Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
С++ для начинающих
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
 
Рейтинг 4.56/18: Рейтинг темы: голосов - 18, средняя оценка - 4.56
alex_bojik
Заблокирован
1

Определение максимальной площади

02.11.2011, 11:00. Просмотров 3321. Ответов 21
Метки нет (Все метки)

Доброго все времени суток!
Есть 2 луча исходящие из одной точки, угол между ними 90. Есть также 2 отрезка a и b. Необходимо найти такое расположение этих отрезков, чтобы получился четырехугольник максимальной площади... причем положения находить необязательно достаточно вычислить площадь...
Задача взята отсюда
Если кто знает какие-нибудь теоремы на эту тему подскажите пожалста.

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <iomanip>
 
using namespace std;
 
int main()
{
    int a,b;
    double max = 0,max1 = 0,PI = 3.141592653589793238462643383;
    cin>>a>>b;
    for(int i=0;i<=180;i++)
        for(int j=0;j<=180;j++)
        {
            double x=a*sin(i*PI/360);
            double y=b*sin(j*PI/360);
            double s= (2*x*y+sqrt(a*a-x*x)*x+sqrt(b*b-y*y)*y)/2;
            if (max<s)
                max=s;
        }
    cout<<setprecision(7)<<fixed<<max;
    return 0;
}
Это примерное решение... но так как перебором не совсем точно
Есть идея по поводу производной от функции площади... но там две переменные и с этим небольшие проблемы.
0
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
02.11.2011, 11:00
Ответы с готовыми решениями:

Найдите треугольник максимальной площади
N треугольников плоскости заданы длинами своих сторон. Найдите треугольник...

Среди заданных треугольников найти треугольник максимальной площади
N треугольников плоскости заданы длинами своих сторон. Найдите треугольник...

Определить треугольники минимальной и максимальной площади, которые можно построить из отрезков
13. Известны длины отрезков a, b, c и d. Определить треугольники минимальной и...

Определить треугольники минимальной и максимальной площади, которые можно построить из отрезков
Известны длины отрезков a. b. с и d. определить треугольники минимальной и...

Определение максимальной и минимальной цифры натурального числа
Дано натуральное число: 1)Определить его максимальную и минимальную цифры...

21
talis
793 / 545 / 61
Регистрация: 11.05.2010
Сообщений: 1,298
Записей в блоге: 1
02.11.2011, 15:52 2
Думаю так, но могу ошибаться:

Определение максимальной площади


Почему-то мне кажется, что я ошибаюсь. Не может же оно быть так просто
1
alex_bojik
Заблокирован
02.11.2011, 16:08  [ТС] 3
Название: 123.png
Просмотров: 159

Размер: 1.7 Кб вот так примерно
0
Paporotnik
383 / 227 / 12
Регистрация: 06.07.2011
Сообщений: 512
02.11.2011, 17:06 4
площадь многоугольника максимальна, если его возможно вписать в окружность.
в случае четырехугольника, описать вокруг него окружность можно, если выполняется условие "произведение диагоналей = сумме произведений противоположных сторон".

пища для размышлений дана)
2
alex_bojik
Заблокирован
02.11.2011, 17:18  [ТС] 5
спасибо буду думать))))
0
Апострофф
Заблокирован
02.11.2011, 17:30 6
А мне что-то подсказывает, что решение где-то тут
1
Изображения
 
Paporotnik
383 / 227 / 12
Регистрация: 06.07.2011
Сообщений: 512
02.11.2011, 17:31 7
забыл указать, что это справедливо для выпуклого многоугольника. хотя сомневаюсь, что не выпуклый сможет оказаться больше по площади...
0
Апострофф
Заблокирован
02.11.2011, 17:42 8
Цитата Сообщение от Paporotnik Посмотреть сообщение
площадь многоугольника максимальна, если его возможно вписать в окружность
Это справедливо для случая, когда известны длины всех сторон, а не половины
0
alex_bojik
Заблокирован
02.11.2011, 17:45  [ТС] 9
Цитата Сообщение от Апострофф Посмотреть сообщение
А мне что-то подсказывает, что решение где-то тут
кстати я тоже так думал... но когда формулу выводил не получилось, хотя надо еще раз попробовать....

Добавлено через 1 минуту
Цитата Сообщение от Paporotnik Посмотреть сообщение
площадь многоугольника максимальна, если его возможно вписать в окружность
да кстати... в случае a = b получается что квадрат можно вписать в окружность... но его площадь не максимальна
0
talis
793 / 545 / 61
Регистрация: 11.05.2010
Сообщений: 1,298
Записей в блоге: 1
02.11.2011, 17:52 10
Аж самому интересно стало. Развивая высказанную мысль:

Определение максимальной площади


Хотя, опять могу не туда смотреть
0
Paporotnik
383 / 227 / 12
Регистрация: 06.07.2011
Сообщений: 512
02.11.2011, 18:43 11
Это справедливо для случая, когда известны длины всех сторон, а не половины
это справедливо для любого выпуклого многоугольника. и не важно, что мы о нем знаем.

да кстати... в случае a = b получается что квадрат можно вписать в окружность... но его площадь не максимальна
в случае a=b получается, что a=b и только) это не дает никакой информации о двух других сторонах. это может быть и просто прямоугольный треугольник, и квадрат, и композиция прямоугольного треугольника и равнобедренного треугольника с основанием на диагонали.
0
Paporotnik
383 / 227 / 12
Регистрация: 06.07.2011
Сообщений: 512
02.11.2011, 18:52 12
Лучший ответ Сообщение было отмечено как решение

Решение

в общем поразмышлял.
если многоугольник можно вписать в окружность, то он имеет максимальную площадь.
представим, что этот многоугольник у нас 8-угольный. причем обладает горизонтальной и вертикальной симметрией, т.е. состоит из 4-х одинаковых 4-х угольников.
совершенно очевидно, что если весь многоугольник имеет максимальную площадь, то и каждый из этих 4-х угольников будет иметь максимальную площадь.
таким образом, имеем 4-х угольник (к примеру, возьмем тот, что оказывается в 1-ой четверти описанной окружности), одна вершина которого находится в центре описанной окружности, две других смежных вершины - соответственно справа и сверху от нее на расстоянии R, а четвертая - где-то на дуге, отсеченной образованным прямым углом.
получается, что искомая площадь получится как сумма двух равнобедренных треугольников, причем "бедра" обоих равны радиусу, а основание известно из условия.
доводить до формулы лень. возможно понадобится тот факт, что радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

картинка, для понимания)
5
Миниатюры
Определение максимальной площади  
Cute
1064 / 646 / 66
Регистрация: 10.02.2011
Сообщений: 518
02.11.2011, 21:11 13
Данную задачу можно решить, используя метод оценок.
2
Миниатюры
Определение максимальной площади   Определение максимальной площади  
Paporotnik
383 / 227 / 12
Регистрация: 06.07.2011
Сообщений: 512
02.11.2011, 22:09 14
а по-моему твоя формула показывает площадь композиции равнобедренного и прямоугольного треугольника. и это не связано с максимальной площадью получаемой фигуры.

с чего ты взял, что максимальная площадь будет стремиться к сумме равнобедренного ABC и прямоугольного BCD?
тебе не кажется, что достаточно точку B перенести выше (зеркально отразить относительно горизонтали через D) и площадь фигуры увеличится значительно, а твоя формула будет по-прежнему указывать на площадь старой фигуры?

p.s. в вычислениях по-прежнему много ошибок)
0
Cute
1064 / 646 / 66
Регистрация: 10.02.2011
Сообщений: 518
02.11.2011, 22:50 15
Ошибки я заметил и исправил (сегодня я очень рассеянный). Ниже выложу исправленный вариант.

Моё решение основано на следующих фактах.

1) Площадь четырёхугольника ABCD равна сумме площадей его частей - треугольников BDA и BDC (свойство аддитивности площади). Если каждое из слагаемых будет максимально возможным, то и суммарная площадь будет максимальной.

2) Предположим, что четырёхугольник ABCD максимальной площади уже построен, тогда прямоугольный треугольник BDA должен являться равнобедренным, так как из всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный.

Далее из всех треугольников со сторонами a, b и углом между ними gamma наибольшую площадь будет иметь прямоугольный треугольник с катетами a, b и углом gamma=90 градусов.

Если в моих рассуждениях есть ошибки, то укажите их.
1
Миниатюры
Определение максимальной площади   Определение максимальной площади  
Paporotnik
383 / 227 / 12
Регистрация: 06.07.2011
Сообщений: 512
02.11.2011, 23:10 16
Предположим, что четырёхугольник ABCD максимальной площади уже построен, тогда прямоугольный треугольник BDA должен являться равнобедренным, так как из всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный.
совершенно верно, но с чего ты взял, что в построенном ABCD второй прямоугольник окажется именно прямоугольным?

итак, BAD равнобедренный прямоугольный, без сомнения. его площадь можно выразить через гипотенузу, что ты и сделал в своих рассчетах, S=d^2/4.
треугольник BCD ты считаешь прямоугольным, а значит S=a*b/2. Замечу, что эта формула ТОЛЬКО для прямоугольных.
выражая d через a и b и записывая сумму площадей получаем: (a^2+b^2)/4+a*b/2=(a+b)^2/4.
Получаем твою формулу. т.е. она справедлива ТОЛЬКО для композиции двух прямоугольных треугольников, один из которых равнобедренный.

а теперь делаем простой фокус, не нарушая условие. и получаем гораздо большую площадь. она не максимальная, но уже больше той, что получается по твоей формуле.
2
Миниатюры
Определение максимальной площади  
alex_bojik
Заблокирован
02.11.2011, 23:16  [ТС] 17
Лучший ответ Сообщение было отмечено как решение

Решение

ну что я могу сказать))) задача решена всем кто помогал огромное спасибо и конечно же +
talis - спасибо за попытки помочь!
Апострофф - спасибо, что помогли еще раз взглянуть с этой позиции, и найти правильный ответ
Cute - спасибо за ваши старания, очень все понятно и доступно!
Paporotnik - спасибо за доказательство насчет 8-угольника, и вообще за помощь!

Решение математически:
Определение максимальной площади


http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot b
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{\Delta ABD}=\frac{1}{2}\cdot {r}^{2}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\cdot {r}^{2}={c}^{2}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{\Delta ABD}=\frac{1}{4}\cdot {c}^{2}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{c}^{2}={a}^{2} + {b}^{2} - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{ABCD}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot b

Решение C++
C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <iomanip>
 
using namespace std;
 
int main()
{
    double a,b;
    double max = 0;
    cin>>a>>b;
    max = (a*a+b*b)/4+sqrt(2)*a*b/2;
    cout<<setprecision(7)<<fixed<<max;
    return 0;
}
4
alex_bojik
Заблокирован
02.11.2011, 23:22  [ТС] 18
ах да, а как отметить что проблема решена?
не в смысле отпраздновать, а замочек повесить... или как тут вообще делается
0
Cute
1064 / 646 / 66
Регистрация: 10.02.2011
Сообщений: 518
03.11.2011, 00:01 19
Цитата Сообщение от alex_bojik Посмотреть сообщение
ах да, а как отметить что проблема решена?
не в смысле отпраздновать, а замочек повесить... или как тут вообще делается
Рано-рано ещё закрывать тему, alex_bojik.

При расчёте площади треугольника BCD вы считаете, что sin(gamma)=sqrt(2).
Но sqrt(2)>1. А синус любого угла не может быть больше единицы.
0
alex_bojik
Заблокирован
03.11.2011, 00:13  [ТС] 20
там sqrt(2)/2 просто упрощение долго в LaTex набирать
0
03.11.2011, 00:13
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
03.11.2011, 00:13

Определение площади и длины радиуса круга
Помогитееее, срочно =) В первый ряд файла output.txt вывести площадь круга...

Перегрузка функций: определение площади прямоугольника и квадрата
Написать функцию для определения площади прямоугольника и квадрата с помощью...

Определение максимальной и минимальной суммы двух соседних элементов массива
дан массив целых чисел написать программу для определения максимальной и...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
20
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru