Функционально-дифференциальное уравнение

@Ellipsoid · Регистрация: 16.06.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x)=xy(-x); \ y(0)=1$

@Igor · 25.08.2012, 19:55

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? -x=t,\ x=-t \begin{cases} & \text{} y'(-t)=-ty(t) \\ & \text{} y'(t)=ty(-t) \end{cases} y(-t)=\frac{y'(t)}{t}\Rightarrow (\frac{y'(t)}{t})'=-ty(t)$

@TrushkovVV · 25.08.2012, 21:38

А потом легко получить y(t)=C_1 cos(t^2/2)+C_2 sin(t^2/2)

@TrushkovVV · 27.08.2012, 23:14

Сообщение от Igor

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? -x=t,\ x=-t \begin{cases} & \text{} y'(-t)=-ty(t) \\ & \text{} y'(t)=ty(-t) \end{cases} y(-t)=\frac{y'(t)}{t}\Rightarrow (\frac{y'(t)}{t})'=-ty(t)$

Вообще говоря, из того, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(-x)=\frac{y'(x)}{x}$ следует, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-y'(-x)=(y'(x)/x)'=xy(x)$ .

Т.е. неверный знак. Ну, и соответственно, претендентом на решение ФДУ являются функции семейства
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)=C_1 e^{x^2/2}+C_2e^{-x^2/2}$ .

Подставив в уравнение, поймем, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_2=0$ , а из начального условия поймем, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_1=1$ .

Таким образом, ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)=e^{x^2/2}$ .

Функционально-дифференциальное уравнение

Решение

Решение

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
		1
	Функционально-дифференциальное уравнение 25.08.2012, 19:28. Показов 1040. Ответов 3 Метки нет (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x)=xy(-x); \ y(0)=1$ 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	25.08.2012, 19:55	2
	Сообщение было отмечено как решение Решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> -x=t,\ x=-t<br /> \begin{cases} & \text{} y'(-t)=-ty(t) \\ & \text{} y'(t)=ty(-t) \end{cases}<br /> y(-t)=\frac{y'(t)}{t}\Rightarrow (\frac{y'(t)}{t})'=-ty(t)$ 3

@TrushkovVV 150 / 83 / 7 Регистрация: 24.08.2012 Сообщений: 273
	25.08.2012, 21:38	3
	А потом легко получить y(t)=C_1 cos(t^2/2)+C_2 sin(t^2/2) 0

@TrushkovVV 150 / 83 / 7 Регистрация: 24.08.2012 Сообщений: 273
	27.08.2012, 23:14	4
	Сообщение было отмечено как решение Решение Сообщение от Igor $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> -x=t,\ x=-t<br /> \begin{cases} & \text{} y'(-t)=-ty(t) \\ & \text{} y'(t)=ty(-t) \end{cases}<br /> y(-t)=\frac{y'(t)}{t}\Rightarrow (\frac{y'(t)}{t})'=-ty(t)$ Вообще говоря, из того, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(-x)=\frac{y'(x)}{x}$ следует, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-y'(-x)=(y'(x)/x)'=xy(x)$ . Т.е. неверный знак. Ну, и соответственно, претендентом на решение ФДУ являются функции семейства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)=C_1 e^{x^2/2}+C_2e^{-x^2/2}$ . Подставив в уравнение, поймем, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_2=0$ , а из начального условия поймем, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_1=1$ . Таким образом, ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)=e^{x^2/2}$ . 3