Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка

@Людмила 1285 · Регистрация: 07.02.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка и частное решение, удовлетворяющее начальному условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y({x}_{0})={y}_{0}.$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy'+y=\frac{2x}{1+{x}^{2}},\ y(1)=0.$

@Igor · 07.02.2012, 22:46

Преобразуем к виду y'+p(x)y=f(x), для этого поделим на x:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'+\frac{1}{x}\cdot y=\frac{2}{1+{x}^{2}},$
Теперь решаем однородное уравнение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'+\frac{1}{x}\cdot y=0 y'=-\frac{1}{x}y \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x}y \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x} \int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{x}+{C}_{1} \ln |y|=-\ln |x|+\ln |{C}_{1}| \ln |xy|=\ln |{C}_{1}| y=\frac{C}{x},$
теперь ищем общее решение данного уравнения в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{C(x)}{x}.$
Дифференцируя, имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=\frac{C'(x)x-C(x)}{{x}^{2}}.$
Подставляем в исходное уравнение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{C'(x)x-C(x)}{{x}^{2}}+\frac{C(x)}{{x}^{2}}=\frac{2}{1+{x}^{2}} \frac{C'(x)x}{{x}^{2}}=\frac{2}{1+{x}^{2}} C'(x)=\frac{2x}{1+{x}^{2}} C(x)=\int \frac{2x}{1+{x}^{2}}dx=\int \frac{d({x}^{2})}{1+{x}^{2}}=\ln |1+{x}^{2}|+{C}_{2}.$
Следовательно, общее решение имеет вид:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{C(x)}{x}=\frac{\ln {C}_{2}(1+{x}^{2})}{x}$

@Людмила 1285 · 07.02.2012, 23:29 **[ТС]**

Большое спасибо

@Людмила 1285 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.02.2012 Сообщений: 6
		1
	Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка 07.02.2012, 21:37. Показов 1352. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка и частное решение, удовлетворяющее начальному условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y({x}_{0})={y}_{0}.$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy'+y=\frac{2x}{1+{x}^{2}},\ y(1)=0.$ 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	07.02.2012, 22:46	2
	Преобразуем к виду y'+p(x)y=f(x), для этого поделим на x: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'+\frac{1}{x}\cdot y=\frac{2}{1+{x}^{2}},$ Теперь решаем однородное уравнение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'+\frac{1}{x}\cdot y=0<br /> y'=-\frac{1}{x}y<br /> \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x}y<br /> \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}<br /> \int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{x}+{C}_{1}<br /> \ln \|y\|=-\ln \|x\|+\ln \|{C}_{1}\|<br /> \ln \|xy\|=\ln \|{C}_{1}\|<br /> y=\frac{C}{x},$ теперь ищем общее решение данного уравнения в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{C(x)}{x}.$ Дифференцируя, имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=\frac{C'(x)x-C(x)}{{x}^{2}}.$ Подставляем в исходное уравнение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{C'(x)x-C(x)}{{x}^{2}}+\frac{C(x)}{{x}^{2}}=\frac{2}{1+{x}^{2}}<br /> \frac{C'(x)x}{{x}^{2}}=\frac{2}{1+{x}^{2}}<br /> C'(x)=\frac{2x}{1+{x}^{2}}<br /> C(x)=\int \frac{2x}{1+{x}^{2}}dx=\int \frac{d({x}^{2})}{1+{x}^{2}}=\ln \|1+{x}^{2}\|+{C}_{2}.$ Следовательно, общее решение имеет вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{C(x)}{x}=\frac{\ln {C}_{2}(1+{x}^{2})}{x}$ 1

@Людмила 1285 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.02.2012 Сообщений: 6
	07.02.2012, 23:29 [ТС]	3
	Большое спасибо 0