Найти точно все корни уравнения указанными методами

@qwen1234 · Регистрация: 29.09.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Найдены точно все корни уравнения указанными методами. Проведено сравнение результатов и методов.

Методы:
1) Метод Ньютона (Касательных)
2) Метод Стеффенсена

Уравнения:
Найти все точки пересечения графиков y(x)=ctg(x) и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left(\frac{y}{5} \right)}^{2} + {\left(\frac{x}{1.5\pi } \right)}^{2}=1$ для положительных x, c точностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{10}^{-6}$

@zss · 10.02.2015, 22:03

Точно найти в принципе невозможно.
Можно найти с некоторой заданной точностью.

@qwen1234 · 11.02.2015, 09:17 **[ТС]**

zss, с точностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{10}^{-6}$
То есть с 0.000001

@zss · 11.02.2015, 09:41

1. Подставьте ctg(x) вместо y во второе уравнение.
2.Приведите уравнение к виду x=f(x) перенеся множитель с ctg в правую часть.
3. Решайте методом итераций.

@qwen1234 · 11.02.2015, 10:44 **[ТС]**

zss, к сожалению вся проблема именно в этом, я не знаю данный метод, искал по форому, видел кодировку, но там немного не то, да и сам я не очень понял(простите, что такой, я все же не программист

и знаний у меня не так много). У меня все же тут 2 метода, как я понимаю все эти два метода нужно написать в одной программе. Вы не сможете мне помочь по кодированию на C++?

@zss · 11.02.2015, 11:28

Посмотрите вот этот материал.
Вложение 488624
Там ближе к концу рассмотрены методы решения уравнения.

@qwen1234 · 11.02.2015, 20:29 **[ТС]**

zss, спасибо, алгоритм я более менее понял, но вопрос остается в коде на C++. Как будет выглядить данный алгоритм в написании С++?

@zss · 11.02.2015, 21:01

Отыскать все корни нелинейного уравнения f(x) = 0 с точностью до 10^-3
Найти все корни уравнения на заданном интервале
Найти все корни уравнения на заданном интервале [a;b] с заданной точностью
Найти корни уравнения

Нахождение корней уравнения

@qwen1234 · 12.02.2015, 11:21 **[ТС]**

zss, помогите,пожалуйста, написать программу

Добавлено через 12 часов 46 минут
Подьем

Добавлено через 28 секунд
Нужна программа на с++

@zss · 12.02.2015, 18:04

Что не устроило в приведенных примерах.
Сделайте хотя бы одним методом и выложите сюда, обсудим, что не получается.
Например, возьмите код из поста
Отыскать все корни нелинейного уравнения f(x) = 0 с точностью до 10^-3
и замените в нем f(x) на Вашу функцию.

@qwen1234 · 15.02.2015, 23:25 **[ТС]**

zss,пожалуйста, проверьте. И да, я подставил другие формулы, ибо если ставить свои, то он ругается. Попробуйте сами, может быть я что-то путаю и не так записываю формулу

C++

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <cmath>
using namespace std;
 
 
double F1(double x)
{
return 1/tan(1.01*x)-x*x;
}
 
double F2(double x)
{
return -1/(sin(1.01*x)*sin(1.01*x))-2*x;
}
 
void MN(double x, double h, double mf(double x), double dmf(double x))
{
int n=0;
double y, a=0.001;
 
while (fabs(mf(x)>h))
{
n++;
x=x-a*mf(x)/dmf(x);
}
cout << "X=" << x << '\t';
cout << "n=" << n << endl;
y=mf(x);
cout << "y=" << y << '\n';
}
 
void MSEC(double x, double h, double mf(double x))
{
int n=0;
double y, a=0.001, k;
k=x;
x=0.06;
y=a*mf(x);
while (fabs(mf(x)>h))
{
n++;
x=x-(x-k)*y/(y-mf(k));
}
cout << "X=" << x << '\t' << "n=" << n << endl;
y=mf(x);
cout << "y=" << y << '\n';
}
 
void Pr_Iter(double x, double h, double mf(double x))
{
int n=0;
double y, a=0.0001;
 
while (fabs(mf(x)>h))
{
n++;
x=x+a*mf(x);
}
cout << "X=" << x << '\t' << "n=" << n << endl;
y=mf(x);
cout << "y=" << y << '\n';
}
 
int main(void)
{
    cout << "Metod Nutona:\n";
    MN(0.05, 0.000001, F1, F2);
    cout << "\n";
    
    MN(3.2, 0.000001, F1, F2);
    cout << "\n";
// MN(6.1, 0.000001, F1, F2);
// printf("\n");
// MN(9.3, 0.000001, F1, F2);
// printf("\n");
 
 
cout << "Metod sekushih:\n";
MSEC(0.05, 0.000001, F1);
cout << "\n";
 
// MSEC(3.1, 0.000001, F1);
// printf("\n");
// MSEC(0.05, 0.000001, F1);
// printf("\n");
// MSEC(0.05, 0.000001, F1);
// printf("\n");
 
 
cout << "Prostye iteratsyy:\n";
Pr_Iter(0.05, 0.000001, F1);
cout << "\n";
 
Pr_Iter(3.2, 0.000001, F1);
cout << "\n";
 
// Pr_Iter(6.15, 0.000001, F1);
// printf("\n");
// Pr_Iter(9.0, 0.000001, F1);
// printf("\n");
return 0;
}

Добавлено через 57 минут
zss, правильно?

Добавлено через 4 часа 19 минут
zss, я написал метод ньютона и другие методы, но метод Стеффенсена я не могу найти нормальный.

C++

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <cmath>
using namespace std;
 
 
double F1(double x)//уравнение
{
return (1/(tan(x)))-5*sqrt(1-pow((x/(1.5*3.14)),2));
}
 
double F2(double x)//производная 
{
return ((-1/pow(sin(x),2))+((23.55*x)/(104.487111*sqrt(1-pow((x/(1.5*3.14)),2)))));
}
 
void MN(double x, double h, double mf(double x), double dmf(double x))
{
int n=0;
double y, a=0.001;
 
while (fabs(mf(x)>h))
{
n++;
x=x-a*mf(x)/dmf(x);
}
cout << "X=" << x << '\t';
cout << "n=" << n << endl;
y=mf(x);
cout << "y=" << y << '\n';
}
 
void MSEC(double x, double h, double mf(double x))
{
int n=0;
double y, a=0.001, k;
k=x;
x=0.06;
y=a*mf(x);
while (fabs(mf(x)>h))
{
n++;
x=x-(x-k)*y/(y-mf(k));
}
cout << "X=" << x << '\t' << "n=" << n << endl;
y=mf(x);
cout << "y=" << y << '\n';
}
 
void Pr_Iter(double x, double h, double mf(double x))
{
int n=0;
double y, a=0.0001;
 
while (fabs(mf(x)>h))
{
n++;
x=x+a*mf(x);
}
cout << "X=" << x << '\t' << "n=" << n << endl;
y=mf(x);
cout << "y=" << y << '\n';
}
 
int main(void)
{
    cout << "Metod Nutona:\n";
    MN(0.05, 0.000001, F1, F2);
    cout << "\n";
    
    MN(3.2, 0.000001, F1, F2);
    cout << "\n";
 
 
 
cout << "Metod sekushih:\n";
MSEC(0.05, 0.000001, F1);
cout << "\n";
 
 
 
 
cout << "Prostye iteratsyy:\n";
Pr_Iter(0.05, 0.000001, F1);
cout << "\n";
 
Pr_Iter(3.2, 0.000001, F1);
cout << "\n";
 
 
return 0;
}

Добавлено через 34 секунды
zss, к тому же я подставил те самые нужные уравнения

@zss · 16.02.2015, 07:28

метод Стеффенсена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{f({x}_{n}+f({x}_{n}))-f({x}_{n})}f({x}_{n})$

@qwen1234 · 06.03.2015, 00:19 **[ТС]**

zss, Здравствуйте, не поверите, но я до сих пор не могу разобраться с методом стеффенсена, точнее правильно ли он работает, формулу, вроде, указал, как вы написали. Радует, что корни при втором значении подборки значений выходят положительными! Можете пожалуйста проверить правильность написания программы?

C++

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <cmath>
using namespace std;
 
 
double F1(double x)
{
return (sin(x));
}
 
 
 
void MS(double x, double h, double mf(double x))
{
int n=0,d;
double y, a=0.001;
 
while (fabs(mf(x))>h && n<20)
{
n++;
d=(x+mf(x));
x=x-(mf(x)*mf(x)/mf(d)-mf(x));
}
cout << "X=" << x << '\t';
cout << "n=" << n << endl;
y=mf(x);
cout << "y=" << y << '\n';
}
 
 
int main(void)
{
cout << "Metod Stefensena:\n";
    MS(0.05, 0.000001, F1);
    cout << "\n";
    
    MS(3.2, 0.000001, F1);
    cout << "\n";
 
return 0;
}

@zss · 06.03.2015, 07:35

Сообщение от qwen1234

x=x-(mf(x)*mf(x)/mf(d)-mf(x));

Со скобками напутали.

C++

1
2
3

double t=mf(x);
d=mf(x+t);
x-=t*t /(d-t);

@qwen1234 · 06.03.2015, 12:19 **[ТС]**

zss, спасибо, но у меня возник другой вопрос, а как можно проверить работает ли данный способ верно?
Какое условие задать для проверки? И как ее лучше реализовать?

@zss · 06.03.2015, 12:25

Сообщение от qwen1234

fabs(mf(x))>h

Означает что значение функции в этой точке достаточно близко к нулю.
Это называется "Невязка".
Еще можете вычислять "Погрешность" запоминая на каждом шаге старое значение x

C++

do
{
   xold=x;
... 
  x=...
}while (fabs(mf(x))>h && n<20 &&  fabs(x-old)>h);

@qwen1234 · 06.03.2015, 12:58 **[ТС]**

zss, у вас там опечатка, вроде.
(fabs(mf(x))>h && n<20 && fabs(x-old)>h);

C++

1	(fabs(mf(x))>h && n<20 && fabs(x-xold)>h);

@zss · 06.03.2015, 13:13

qwen1234,
А где опечатка?

@qwen1234 · 06.03.2015, 13:21 **[ТС]**

zss, fabs(x-old)>h вот тут разве не должно быть fabs(x-xold)>h

x-xold должно же быть, а не x-old
Или я ошмбаюсь?

@zss · 06.03.2015, 13:55

Аааа, теперь разглядел!

@qwen1234 0 / 0 / 1 Регистрация: 29.09.2014 Сообщений: 97
		1
	Найти точно все корни уравнения указанными методами 10.02.2015, 21:52. Показов 2962. Ответов 20 Метки нет (Все метки) Найдены точно все корни уравнения указанными методами. Проведено сравнение результатов и методов. Методы: 1) Метод Ньютона (Касательных) 2) Метод Стеффенсена Уравнения: Найти все точки пересечения графиков y(x)=ctg(x) и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left(\frac{y}{5} \right)}^{2} + {\left(\frac{x}{1.5\pi } \right)}^{2}=1$ для положительных x, c точностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{10}^{-6}$ 0

@zss Модератор 13507 / 10757 / 6412 Регистрация: 18.12.2011 Сообщений: 28,712
	10.02.2015, 22:03	2
	Точно найти в принципе невозможно. Можно найти с некоторой заданной точностью. 0

@qwen1234 0 / 0 / 1 Регистрация: 29.09.2014 Сообщений: 97
	11.02.2015, 09:17 [ТС]	3
	zss, с точностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{10}^{-6}$ То есть с 0.000001 0

@zss Модератор 13507 / 10757 / 6412 Регистрация: 18.12.2011 Сообщений: 28,712
	11.02.2015, 09:41	4
	1. Подставьте ctg(x) вместо y во второе уравнение. 2.Приведите уравнение к виду x=f(x) перенеся множитель с ctg в правую часть. 3. Решайте методом итераций. 0

@qwen1234 0 / 0 / 1 Регистрация: 29.09.2014 Сообщений: 97
	11.02.2015, 10:44 [ТС]	5
	zss, к сожалению вся проблема именно в этом, я не знаю данный метод, искал по форому, видел кодировку, но там немного не то, да и сам я не очень понял(простите, что такой, я все же не программист и знаний у меня не так много). У меня все же тут 2 метода, как я понимаю все эти два метода нужно написать в одной программе. Вы не сможете мне помочь по кодированию на C++? 0

@zss Модератор 13507 / 10757 / 6412 Регистрация: 18.12.2011 Сообщений: 28,712
	11.02.2015, 11:28	6
	Посмотрите вот этот материал. Вложение 488624 Там ближе к концу рассмотрены методы решения уравнения. 0

@qwen1234 0 / 0 / 1 Регистрация: 29.09.2014 Сообщений: 97
	11.02.2015, 20:29 [ТС]	7
	zss, спасибо, алгоритм я более менее понял, но вопрос остается в коде на C++. Как будет выглядить данный алгоритм в написании С++? 0

@zss Модератор 13507 / 10757 / 6412 Регистрация: 18.12.2011 Сообщений: 28,712
	11.02.2015, 21:01	8
	Отыскать все корни нелинейного уравнения f(x) = 0 с точностью до 10^-3 Найти все корни уравнения на заданном интервале Найти все корни уравнения на заданном интервале [a;b] с заданной точностью Найти корни уравнения Нахождение корней уравнения 0

@qwen1234 0 / 0 / 1 Регистрация: 29.09.2014 Сообщений: 97
	12.02.2015, 11:21 [ТС]	9
	zss, помогите,пожалуйста, написать программу Добавлено через 12 часов 46 минут Подьем Добавлено через 28 секунд Нужна программа на с++ 0

@zss Модератор 13507 / 10757 / 6412 Регистрация: 18.12.2011 Сообщений: 28,712
	12.02.2015, 18:04	10
	Что не устроило в приведенных примерах. Сделайте хотя бы одним методом и выложите сюда, обсудим, что не получается. Например, возьмите код из поста Отыскать все корни нелинейного уравнения f(x) = 0 с точностью до 10^-3 и замените в нем f(x) на Вашу функцию. 0

@zss Модератор 13507 / 10757 / 6412 Регистрация: 18.12.2011 Сообщений: 28,712
	16.02.2015, 07:28	12
	метод Стеффенсена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{f({x}_{n}+f({x}_{n}))-f({x}_{n})}f({x}_{n})$ 1

@qwen1234 0 / 0 / 1 Регистрация: 29.09.2014 Сообщений: 97
	06.03.2015, 12:19 [ТС]	15
	zss, спасибо, но у меня возник другой вопрос, а как можно проверить работает ли данный способ верно? Какое условие задать для проверки? И как ее лучше реализовать? 0

@zss Модератор 13507 / 10757 / 6412 Регистрация: 18.12.2011 Сообщений: 28,712
	06.03.2015, 13:13	18
	qwen1234, А где опечатка? 0

@qwen1234 0 / 0 / 1 Регистрация: 29.09.2014 Сообщений: 97
	06.03.2015, 13:21 [ТС]	19
	zss, fabs(x-old)>h вот тут разве не должно быть fabs(x-xold)>h x-xold должно же быть, а не x-old Или я ошмбаюсь? 0

@zss Модератор 13507 / 10757 / 6412 Регистрация: 18.12.2011 Сообщений: 28,712
	06.03.2015, 13:55	20
	Аааа, теперь разглядел! 0