Найти частное решение ДУ

@Fakeoke · Регистрация: 28.07.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Всем привет
Нужно найти частное решение
y''-y=2e^x
при нач условиях
y(0)=0
y'(0)=1

вот вроде решение, но зачем тогда мне начальные условия?

1. Запишем линейное однородное ДУ
y''-y=0
Составим характеристическое уравнение
k^2-1=0
k1=1
k2=-1
e=c1*e^x +c2*e^(-x) - общее решение линейного однородного ДУ
2. Частное решение
y=Ax*e^x
y'=Ae^x+Axe^x
y''=2Ae^x +Ax*e^x
Подставим y, y', y'' в исходное уравнение, сократим на e^x:
2A+Ax-Ax=2
A=1
Тогда частное решение:
y=x*e^x
Общее решение исходного уравнения
y=c1*e^x +c2*e^(-x) +xe^x

@mathmichel · 03.07.2015, 15:22

Сообщение от Fakeoke

вот вроде решение, но зачем тогда мне начальные условия?

Чтобы найти значения констант с1 и с2.

@Fakeoke · 03.07.2015, 15:35 **[ТС]**

т.е я должен взять у последнего производную, составить систему и решить?

@mathmichel · 03.07.2015, 15:45

Да, конечно (самое трудное уже позади).

iifat · 06.07.2015, 01:08

То, что ты нашёл ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=xe^x$ ) , называется произвольным частным решением. При любых конкретных значениях $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{1,2}$ получаем частное решение. Тебе нужно найти константы такие, чтоб удовлетворялись начальные условия. Терминология не так распространена, как «решить задачу Коши», но вполне осмыслена. Просто непривычно.

@Fakeoke · 07.07.2015, 10:47 **[ТС]**

что-то у меня C1 и C2 по нулям получились..верно?
y(0)=c1+c2
y'(0)=c1-c2+1

так не?

@mathmichel · 07.07.2015, 14:18

Сообщение от Fakeoke

что-то у меня C1 и C2 по нулям получились..верно?
y(0)=c1+c2
y'(0)=c1-c2+1
так не?

Все правильно, нулевые константы тоже могут быть

@Fakeoke 522 / 398 / 213 Регистрация: 28.07.2011 Сообщений: 2,207
		1
	Найти частное решение ДУ 03.07.2015, 11:54. Показов 1458. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Всем привет Нужно найти частное решение y''-y=2e^x при нач условиях y(0)=0 y'(0)=1 вот вроде решение, но зачем тогда мне начальные условия? 1. Запишем линейное однородное ДУ y''-y=0 Составим характеристическое уравнение k^2-1=0 k1=1 k2=-1 e=c1e^x +c2e^(-x) - общее решение линейного однородного ДУ 2. Частное решение y=Axe^x y'=Ae^x+Axe^x y''=2Ae^x +Axe^x Подставим y, y', y'' в исходное уравнение, сократим на e^x: 2A+Ax-Ax=2 A=1 Тогда частное решение: y=xe^x Общее решение исходного уравнения y=c1e^x +c2*e^(-x) +xe^x 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	03.07.2015, 15:22	2
	Сообщение от Fakeoke вот вроде решение, но зачем тогда мне начальные условия? Чтобы найти значения констант с1 и с2. 0

@Fakeoke 522 / 398 / 213 Регистрация: 28.07.2011 Сообщений: 2,207
	03.07.2015, 15:35 [ТС]	3
	т.е я должен взять у последнего производную, составить систему и решить? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	03.07.2015, 15:45	4
	Да, конечно (самое трудное уже позади). 0

iifat 2719 / 1773 / 187 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,132
	06.07.2015, 01:08	5
	То, что ты нашёл ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=xe^x$ ) , называется произвольным частным решением. При любых конкретных значениях $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{1,2}$ получаем частное решение. Тебе нужно найти константы такие, чтоб удовлетворялись начальные условия. Терминология не так распространена, как «решить задачу Коши», но вполне осмыслена. Просто непривычно. 1

@Fakeoke 522 / 398 / 213 Регистрация: 28.07.2011 Сообщений: 2,207
	07.07.2015, 10:47 [ТС]	6
	что-то у меня C1 и C2 по нулям получились..верно? y(0)=c1+c2 y'(0)=c1-c2+1 так не? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	07.07.2015, 14:18	7
	Сообщение было отмечено Fakeoke как решение Решение Сообщение от Fakeoke что-то у меня C1 и C2 по нулям получились..верно? y(0)=c1+c2 y'(0)=c1-c2+1 так не? Все правильно, нулевые константы тоже могут быть 1

Найти частное решение ДУ

Решение