Определение максимальной площади

@~~alex_bojik~~ · 02.11.2011, 11:00. **Показов** 8145. **Ответов** 21

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго все времени суток!
Есть 2 луча исходящие из одной точки, угол между ними 90. Есть также 2 отрезка a и b. Необходимо найти такое расположение этих отрезков, чтобы получился четырехугольник максимальной площади... причем положения находить необязательно достаточно вычислить площадь...
Задача взята отсюда
Если кто знает какие-нибудь теоремы на эту тему подскажите пожалста.

C++

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <iomanip>
 
using namespace std;
 
int main()
{
    int a,b;
    double max = 0,max1 = 0,PI = 3.141592653589793238462643383;
    cin>>a>>b;
    for(int i=0;i<=180;i++)
        for(int j=0;j<=180;j++)
        {
            double x=a*sin(i*PI/360);
            double y=b*sin(j*PI/360);
            double s= (2*x*y+sqrt(a*a-x*x)*x+sqrt(b*b-y*y)*y)/2;
            if (max<s)
                max=s;
        }
    cout<<setprecision(7)<<fixed<<max;
    return 0;
}

Это примерное решение... но так как перебором не совсем точно
Есть идея по поводу производной от функции площади... но там две переменные и с этим небольшие проблемы.

@talis · 02.11.2011, 15:52

Думаю так, но могу ошибаться:

Почему-то мне кажется, что я ошибаюсь. Не может же оно быть так просто

@~~alex_bojik~~ · 02.11.2011, 16:08 **[ТС]**

Название: 123.png
Просмотров: 231

Размер: 1.7 Кб

вот так примерно

@Paporotnik · 02.11.2011, 17:06

площадь многоугольника максимальна, если его возможно вписать в окружность.
в случае четырехугольника, описать вокруг него окружность можно, если выполняется условие "произведение диагоналей = сумме произведений противоположных сторон".

пища для размышлений дана)

@~~alex_bojik~~ · 02.11.2011, 17:18 **[ТС]**

спасибо буду думать))))

@~~Апострофф~~ · 02.11.2011, 17:30

А мне что-то подсказывает, что решение где-то тут

@Paporotnik · 02.11.2011, 17:31

забыл указать, что это справедливо для выпуклого многоугольника. хотя сомневаюсь, что не выпуклый сможет оказаться больше по площади...

@~~Апострофф~~ · 02.11.2011, 17:42

Сообщение от Paporotnik

площадь многоугольника максимальна, если его возможно вписать в окружность

Это справедливо для случая, когда известны длины всех сторон, а не половины

@~~alex_bojik~~ · 02.11.2011, 17:45 **[ТС]**

Сообщение от Апострофф

А мне что-то подсказывает, что решение где-то тут

кстати я тоже так думал... но когда формулу выводил не получилось, хотя надо еще раз попробовать....

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от Paporotnik

площадь многоугольника максимальна, если его возможно вписать в окружность

да кстати... в случае a = b получается что квадрат можно вписать в окружность... но его площадь не максимальна

@talis · 02.11.2011, 17:52

Аж самому интересно стало. Развивая высказанную мысль:

Хотя, опять могу не туда смотреть

@Paporotnik · 02.11.2011, 18:43

Это справедливо для случая, когда известны длины всех сторон, а не половины

это справедливо для любого выпуклого многоугольника. и не важно, что мы о нем знаем.

да кстати... в случае a = b получается что квадрат можно вписать в окружность... но его площадь не максимальна

в случае a=b получается, что a=b и только) это не дает никакой информации о двух других сторонах. это может быть и просто прямоугольный треугольник, и квадрат, и композиция прямоугольного треугольника и равнобедренного треугольника с основанием на диагонали.

@Paporotnik · 02.11.2011, 18:52

в общем поразмышлял.
если многоугольник можно вписать в окружность, то он имеет максимальную площадь.
представим, что этот многоугольник у нас 8-угольный. причем обладает горизонтальной и вертикальной симметрией, т.е. состоит из 4-х одинаковых 4-х угольников.
совершенно очевидно, что если весь многоугольник имеет максимальную площадь, то и каждый из этих 4-х угольников будет иметь максимальную площадь.
таким образом, имеем 4-х угольник (к примеру, возьмем тот, что оказывается в 1-ой четверти описанной окружности), одна вершина которого находится в центре описанной окружности, две других смежных вершины - соответственно справа и сверху от нее на расстоянии R, а четвертая - где-то на дуге, отсеченной образованным прямым углом.
получается, что искомая площадь получится как сумма двух равнобедренных треугольников, причем "бедра" обоих равны радиусу, а основание известно из условия.
доводить до формулы лень. возможно понадобится тот факт, что радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

картинка, для понимания)

@Cute · 02.11.2011, 21:11

Данную задачу можно решить, используя метод оценок.

@Paporotnik · 02.11.2011, 22:09

а по-моему твоя формула показывает площадь композиции равнобедренного и прямоугольного треугольника. и это не связано с максимальной площадью получаемой фигуры.

с чего ты взял, что максимальная площадь будет стремиться к сумме равнобедренного ABC и прямоугольного BCD?
тебе не кажется, что достаточно точку B перенести выше (зеркально отразить относительно горизонтали через D) и площадь фигуры увеличится значительно, а твоя формула будет по-прежнему указывать на площадь старой фигуры?

p.s. в вычислениях по-прежнему много ошибок)

@Cute · 02.11.2011, 22:50

Ошибки я заметил и исправил (сегодня я очень рассеянный). Ниже выложу исправленный вариант.

Моё решение основано на следующих фактах.

1) Площадь четырёхугольника ABCD равна сумме площадей его частей - треугольников BDA и BDC (свойство аддитивности площади). Если каждое из слагаемых будет максимально возможным, то и суммарная площадь будет максимальной.

2) Предположим, что четырёхугольник ABCD максимальной площади уже построен, тогда прямоугольный треугольник BDA должен являться равнобедренным, так как из всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный.

Далее из всех треугольников со сторонами a, b и углом между ними gamma наибольшую площадь будет иметь прямоугольный треугольник с катетами a, b и углом gamma=90 градусов.

Если в моих рассуждениях есть ошибки, то укажите их.

@Paporotnik · 02.11.2011, 23:10

Предположим, что четырёхугольник ABCD максимальной площади уже построен, тогда прямоугольный треугольник BDA должен являться равнобедренным, так как из всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный.

совершенно верно, но с чего ты взял, что в построенном ABCD второй прямоугольник окажется именно прямоугольным?

итак, BAD равнобедренный прямоугольный, без сомнения. его площадь можно выразить через гипотенузу, что ты и сделал в своих рассчетах, S=d^2/4.
треугольник BCD ты считаешь прямоугольным, а значит S=a*b/2. Замечу, что эта формула ТОЛЬКО для прямоугольных.
выражая d через a и b и записывая сумму площадей получаем: (a^2+b^2)/4+a*b/2=(a+b)^2/4.
Получаем твою формулу. т.е. она справедлива ТОЛЬКО для композиции двух прямоугольных треугольников, один из которых равнобедренный.

а теперь делаем простой фокус, не нарушая условие. и получаем гораздо большую площадь. она не максимальная, но уже больше той, что получается по твоей формуле.

@~~alex_bojik~~ · 02.11.2011, 23:16 **[ТС]**

ну что я могу сказать))) задача решена всем кто помогал огромное спасибо и конечно же +

talis - спасибо за попытки помочь!
Апострофф - спасибо, что помогли еще раз взглянуть с этой позиции, и найти правильный ответ
Cute - спасибо за ваши старания, очень все понятно и доступно!
Paporotnik - спасибо за доказательство насчет 8-угольника, и вообще за помощь!

Решение математически:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot b$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{\Delta ABD}=\frac{1}{2}\cdot {r}^{2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\cdot {r}^{2}={c}^{2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{\Delta ABD}=\frac{1}{4}\cdot {c}^{2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{c}^{2}={a}^{2} + {b}^{2} - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{ABCD}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot b$

Решение C++

C++

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <iomanip>
 
using namespace std;
 
int main()
{
    double a,b;
    double max = 0;
    cin>>a>>b;
    max = (a*a+b*b)/4+sqrt(2)*a*b/2;
    cout<<setprecision(7)<<fixed<<max;
    return 0;
}

@~~alex_bojik~~ · 02.11.2011, 23:22 **[ТС]**

ах да, а как отметить что проблема решена?
не в смысле отпраздновать, а замочек повесить... или как тут вообще делается

@Cute · 03.11.2011, 00:01

Сообщение от alex_bojik

ах да, а как отметить что проблема решена?
не в смысле отпраздновать, а замочек повесить... или как тут вообще делается

Рано-рано ещё закрывать тему, alex_bojik.

При расчёте площади треугольника BCD вы считаете, что sin(gamma)=sqrt(2).
Но sqrt(2)>1. А синус любого угла не может быть больше единицы.

@~~alex_bojik~~ · 03.11.2011, 00:13 **[ТС]**

там sqrt(2)/2 просто упрощение долго в LaTex набирать

@Cute 1076 / 657 / 68 Регистрация: 10.02.2011 Сообщений: 518
	03.11.2011, 00:01	19
	Сообщение от alex_bojik ах да, а как отметить что проблема решена? не в смысле отпраздновать, а замочек повесить... или как тут вообще делается Рано-рано ещё закрывать тему, alex_bojik. При расчёте площади треугольника BCD вы считаете, что sin(gamma)=sqrt(2). Но sqrt(2)>1. А синус любого угла не может быть больше единицы. 0

@talis 794 / 546 / 61 Регистрация: 11.05.2010 Сообщений: 1,298 Записей в блоге: 1
	02.11.2011, 15:52	2
	Думаю так, но могу ошибаться: Почему-то мне кажется, что я ошибаюсь. Не может же оно быть так просто 1

@~~alex_bojik~~ Заблокирован
	02.11.2011, 16:08 [ТС]	3
	вот так примерно 0

@Paporotnik 385 / 229 / 12 Регистрация: 06.07.2011 Сообщений: 512
	02.11.2011, 17:06	4
	площадь многоугольника максимальна, если его возможно вписать в окружность. в случае четырехугольника, описать вокруг него окружность можно, если выполняется условие "произведение диагоналей = сумме произведений противоположных сторон". пища для размышлений дана) 2

@~~alex_bojik~~ Заблокирован
	02.11.2011, 17:18 [ТС]	5
	спасибо буду думать)))) 0

@~~Апострофф~~ Заблокирован
	02.11.2011, 17:30	6
	А мне что-то подсказывает, что решение где-то тут Изображения 1

@Paporotnik 385 / 229 / 12 Регистрация: 06.07.2011 Сообщений: 512
	02.11.2011, 17:31	7
	забыл указать, что это справедливо для выпуклого многоугольника. хотя сомневаюсь, что не выпуклый сможет оказаться больше по площади... 0

@~~Апострофф~~ Заблокирован
	02.11.2011, 17:42	8
	Сообщение от Paporotnik площадь многоугольника максимальна, если его возможно вписать в окружность Это справедливо для случая, когда известны длины всех сторон, а не половины 0

@~~alex_bojik~~ Заблокирован
	02.11.2011, 17:45 [ТС]	9
	Сообщение от Апострофф А мне что-то подсказывает, что решение где-то тут кстати я тоже так думал... но когда формулу выводил не получилось, хотя надо еще раз попробовать.... Добавлено через 1 минуту Сообщение от Paporotnik площадь многоугольника максимальна, если его возможно вписать в окружность да кстати... в случае a = b получается что квадрат можно вписать в окружность... но его площадь не максимальна 0

@talis 794 / 546 / 61 Регистрация: 11.05.2010 Сообщений: 1,298 Записей в блоге: 1
	02.11.2011, 17:52	10
	Аж самому интересно стало. Развивая высказанную мысль: Хотя, опять могу не туда смотреть 0

@Paporotnik 385 / 229 / 12 Регистрация: 06.07.2011 Сообщений: 512
	02.11.2011, 18:43	11
	Это справедливо для случая, когда известны длины всех сторон, а не половины это справедливо для любого выпуклого многоугольника. и не важно, что мы о нем знаем. да кстати... в случае a = b получается что квадрат можно вписать в окружность... но его площадь не максимальна в случае a=b получается, что a=b и только) это не дает никакой информации о двух других сторонах. это может быть и просто прямоугольный треугольник, и квадрат, и композиция прямоугольного треугольника и равнобедренного треугольника с основанием на диагонали. 0

	03.11.2011, 00:13

@Paporotnik 385 / 229 / 12 Регистрация: 06.07.2011 Сообщений: 512
	02.11.2011, 18:52	12
	Сообщение было отмечено как решение Решение в общем поразмышлял. если многоугольник можно вписать в окружность, то он имеет максимальную площадь. представим, что этот многоугольник у нас 8-угольный. причем обладает горизонтальной и вертикальной симметрией, т.е. состоит из 4-х одинаковых 4-х угольников. совершенно очевидно, что если весь многоугольник имеет максимальную площадь, то и каждый из этих 4-х угольников будет иметь максимальную площадь. таким образом, имеем 4-х угольник (к примеру, возьмем тот, что оказывается в 1-ой четверти описанной окружности), одна вершина которого находится в центре описанной окружности, две других смежных вершины - соответственно справа и сверху от нее на расстоянии R, а четвертая - где-то на дуге, отсеченной образованным прямым углом. получается, что искомая площадь получится как сумма двух равнобедренных треугольников, причем "бедра" обоих равны радиусу, а основание известно из условия. доводить до формулы лень. возможно понадобится тот факт, что радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. картинка, для понимания) Миниатюры 5

@Cute 1076 / 657 / 68 Регистрация: 10.02.2011 Сообщений: 518
	02.11.2011, 21:11	13
	Данную задачу можно решить, используя метод оценок. Миниатюры 2

@Paporotnik 385 / 229 / 12 Регистрация: 06.07.2011 Сообщений: 512
	02.11.2011, 22:09	14
	а по-моему твоя формула показывает площадь композиции равнобедренного и прямоугольного треугольника. и это не связано с максимальной площадью получаемой фигуры. с чего ты взял, что максимальная площадь будет стремиться к сумме равнобедренного ABC и прямоугольного BCD? тебе не кажется, что достаточно точку B перенести выше (зеркально отразить относительно горизонтали через D) и площадь фигуры увеличится значительно, а твоя формула будет по-прежнему указывать на площадь старой фигуры? p.s. в вычислениях по-прежнему много ошибок) 0

@Cute 1076 / 657 / 68 Регистрация: 10.02.2011 Сообщений: 518
	02.11.2011, 22:50	15
	Ошибки я заметил и исправил (сегодня я очень рассеянный). Ниже выложу исправленный вариант. Моё решение основано на следующих фактах. 1) Площадь четырёхугольника ABCD равна сумме площадей его частей - треугольников BDA и BDC (свойство аддитивности площади). Если каждое из слагаемых будет максимально возможным, то и суммарная площадь будет максимальной. 2) Предположим, что четырёхугольник ABCD максимальной площади уже построен, тогда прямоугольный треугольник BDA должен являться равнобедренным, так как из всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный. Далее из всех треугольников со сторонами a, b и углом между ними gamma наибольшую площадь будет иметь прямоугольный треугольник с катетами a, b и углом gamma=90 градусов. Если в моих рассуждениях есть ошибки, то укажите их. Миниатюры 1

@Paporotnik 385 / 229 / 12 Регистрация: 06.07.2011 Сообщений: 512
	02.11.2011, 23:10	16
	Предположим, что четырёхугольник ABCD максимальной площади уже построен, тогда прямоугольный треугольник BDA должен являться равнобедренным, так как из всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный. совершенно верно, но с чего ты взял, что в построенном ABCD второй прямоугольник окажется именно прямоугольным? итак, BAD равнобедренный прямоугольный, без сомнения. его площадь можно выразить через гипотенузу, что ты и сделал в своих рассчетах, S=d^2/4. треугольник BCD ты считаешь прямоугольным, а значит S=ab/2. Замечу, что эта формула ТОЛЬКО для прямоугольных. выражая d через a и b и записывая сумму площадей получаем: (a^2+b^2)/4+ab/2=(a+b)^2/4. Получаем твою формулу. т.е. она справедлива ТОЛЬКО для композиции двух прямоугольных треугольников, один из которых равнобедренный. а теперь делаем простой фокус, не нарушая условие. и получаем гораздо большую площадь. она не максимальная, но уже больше той, что получается по твоей формуле. Миниатюры 2

@~~alex_bojik~~ Заблокирован
	02.11.2011, 23:22 [ТС]	18
	ах да, а как отметить что проблема решена? не в смысле отпраздновать, а замочек повесить... или как тут вообще делается 0

@~~alex_bojik~~ Заблокирован
	03.11.2011, 00:13 [ТС]	20
	там sqrt(2)/2 просто упрощение долго в LaTex набирать 0