Метод неопределенных коэффициентов. Что такое кратность корня и как ее определить?

@Nickolay0512 · Регистрация: 26.09.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

В учебнике написано так: k—число, равное кратности корня $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha +\beta i$ характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha +\beta i$ —корень этого полинома, и k = 0, если не является корнем характеристического полинома.
Вопрос: что такое кратность корня и как ее определить?
Заранее спасибо.

@Igor · 06.05.2014, 19:06

Например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}-2x+1=0\ \Leftrightarrow \ {(x-1)}^{2}=0,$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1$ - корень кратности два.

@Nickolay0512 · 06.05.2014, 19:11 **[ТС]**

Получается, чтобы определить кратность корня нужно характеристическое уравнение разложить на множители?

@Igor · 06.05.2014, 19:16

Nickolay0512, нну да.

@cmath · 07.05.2014, 10:34

Сообщение от Nickolay0512

Получается, чтобы определить кратность корня нужно характеристическое уравнение разложить на множители?

Необязательно. Иногда, к тому же, это проблематично (например, для полиномов 10-ой степени с иррациональными коэффициентами).
Если a - корень кратности k, то производные до k-1 порядка включительно от a будут равны нулю, а k-ая уже нулю не будет равна.
***
Найти k производных от функции-полинома, имхо, проще, чем искать корни и раскладывать на множители.

@Igor · 07.05.2014, 19:41

cmath, ну да, согласен.

@Ellipsoid · 07.05.2014, 20:36

А почитать об этом можно в книге Винберга "Алгебра многочленов".

@Nickolay0512 58 / 40 / 41 Регистрация: 26.09.2013 Сообщений: 341 Записей в блоге: 1
		1
	Метод неопределенных коэффициентов. Что такое кратность корня и как ее определить? 06.05.2014, 18:50. Показов 3294. Ответов 6 Метки нет (Все метки) В учебнике написано так: k—число, равное кратности корня $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha +\beta i$ характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha +\beta i$ —корень этого полинома, и k = 0, если не является корнем характеристического полинома. Вопрос: что такое кратность корня и как ее определить? Заранее спасибо. 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	06.05.2014, 19:06	2
	Например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}-2x+1=0\ \Leftrightarrow \ {(x-1)}^{2}=0,$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1$ - корень кратности два. 1

@Nickolay0512 58 / 40 / 41 Регистрация: 26.09.2013 Сообщений: 341 Записей в блоге: 1
	06.05.2014, 19:11 [ТС]	3
	Получается, чтобы определить кратность корня нужно характеристическое уравнение разложить на множители? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	06.05.2014, 19:16	4
	Nickolay0512, нну да. 1

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2014, 10:34	5
	Сообщение от Nickolay0512 Получается, чтобы определить кратность корня нужно характеристическое уравнение разложить на множители? Необязательно. Иногда, к тому же, это проблематично (например, для полиномов 10-ой степени с иррациональными коэффициентами). Если a - корень кратности k, то производные до k-1 порядка включительно от a будут равны нулю, а k-ая уже нулю не будет равна. *** Найти k производных от функции-полинома, имхо, проще, чем искать корни и раскладывать на множители. 2

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	07.05.2014, 19:41	6
	cmath, ну да, согласен. 1

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	07.05.2014, 20:36	7
	А почитать об этом можно в книге Винберга "Алгебра многочленов". 1