Найти решение задачи Коши

@VoltZZZ · Регистрация: 23.02.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Правильно ли я решаю? Как дальше решать?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'-{y}^{3}y"=1 ( y(0)=\sqrt{2}, y'(0)=\frac{\sqrt{2}}{2}) y'=p(y(x)) y"=\frac{dp}{dy}*p p-{y}^{3}\frac{dp}{dy}*p=1 \frac{dp}{dy}=\frac{p-1}{{y}^{3p}} \int \frac{dp}{p-1}=\int \frac{1}{{y}^{3}}dy \left|\int \frac{1}{{y}^{3}}=-\frac{1}{2{y}^{2}}+{c}_{1} \right| ln\left|p-1 \right|=-\frac{1}{2{y}^{2}}+{c}_{1} ln\left|p \right|={e}^-{\frac{1}{2{y}^{2}}}*{c}_{2} p={e}^{-\frac{1}{2{y}^{2}}*{c}_{2}} \frac{\sqrt{2}}{2}={e}^{-\frac{1}{2\sqrt{{2}^{2}}}*{c}_{2}} \frac{\sqrt{2}}{2}={e}^{-\frac{1}{4}*{c}_{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}={e}^-{\frac{{c}_{2}}{4}} \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt[4]{{c}_{2}}} {c}_{2}=2ln2 y'={e}^-{\frac{1}{2{y}^{2}}}*{c}_{2} y'={e}^-{\frac{1}{2{y}^{2}}}*2ln2 \frac{dy}{dx}={e}^-{\frac{1}{2{y}^{2}}}*2ln2 \int \frac{dy}{{e}^-{\frac{1}{2{y}^{2}}}}=\int 2ln2 dx$

Байт · 23.11.2015, 19:22

VoltZZZ, Ход решения правильный. Арифметику особо не проверял.
Совет. Вместо С1 удобнее записать -lnC1. Удобней будет считать.

@cmath · 24.11.2015, 02:11

С 3-ей строки пошла какая-то ерунда.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y'=p,\;y''=pp'\Rightarrow p-y^3pp'=1\Leftrightarrow p-1=y^3pp'\Leftrightarrow \frac{pdp}{p-1}=\frac{dy}{y^3}\\\int \frac{pdp}{p-1}=\int \frac{dy}{y^3}\Leftrightarrow \int (1+\frac{1}{p-1})dp=-\frac{1}{2y^2}+C_1\Rightarrow p+\ln |p-1|=-\frac{1}{2y^2}+C_1$
Тут, по всей видимости, решения y(x) не будет. Будет что-то параметрическое.

@VoltZZZ 2 / 2 / 0 Регистрация: 23.02.2012 Сообщений: 51
		1
	Найти решение задачи Коши 23.11.2015, 18:51. Показов 852. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Правильно ли я решаю? Как дальше решать? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'-{y}^{3}y"=1 ( y(0)=\sqrt{2}, y'(0)=\frac{\sqrt{2}}{2})<br /> y'=p(y(x)) <br /> y"=\frac{dp}{dy}p <br /> p-{y}^{3}\frac{dp}{dy}p=1 <br /> \frac{dp}{dy}=\frac{p-1}{{y}^{3p}} <br /> \int \frac{dp}{p-1}=\int \frac{1}{{y}^{3}}dy <br /> \left\|\int \frac{1}{{y}^{3}}=-\frac{1}{2{y}^{2}}+{c}_{1} <br /> \right\|<br /> ln\left\|p-1 \right\|=-\frac{1}{2{y}^{2}}+{c}_{1}<br /> ln\left\|p \right\|={e}^-{\frac{1}{2{y}^{2}}}{c}_{2} <br /> p={e}^{-\frac{1}{2{y}^{2}}{c}_{2}} <br /> \frac{\sqrt{2}}{2}={e}^{-\frac{1}{2\sqrt{{2}^{2}}}{c}_{2}}<br /> \frac{\sqrt{2}}{2}={e}^{-\frac{1}{4}{c}_{2}} <br /> \frac{1}{\sqrt{2}}={e}^-{\frac{{c}_{2}}{4}} <br /> \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt[4]{{c}_{2}}} <br /> {c}_{2}=2ln2<br /> y'={e}^-{\frac{1}{2{y}^{2}}}{c}_{2} <br /> y'={e}^-{\frac{1}{2{y}^{2}}}2ln2 <br /> \frac{dy}{dx}={e}^-{\frac{1}{2{y}^{2}}}*2ln2<br /> \int \frac{dy}{{e}^-{\frac{1}{2{y}^{2}}}}=\int 2ln2 dx$ 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	23.11.2015, 19:22	2
	VoltZZZ, Ход решения правильный. Арифметику особо не проверял. Совет. Вместо С1 удобнее записать -lnC1. Удобней будет считать. 1

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	24.11.2015, 02:11	3
	С 3-ей строки пошла какая-то ерунда. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> y'=p,\;y''=pp'\Rightarrow p-y^3pp'=1\Leftrightarrow p-1=y^3pp'\Leftrightarrow \frac{pdp}{p-1}=\frac{dy}{y^3}\\\int \frac{pdp}{p-1}=\int \frac{dy}{y^3}\Leftrightarrow \int (1+\frac{1}{p-1})dp=-\frac{1}{2y^2}+C_1\Rightarrow p+\ln \|p-1\|=-\frac{1}{2y^2}+C_1$ Тут, по всей видимости, решения y(x) не будет. Будет что-то параметрическое. 2