@tomcha

Помогите решить, пожалуйста

0

@Igor

tomcha, может y', а не y''?

0

@tomcha

Да. Простите, не знала как правильно поставить. Помогите мне решить, пожалуйста

0

vetvet

Замена y'=p,y''=p_*p', где p=p(y) - функция, зависящая от y.

0

@splen

В левую часть входит независимая переменная х, так что такая замена
не поможет. Вместо неё можно сделать замену z(x)=y'(x), т.к. левая часть
не зависит от у. Тогда

z'(x)-z(x)/x=xsinx.

Смущает другое - задано только одно условие, так что похоже, что
задача ставится для уравнения первого порядка. Может, всё-таки,
не y''-y'/x, а y'-y/x?

1

vetvet

Точно. Ошиблась.

1

@tomcha

Первый y со штрихом, а второй просто y

0

@splen

Тогда всё понятно.

Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение и требуется
найти его частное решение, удовлетворяющее заданному условию. Для
этого нужно найти общее решение, содержащее произвольную константу,
и после этого найти её значение, удовлетворяющее условию.

Для нахождения общего решения неоднородного уравнения используется
теорема о структуре общего решения линейного неоднородного
дифференциального уравнения: y_{общ.неодн.}=y_{общ.одн.}+y_{частн.неодн.}, где

y_{общ.неодн.} - общее решение (заданного) неоднородного уравнения;
y_{общ.одн.} - общее решение соответствующего однородного уравнения;
y_{частн.неодн.} - частное решение (заданного) неоднородного уравнения.

Для нахождения y_{общ.одн.} составляем уравнение

y'-y/x=0

и решаем его как уравнение с разделяющимися переменными. В результате
получаем:

y_{общ.одн.}(х)=Сх,

где С - произвольная константа.

Для нахождения y_{частн.неодн.} используем метод вариации произвольной
постоянной Лагранжа и ищем его в виде

y_{частн.неодн.}(х)=С(х)х.

После нахождения обоих слагаемых подставляем найденные выражения в условие:

y_{общ.одн.}(pi/2)+y_{частн.неодн.}(pi/2)=1,

из которого находим значение произвольной константы.

Более подробно процедура решения описывается в учебниках по дифференциальным
уравнениям в разделах "Линейные неоднородные дифференциальные уравнения",
"Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа", а также "Дифференциальные
уравнения с разделяющимися переменными".

1

@tomcha

Спасибо большое. Но я полный чайник, можно мне с решением моей задачи.

0

@Igor

tomcha, в данном случае рациональнее сделать замену , где . Подставляем это дело и получаем, что . Осталось определить неизвестную "цэ":
.
Ответ:

2