M) с максимальной суммой имеет минимально возможное значение этой суммы. Добавим к R еще пару (n, N) элементов таких, что в отсортированном массиве значений элементов они стоят на концах. Докажем, что новое разбиение R1, состоящее из R и пары (n, N), также является оптимальным. а) Пусть n + N >= m + M. Докажем, что не существует разбиения, в котором максимальная сумма пары была бы меньше n + N. Действительно, если такое разбиение существует, то в нем нет пары (n, N), т.е. элемент N там сочетается с неким элементом k. Но элемент n самый левый, следовательно n <= k и n + N <= k + N, т.е. максимальная сумма пары в этом разбиении не меньше n + N. б) Пусть n + N < m + M. Докажем, что не существует разбиения, в котором максимальная сумма пары была бы меньше m + M. Предположим, что такое разбиение существует. 1) Пусть в этом разбиении присутствует пара (n, N). Тогда, удалив ее, мы получим разбиение множества S с максимальной сумой пары меньше, чем m + M, что противоречит условию. 2) Пусть в этом разбиении отсутствует пара (n, N). Тогда элемент n сочетается с неким элементом B из множества S. Но элемент N самый правый, следовательно B <= N. Удалив из разбиения пару (n, B), мы получим разбиение R2 множества S, в котором элемент B заменен на не меньший элемент N, но при этом максимальная сумма пары (m1, M1) меньше, чем m + M. Заменим в разбиении R2 элемент N обратно на B. Мы получим разбиение множества S, в котором сумма каждой пары не больше m1 + M1, т.е. меньше m + M, что противоречит условию. Из вышедоказанного следует, что разбиение множества значений на пары, элементы которых равноотстоят от концов отсортированного массива значений, является оптимальным. 3

8-BITOV 543 / 486 / 104 Регистрация: 05.05.2014 Сообщений: 1,110
	26.05.2014, 23:03	16
	Сообщение от Mr.X Сформулировал-таки доказательство Дотошно не проверял, но верю. Уж больно убедителен стиль изложения. И вообще, во время вскапывания огорода, меня часто посещала мыслишка, что все сложное - просто. 2