Форум программистов, компьютерный форум CyberForum.ru

Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов - C++

Восстановить пароль Регистрация
 
Рейтинг: Рейтинг темы: голосов - 88, средняя оценка - 4.70
Omnio
0 / 0 / 0
Регистрация: 19.07.2009
Сообщений: 41
10.09.2011, 18:03     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов #1
Линейная независимость векторов - задача по определению линейной зависимости / независимости заданного набора векторов стара, но мне приходится изучать её с самых азов. В связи с этим возникают как страшно банальные и возможно совершенно глупые вопросы, так и вопросы - какое из решений данной задачи является наиболее универсальным с точки зрения как метода, так и программирования ?

ЗАДАЧА: Конкретно в моём случае заключается в нахождении максимального числа линейно независимых векторов заданной длинны из данного набора векторов.

1) Первое что попалось на глаза было следующее решение:
Составить из данных векторов матрицу, и провести проверку на то обращается ли в нуль определитель (детерминант) данной матрицы.
Если определитель равен нулю, то векторы считаются линейно зависимыми.
Если определитель данной матрицы не равен нулю, соответственно векторы линейно независимы.
Алгоритмически задача нахождения определителя квадратной матрицы N*N не так сложна, много где описана, хоть и содержит в себе рекурсию, но разобраться в этом можно.

НО данный метод применим лишь для КВАДРАТНОЙ матрицы N*N.

2) Второй более универсальный метод нашёлся следующий:
Составить из данных векторов матрицу, вычислить ранг данной матрицы.
Если ранг меньше количества векторов значит векторы - линейно зависимы.
Алгоритм вполне рабочий, много где встречающийся, основанный на элементарных преобразованиях, и приведении матрицы к треугольному виду.

НО, и тут интересует случай с неквадратной матрицей, т.е. в случае, когда число векторов меньше длины этих векторов, т.е. 3 вектора длины 1х4.
Для первого случая а1=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 3\\  5\\  4\\  6 \end{pmatrix}, а2=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1\\  2\\  4\\  3 \end{pmatrix}, а3=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 4\\  6\\  3\\  2 \end{pmatrix} и тогда матрица (4х3): А=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4\\  5 & 2 & 6\\  4 & 4 & 3\\  6 & 3 & 2 \end{pmatrix}

Либо наоборот, когда число векторов больше, чем длинна векторов, 5 векторов длины 1х4.
Для данного случая а1=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 3\\  5\\  4\\  6 \end{pmatrix}, а2=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1\\  2\\  4\\  3 \end{pmatrix}, а3=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 4\\  6\\  3\\  2 \end{pmatrix}, а4=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 2\\  1\\  5\\  2 \end{pmatrix}, а5=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 5\\  3\\  2\\  4 \end{pmatrix} и тогда матрица (4х5): A=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 & 2 & 5\\  5 & 2 & 6 & 1 & 3\\  4 & 4 & 3 & 5 & 2\\  6 & 3 & 2 & 2 & 4  \end{pmatrix}

Подскажите какой же алгоритм является универсальным для моей задачи. И на сколько применим второй метод для случаев произвольного кол-ва и произвольной длины векторов.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
10.09.2011, 18:03     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов
Посмотрите здесь:

сложение и вычитание векторов, скалярное произведение векторов, умножение на скаляр, сравнение векторов, вычисление длины вектора C++
C++ Независимость процессов и Закрытие окна с сообщением
C++ Составить линейную программу
Для данных областей составить линейную программу, которая печатает true C++
C++ Создать класс для обработки векторов разность векторов норму векторов
После регистрации реклама в сообщениях будет скрыта и будут доступны все возможности форума.
grizlik78
Эксперт C++
 Аватар для grizlik78
1882 / 1414 / 101
Регистрация: 29.05.2011
Сообщений: 2,958
10.09.2011, 18:48     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов #2
По-моему метод с рангом вполне применим к любым матрицам. Квадратность матрицы здесь роли не играет.

Добавлено через 39 секунд
Только здесь, видимо, правильнее говорить о приведении не к треугольному виду, а к ступенчатой форме матрицы.
Thinker
Эксперт C++
 Аватар для Thinker
4215 / 2189 / 150
Регистрация: 26.08.2011
Сообщений: 3,802
Записей в блоге: 5
10.09.2011, 19:36     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов #3
Проще привести к ступенчатому виду и проверить есть ли хотя бы одна нулевая строка. Если да, то ЛЗ, иначе ЛНЗ. Теорема Кронекера-Капелли (вернее, следствие теоремы)

Добавлено через 11 минут
Цитата Сообщение от Omnio Посмотреть сообщение
НО, и тут интересует случай с неквадратной матрицей
Абсолютно не важно какая матрица
Omnio
0 / 0 / 0
Регистрация: 19.07.2009
Сообщений: 41
11.09.2011, 20:28  [ТС]     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов #4
Цитата Сообщение от Thinker Посмотреть сообщение
Проще привести к ступенчатому виду и проверить есть ли хотя бы одна нулевая строка. Если да, то ЛЗ, иначе ЛНЗ. Теорема Кронекера-Капелли (вернее, следствие теоремы)

Добавлено через 11 минут


Абсолютно не важно какая матрица
Последовал вашему совету. Уже отдельное за него Спасибо.
Итак написал код. Хотелось бы уточнить верно ли я вас понял, ну и соответсвенно если не сложно чуток покритиковать сам код на работоспособность, и верность реализации вашей мысли. Буду рад дальнейшим комментариям касательно моей задачи, если возможно ещё что сказать есть.

Реализовал на С++ используя класс вектор.

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
#include <cctype>
 
#include <iostream>
#include <vector>
#include <iterator>
#include <iomanip>
 
#include <conio.h>
 
using namespace std;
 
float rndup(float n)//round up a float type and show one decimal place
{
      float t;
      t=n-floor(n);
      if (t>=0.5)    
      {
              n*=10;//where n is the multi-decimal float
              ceil(n);
              n/=10;
              }
      else 
      {
              n*=10;//where n is the multi-decimal float
              floor(n);
              n/=10;
              }
      return n;
}     
 
void main(void)
{
 
    int row = 4;
    int col = 5;
    int i, j, k = 0;
vector <vector <double>> vmatrix(row);
    vector <vector <double>> cmatrix(row);
 
// Создаём исходную матрицу нужного размера и заполняем нулями
for(i=0; i<row; ++i)
{
        vmatrix[i].resize(col);
        cmatrix[i].resize(col);
 
        for(j=0; j<col; ++j)
        {
vmatrix[i][j] = 0;
        cmatrix[i][j] = 0;
}
}
        
/* 3x3
vmatrix[0][0]= 3 ;vmatrix[0][1]= 2 ;vmatrix[0][2]= 1 ;
vmatrix[1][0]= 2 ;vmatrix[1][1]= 1 ;vmatrix[1][2]= 3 ;
vmatrix[2][0]= 1 ;vmatrix[2][1]= 3 ;vmatrix[2][2]= 2 ;
//*/
 
/* 5x3
vmatrix[0][0]= 3 ;vmatrix[0][1]= 2 ;vmatrix[0][2]= 1 ;
vmatrix[1][0]= 2 ;vmatrix[1][1]= 1 ;vmatrix[1][2]= 3 ;
vmatrix[2][0]= 1 ;vmatrix[2][1]= 3 ;vmatrix[2][2]= 2 ;
vmatrix[3][0]= 4 ;vmatrix[3][1]= 1 ;vmatrix[3][2]= 3 ;
vmatrix[4][0]= 2 ;vmatrix[4][1]= 3 ;vmatrix[4][2]= 4 ;
//*/
 
//* 4x5 Задаём топорным методом
vmatrix[0][0]= 3 ;vmatrix[0][1]= 5 ;vmatrix[0][2]= 7 ;vmatrix[0][3]= 6 ;vmatrix[0][4]= 2 ;
vmatrix[1][0]= 1 ;vmatrix[1][1]= 2 ;vmatrix[1][2]= 3 ;vmatrix[1][3]= 4 ;vmatrix[1][4]= 1 ;
vmatrix[2][0]= 1 ;vmatrix[2][1]= 3 ;vmatrix[2][2]= 5 ;vmatrix[2][3]= 34 ;vmatrix[2][4]= 12 ;
vmatrix[3][0]= 4 ;vmatrix[3][1]= 1 ;vmatrix[3][2]= 3 ;vmatrix[3][3]= 3 ;vmatrix[3][4]= 11 ;
//*/
 
cmatrix = vmatrix; // Копируем значения из той что оставим не тронутой – vmatrix
// в ту, с котрой будем далее работать и производить
// преобразования и подсчёты - cmatrix
 
 
// Печать числа столбцов и числа строк в матрице
cout <<"col = "<< col <<" | row = "<< row <<"\n\n";
 
//*
cout <<"Matrix V:";
    cout <<"\n";
    for(i=0;i<row;i++)
    {
        for(j=0;j<col;j++)
        {
            cout << vmatrix[i][j] << "  ";
        }
    cout <<"\n";
    }
cout <<"\n";
//*/
 
system("pause");
 
 
// Нахождение РАНГА Матрицы и приведение к ступенчатому виду.
 
//*
// Приведение к ступенчатому виду путём элементарных преобразований
int count = 0;
int til = 0;
bool key = true;
double i2j = 0;
double mulxmj = 0;
//double mj = 0;
 
if(row <= col)
til = row;
else
til = col;
for (unsigned m = 0; m < til; ++m)
{
    if (cmatrix[m][m] == 0.0)
    {
        key = false;
        for (unsigned i1 = m+1; i1<row; ++i1)
        {
            if (cmatrix[i1][m] != 0.0)
            {
                key = true;
                swap(cmatrix[m], cmatrix[i1]);
                break;
            }
        }
    }
    if (!key)
    break; 
    
    for (unsigned i2 = m+1; i2<row; ++i2)
    {
        double multi = cmatrix[i2][m] / cmatrix[m][m];
        for (unsigned j = 0; j<col; ++j)
        {
            i2j = cmatrix[i2][j];
            i2j = rndup(i2j);
//          mj = cmatrix[m][j];
            mulxmj = (multi * cmatrix[m][j]);
            mulxmj = rndup(mulxmj);
            cmatrix[i2][j] = i2j - mulxmj;
        }
    }
}
 
//* ПОДСЧЁТ РАНГА
 
int rang = 0;
key = true;
 
for (unsigned i=0; i<row; ++i)
{
    key = false;
    for (unsigned j=0; j<col; ++j)
        if (cmatrix[i][j] != 0.0)
            key = true;
        if (!key)
            count++;
}
//*/
 
rang = row - count;
 
cout <<"rang = "<< rang << "\n";
cout <<"\n";
 
//*
cout <<"Matrix C:";
    cout <<"\n";
    for(i=0;i<row;i++)
    {
        for(j=0;j<col;j++)
        {
            cout << cmatrix[i][j] << "  ";
        }
    cout <<"\n";
    }
cout <<"\n";
//*/
 
 
system("pause");
 
}
grizlik78
Эксперт C++
 Аватар для grizlik78
1882 / 1414 / 101
Регистрация: 29.05.2011
Сообщений: 2,958
12.09.2011, 21:46     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов #5
Сначала немного по синтаксису.
Цитата Сообщение от Omnio Посмотреть сообщение
C++
1
void main(void)
Функция main должна возвращать int
C++
1
int main()
Цитата Сообщение от Omnio Посмотреть сообщение
C++
1
2
vector <vector <double>> vmatrix(row);
        vector <vector <double>> cmatrix(row);
Здесь нужен пробел между > и >
C++
1
2
vector <vector <double> > vmatrix(row);
vector <vector <double> > cmatrix(row);
Что касается реализации.
Если я правильно понял, break в строке 134 прекращает преобразование матрицы к ступенчатому виду, если в очередном столбце все оставшиеся элементы нулевые. На самом деле, если задача состоит в нахождении ранга, то надо перейти к следующему столбцу и продолжить преобразование (с той же строки).

Далее, в коде несколько раз встречаются сравнения с 0.0. Из-за погрешности представления чисел и вычислительных ошибок эта проверка может давать результат отличный от ожидаемого. Тут надо решить, считать ли зависимыми два вектора у которых лишь один элемент отличается на какую-то миллионную или миллиардную долю. Скорее всего да, и тогда сравнения надо производить с учётом "эпсилон".

Ну и хотя обращения матрицы не требуется, я бы всё-равно подумал бы об использовании выбора ведущего коэффициента, как при решении СЛАУ.
Thinker
Эксперт C++
 Аватар для Thinker
4215 / 2189 / 150
Регистрация: 26.08.2011
Сообщений: 3,802
Записей в блоге: 5
12.09.2011, 22:07     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов #6
Цитата Сообщение от Thinker Посмотреть сообщение
Проще привести к ступенчатому виду и проверить есть ли хотя бы одна нулевая строка. Если да, то ЛЗ, иначе ЛНЗ. Теорема Кронекера-Капелли (вернее, следствие теоремы)
Все же уточню, мало ли что. Пусть A(m,n) - матрица размера m на n. Приводим к ступенчатому виду. Тогда ЛЗ тогда и только тогда, когда количество ступенек после приведения к ступенчатому виду < min(m,n)
Но, думаю, это было понятно.
grizlik78
Эксперт C++
 Аватар для grizlik78
1882 / 1414 / 101
Регистрация: 29.05.2011
Сообщений: 2,958
12.09.2011, 22:11     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов #7
Thinker, изначально задача ставилась в нахождении максимального количество лин. независимых векторов из набора. Понятно, что их не может быть больше, чем размер вектора, но может быть меньше. Эта задача сводится к определению ранга матрицы из этих векторов.
Thinker
Эксперт C++
 Аватар для Thinker
4215 / 2189 / 150
Регистрация: 26.08.2011
Сообщений: 3,802
Записей в блоге: 5
12.09.2011, 22:14     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов #8
Цитата Сообщение от grizlik78 Посмотреть сообщение
Thinker, изначально задача ставилась в нахождении максимального количество лин. независимых векторов из набора. Понятно, что их не может быть больше, чем размер вектора, но может быть меньше. Эта задача сводится к определению ранга матрицы из этих векторов.
Ранг матрицы (неформально) - количество ступенек после приведения к ступенчатому виду, это очевидно
sandye51
12.09.2011, 22:16
  #9

Не по теме:

Цитата Сообщение от grizlik78 Посмотреть сообщение
Здесь нужен пробел между > и >
в новом стандарте не нужен
может автор на 2010 студии пишет

grizlik78
Эксперт C++
 Аватар для grizlik78
1882 / 1414 / 101
Регистрация: 29.05.2011
Сообщений: 2,958
12.09.2011, 22:16     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов #10
Цитата Сообщение от Thinker Посмотреть сообщение
Ранг матрицы (неформально) - количество ступенек после элементарных преобразований, это очевидно
Сообщение, на которое я отвечал, выглядело по-другому
Thinker
Эксперт C++
 Аватар для Thinker
4215 / 2189 / 150
Регистрация: 26.08.2011
Сообщений: 3,802
Записей в блоге: 5
12.09.2011, 22:18     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов #11
Цитата Сообщение от grizlik78 Посмотреть сообщение
Сообщение, на которое я отвечал, выглядело по-другому
Все течет, все меняется
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
12.09.2011, 22:20     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов
Еще ссылки по теме:

C++ Составить линейную программу
C++ Найти пару векторов из заданного набора имеющую минимальное скалярное произведение

Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
grizlik78
12.09.2011, 22:20     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов
  #12

Не по теме:

Цитата Сообщение от sandye51 Посмотреть сообщение
в новом стандарте не нужен
Не нужен в русском языке несколько неоднозначно звучит. Либо можно не ставить, либо нельзя ставить. Но новый стандарт ещё не опубликован, а компиляторов не поддерживающих его пока больше, чем поддерживающих. Даже в GCC приходится дополнительную опцию указывать.
Цитата Сообщение от sandye51 Посмотреть сообщение
может автор на 2010 студии пишет
Может. А я, может, не в ней проверяю

Yandex
Объявления
12.09.2011, 22:20     Проверка на линейную зависимость / независимость набора векторов
Ответ Создать тему
Опции темы

Текущее время: 17:53. Часовой пояс GMT +3.
КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2016, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru