Линейное неоднородное ОДУ

@Benedict · Регистрация: 21.10.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте. Пытаюсь решить дифференциальное уравнение.
Свел его к уравнению следующего вида:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''(x)(Ax+B)+y(x)(Cx^2+Dx+E)=Fx$$ .

Сначала решаю однородное. После нескольких действий получаю следующее:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{d y}{y} = - \frac{Cx^2+Dx+E}{Ax+B} dx$ .

Допустим, я смогу взять интеграл справа (хотя и с трудом некоторым, конечно). Но как мне быть дальше?
Вроде как, мне нужно получить фундаментальную систему решений. А потом методом вариации постоянных получить решение неоднородного. Но интеграл-то не очень приятный, чтобы искать ФСР с ним... И дальше проблем только больше.

Может, как-то проще все это решается?
Буду крайне благодарен за помощь.

Добавлено через 1 час 4 минуты
Простите, опечатка. исходное уравнение выглядит так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''(x)(Ax+B)+y'(x)(Cx^2+Dx+E)=Fx$ .
Там, разумеется, есть первая производная. Ну и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{d w}{w} = - \frac{Cx^2+Dx+E}{Ax+B} dx $$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$y'=w$ .

Байт · 18.05.2016, 23:06

Benedict, Теоретически все просто. Относительно w это линейное уравнение, его легко решить методом Бернулли (w = uv), можно и вариацией, что эквивалентно, да и вычислительно равнотрудно. Просто я больше люблю u*v
Другое дело, какие там будут получаться интегралы. А они в общем виде могут быть весьма сложными и вовсе не берущимися. Если есть начальные условия, это может слегка упростить задачу.

Сообщение от Benedict

Допустим, я смогу взять интеграл справа (хотя и с трудом некоторым, конечно).

Все стандартно и детерминировано. Рациональные дроби ВСЕ прекрасно берутся.
В вашем случае решением будет нечто такое
w = ax² + bx + c*ln(Ax+B)

@Benedict 0 / 0 / 0 Регистрация: 21.10.2013 Сообщений: 10
		1
	Линейное неоднородное ОДУ 16.05.2016, 20:28. Показов 731. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Здравствуйте. Пытаюсь решить дифференциальное уравнение. Свел его к уравнению следующего вида: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''(x)(Ax+B)+y(x)(Cx^2+Dx+E)=Fx$$ . Сначала решаю однородное. После нескольких действий получаю следующее: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{d y}{y} = - \frac{Cx^2+Dx+E}{Ax+B} dx$ . Допустим, я смогу взять интеграл справа (хотя и с трудом некоторым, конечно). Но как мне быть дальше? Вроде как, мне нужно получить фундаментальную систему решений. А потом методом вариации постоянных получить решение неоднородного. Но интеграл-то не очень приятный, чтобы искать ФСР с ним... И дальше проблем только больше. Может, как-то проще все это решается? Буду крайне благодарен за помощь. Добавлено через 1 час 4 минуты Простите, опечатка. исходное уравнение выглядит так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''(x)(Ax+B)+y'(x)(Cx^2+Dx+E)=Fx$ . Там, разумеется, есть первая производная. Ну и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{d w}{w} = - \frac{Cx^2+Dx+E}{Ax+B} dx $$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$y'=w$ . 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	18.05.2016, 23:06	2
	Benedict, Теоретически все просто. Относительно w это линейное уравнение, его легко решить методом Бернулли (w = uv), можно и вариацией, что эквивалентно, да и вычислительно равнотрудно. Просто я больше люблю uv Другое дело, какие там будут получаться интегралы. А они в общем виде могут быть весьма сложными и вовсе не берущимися. Если есть начальные условия, это может слегка упростить задачу. Сообщение от Benedict* Допустим, я смогу взять интеграл справа (хотя и с трудом некоторым, конечно). Все стандартно и детерминировано. Рациональные дроби ВСЕ прекрасно берутся. В вашем случае решением будет нечто такое w = ax² + bx + c*ln(Ax+B) 1

Опции темы