Общее решение уравнения с гиперболическим косинусом

@Over77over · Регистрация: 15.09.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''-y=\frac{1}{ch(x)}<br /> \lambda ^2-1=0<br /> \lambda _{1}=1<br /> \lambda _{2}=-1<br /> y_{oo}=C_1e^x+C_2e^{-x}$

Какое частное решение имеет уравнение?

@mathmichel · 19.07.2018, 22:08

Метод вариации постоянных (более подробно описывалось в предшествующих постах) приводит к следующей системе для производных коэффициентов: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & C_1'e^x+C_2'e^{-x}=0 \\ & C_1'e^x-C_2'e^{-x}=\frac{1}{ch(x)} \end{cases}$ с решением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & C_1'=\frac{e^{-x}}{2ch(x)} \\ & C_2'=-\frac{e^{x}}{2ch(x)} \end{cases}$ . После интегрирования получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & C_1=\int \frac{e^{-x}dx}{2ch(x)}=-\frac{ln(e^{-2x}+1)}{2} \\ & C_2=-\int \frac{e^{x}dx}{2ch(x)}=-\frac{ln(e^{2x}+1)}{2} \end{cases}$ . В результате частное решение имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\tilde{y}=-\frac{1}{2}(ln(e^{-2x}+1)\cdot e^x+ln(e^{2x}+1)\cdot e^{-x})$ .
Для получения общего решения неоднородного уравнения это частное решение надо прибавить к вышеприведенному общему решению однородного уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_0=C_1e^x+C_2e^{-x}$

@Over77over 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.09.2014 Сообщений: 102
		1
	Общее решение уравнения с гиперболическим косинусом 19.07.2018, 15:28. Показов 2298. Ответов 1 Метки нет (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''-y=\frac{1}{ch(x)}<br /> \lambda ^2-1=0<br /> \lambda _{1}=1<br /> \lambda _{2}=-1<br /> y_{oo}=C_1e^x+C_2e^{-x}$ Какое частное решение имеет уравнение? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	19.07.2018, 22:08	2
	Сообщение было отмечено Over77over как решение Решение Метод вариации постоянных (более подробно описывалось в предшествующих постах) приводит к следующей системе для производных коэффициентов: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & C_1'e^x+C_2'e^{-x}=0 \\ & C_1'e^x-C_2'e^{-x}=\frac{1}{ch(x)} \end{cases}$ с решением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & C_1'=\frac{e^{-x}}{2ch(x)} \\ & C_2'=-\frac{e^{x}}{2ch(x)} \end{cases}$ . После интегрирования получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & C_1=\int \frac{e^{-x}dx}{2ch(x)}=-\frac{ln(e^{-2x}+1)}{2} \\ & C_2=-\int \frac{e^{x}dx}{2ch(x)}=-\frac{ln(e^{2x}+1)}{2} \end{cases}$ . В результате частное решение имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\tilde{y}=-\frac{1}{2}(ln(e^{-2x}+1)\cdot e^x+ln(e^{2x}+1)\cdot e^{-x})$ . Для получения общего решения неоднородного уравнения это частное решение надо прибавить к вышеприведенному общему решению однородного уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_0=C_1e^x+C_2e^{-x}$ 1

Общее решение уравнения с гиперболическим косинусом

Решение