Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы

Дифференциальные уравнения

Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг: Рейтинг темы: голосов - 255, средняя оценка - 4.85
cmath
Модератор
2459 / 1713 / 134
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,293
Завершенные тесты: 6
#1

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений - Дифференциальные уравнения

18.10.2012, 11:40. Просмотров 36318. Ответов 2

Вместо вступления:
Очень часто на форуме размещают типовые студенческие задачи. Подавляющее большинство этих задач можно решить, зная лишь элементарную базу предмета "Дифференциальные уравнения", которую читают в ВУЗах. Краткое изложение этой самой базы я оставляю ниже.
Напомню, что существуют правила 4.1 и 4.7. Вполне возможно, что ваша задача (или очень похожая) уже обсуждалась на форуме. Не поленитесь выполнить поиск в разделе. Также при размещении своей задачи указывайте, что было сделано вами для её решения и что конкретно не понятно. В противном случае вам, скорее всего, или не ответят или отошлют вас в эту же тему(похожую тему с разбором задачи/на сайт аля mathprofi) или в Google/Yandex.
Предполагается, что вы знакомы с алгеброй и математическим анализом. В частности, знакомы с понятиями алгебраического выражения, функции, производной, дифференциала, интеграла. Без этих знаний, в принципе, читать все, что написано ниже, нет никакого смысла.

I. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: F(t,x,x')=0 - алгебраическое выражение, содержащее функцию, её аргумент и первую производную функции. Также уравнение первого порядка может не содержать производной, в таком случае оно обязательно будет содержать дифференциал. Все слагаемые в выражении должны быть дифференциалами в таком случае:
dx+d(x+t)=0 - дифференциальное уравнение, а dx+x+t=0 дифференциальным уравнением не является.
Замечание: Часто люди, оставлющие здесь в разделе "дифференциальное уравнение" это элементарное определение забывают. Пишут уравнение с функцией и без производных/дифференциалов. Помните, чтобы мы вам могли помочь, мы должны понять вашу задачу. Старайтесь изъясняться с помощью общепринятого языка и понятий.
Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в исходное уравнение получается тождество. В общем случае, если решение существует, то существует целое множество решений дифференциального уравнения, образующее класс решений уравнения.
Среди дифференциальных уравнений первого порядка отдельно выделяют уравнения:
  1. С разделёнными и разделяющимися переменными.
  2. Однородные уравнения.
  3. Линейные уравнения и уравнения Бернулли.
  4. Уравнения в полных дифференциалах.
Описание и методы решения:
1. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

Уравнения с разделенными переменными - это самый простой класс уравнений первого порядка. Такие уравнения имеют вид:
  1. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\color{red}N(x)x'=M(t)
  2. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\color{red}N(x)\operatorname{d}x=M(t)\operatorname{d}t
Решение уравнений с разделенными переменными получается интегрированием правой и левой части:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int N(x)\operatorname{d}x=\int M(t)\operatorname{d}t + C
Пример:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2\operatorname{d}x=t\operatorname{d}t\;\int x^2\operatorname{d}x=\int t\operatorname{d}t\;<br />
\frac{x^3}{3}=\frac{t^2}{2}+C
Последнее выражение - общий интеграл уравнения - алгебраическое выражение вида f(x,t,C)=0, выражающее зависимость x от аргумента t в неявном виде. C - произвольная константа.
***
Уравнения с разделяющимися переменными - уравнения вида:
  1. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\color{red}N(x)M(t)x'+P(x)Q(t)=0
  2. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\color{red}N(x)M(t)\operatorname{d}x=P(x)Q(t)\operatorname{d}t
Решение этого класса уравнений можно получить, если свести их к уравнениям с разделёнными переменными, разделив на P(x)M(t):
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{N(x)}{P(x)}\operatorname{d}x=\frac{Q(t)}{M(t)}\operatorname{d}t
Следует помнить, что при делении на P(x)M(t) исходного уравнения можно потерять отдельный класс решений, соответствующих решению алгебраического уравнения P(x)M(t)=0. Эти решения называются особыми.
Пример:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xydx+(x+1)dy=0\;\Rightarrow \;xydx=-(x+1)dy\;\Rightarrow \;-\frac{xdx}{x+1}=\frac{dy}{y}\\\frac{((x+1)-1)dx}{x+1}=\frac{dy}{y}\;\Rightarrow \;x-\ln|x+1|+C=\ln|y|\\y=\frac{e^{x+C}}{x+1}
Особые решения: y(x)=0, x(y)=-1.
***
Следует помнить, что уравнения с разделенными и разделяющимися переменными не всегда будет сразу представлены в виде, представленном выше. Часто требуется произвести дополнительные операции - приведение подобных, вынос общего множителя за скобку, прочее.


2. Однородные уравнения.
Функция f(t,x) называется однородной, если http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\color{red}f(\lambda t,\lambda x)=f(t,x).
Однородное уравнение - уравнение вида http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\color{red}x^'=f(t,x), где f(t,x) - однородная функция.
Решение этого класса уравнений сводится к решению уравнений с разделяющимися переменными следующим образом:
Положим в качестве http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda = \frac{1}{t}. Получим
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^'=f(\frac{t}{t},\frac{x}{t})\Leftrightarrow x^'=f(1,\frac{x}{t})
Положим x=t*u, тогда: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?tu^'+u=f(1,u)\Leftrightarrow tdu+(u-f(1,u))dt=0.
В некоторых случаях можно получить решение u(t,C) и, соответственно, x(t)=t*u(t,C). В других t(u,C) и x=t(u,C)*u (параметрическое семейство решений), C- произвольная константа.
***
Примеры:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^'=\frac{y}{x}+{e}^{\frac{y}{x}}\\y=tx\;\;\;y^'=xt'+t\;\;\;xt'+t=t+e^t\\xdt=e^tdx\Rightarrow e^{-t}=\ln C|x|\Leftrightarrow t=-\ln \ln C|x|\\y=-x\ln \ln C|x|
***
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1+{e}^{\frac{x}{y}})dx+{e}^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})dy=0<br />
\\x=ty\;\;\;dx=ydt+tdy\;\;\;(1+e^t)(ydt+tdy)+e^t(1-t)dy=0\\(t+te^t+e^t-te^t)dy+y(1+e^t)dt=0\\(t+e^t)dy=-y(1+e^t)dt\;\;\;\frac{dy}{y}=\frac{(1+e^t)dt}{t+e^t}


3. Линейные уравнения.
Линейное уравнение - это уравнение вида http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\color{red}y'+p(x)y=q(x). Это уравнение можно решить следующими методами:
1. Метод Бернулли.
Суть метода состоит в разложении искомой функции на произведение двух других - http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=u*v, и "подгонкой" их под нужный вид. В этом случае линейное уравнение будет сведено к системе из двух уравнений с разделяющимися переменными.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=vu'+uv',\; vu'+uv'+p(x)uv=q(x) \Leftrightarrow v(u'+p(x)u)+uv'=q(x). Теперь нужно получить функцию http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u(x) так, чтобы выражение http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'+p(x)u равнялось нулю. Для этого решим соответствующее уравнение с разделяющимися переменными http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'+p(x)u=0. Его решением будет http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=e^{-\int p(x)\operatorname{d}x}. Также стоит заметить, что функция u не зависит от произвольной постоянной. Теперь функцию http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v можно найти. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v=\int e^{\int p(x)dx}q(x)\operatorname{d}x. Система уравнений, о которой я писал выше имеет вид:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}u^'+p(x)u=0\\ v^'=\frac{q(x)}{u}\end{matrix}\right.
Решение исходного уравнения получим просто перемножив http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u на http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v:\; y=u(x)v(x,C)
***
2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Метод состоит в следующем: решим вместо нашего уравнения его вариант http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'+p(x)y=0. Решение записывается в виде: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=Ce^{-\int p(x)\operatorname{d}x}. Положим теперь, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C=C(x) и подставим решение уравнения с нулевой правой частью в исходное. Получим уравнение для C(x):
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'(x)e^{-\int p(x)\operatorname{d}x}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\operatorname{d}x}+C(x)p(x)e^{-\int p(x)\operatorname{d}x}=q(x)
Откуда http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\operatorname{d}x}\Leftrightarrow C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\operatorname{d}x}\operatorname{d}x, решение исходного уравнения http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C(x)e^{-\int p(x)\operatorname{d}x}. Сравните его с полученным по методу Бернулли.
***
Пример (метод Бернулли):
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^'+xy=x\;\;y=uv\;\;y^'=vu^'+uv^'\;\;vu^'+uv^'+xuv=x\\v^'+xv=0\;\;\frac{dv}{v}=-xdx\;\;v=e^{-\frac{x^2}{2}}\;\;u^'e^{-\frac{x^2}{2}}=x\Rightarrow u=e^{\frac{x^2}{2}}+C\Rightarrow y=Ce^{-\frac{x^2}{2}}+1


4. Уравнение Бернулли.
Уравнение Бернулли - это уравнение вида http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\color{red}y^'+p(x)y=q(x)y^s,\;s\in \mathbb{R},\;s\neq 1.
1. Сведение к линейному уравнению.
Это уравнение сводится к линейному следующим образом:
Домножим исходное уравнение на http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^{-s}, получим http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^'y^{-s}+p(x)y^{1-s}=q(x). Сделаем замену http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=y^{1-s},\;u^'=(1-s)y^'y^{-s}\Leftrightarrow y^'y^{-sp}=\frac{u^'}{1-s}. В результате получим уравнение вида http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{u^'}{1-s}+p(x)u=q(x), которое после домножения на 1-s станет линейным.
Случай, когда s=1 не рассматриваю, т.к. в этом случае уравнение Бернулли - уравнение с разделяющимися переменными: y'+(p(x)-q(x))y=0.
***
2. Метод Бернулли.
Помимо сведения к линейному уравнению, решить уравнение Бернулли можно методом Бернулли.
В этом случае получим http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'+p(x)u=0, \;u=e^{-\int p(x)\operatorname{d}x} и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v'u = u^sv^sq(x)\Rightarrow \frac{\operatorname{d}v}{v^s}=e^{-(s-1)\int p(x)\operatorname{d}x}q(x)\operatorname{d}x
***
Пример (сведение уравнения Бернулли к уравнению линейному):
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^'+p(x)y=q(x)y^2|:y^2\\\frac{y^'}{y^2}+\frac{p(x)}{y}=q(x)\\u=\frac{1}{y}\;\;u^'=-\frac{y^'}{y^2}\;\Rightarrow \;-u^'+p(x)u=q(x)\\u^'-p(x)u=-q(x)


5. Уравнения в полных дифференциалах.
Уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция U(x,y), такая что dU=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Для того, чтобы такая функция существовала необходимо и достаточно, чтобы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} (Этот факт доказывается в курсе математического анализа). Поясню, что это значит:
Если такая функция U существует, то её полный дифференциал имеет вид http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy. Кроме того, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{\partial}^{2} U}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial}^{2} U}{\partial y\partial x}. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{\partial U}{\partial x}, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q=\frac{\partial U}{\partial y}. Поэтому нам нужно соблюдение условия http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{{\partial}^{2} U}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial}^{2} U}{\partial y\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Решением уравнения в полных дифференциалах будет следующий интеграл: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{(x_0;y_0)}^{(x;y)}P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0
Ввиду того, что dU=0, U=const. По аналогии с определёнными интегралами: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int dC=C,\;\int_{a}^{b}dC=\int_{a}^{b}0dx=0.
Интеграл от U берётся по любой кривой, соединяющей точки http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_0;y_0) и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x;y). По этому удобнее взять ломаную ABC, где AB - отрезок, соединяющий http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_0;y_0)\;c\;(x;y_0), BC - отрезок, соединяющий http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x;y_0)\;c\;(x;y). В этом случае интеграл будет выглядеть наиболее просто:http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{x_0}^{x}P(\xi ;y_0)d\xi +\int_{y_0}^{y}Q(x;\eta )d\eta
***
Пример:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(ye^{xy}-sin(x))dx+xe^{xy}dy=0\\P(x;y)=ye^{xy}-sin(x)\;\;Q(x;y)=xe^{xy}\\\frac{\partial P}{\partial y}=e^{xy}+xye^{xy}\;\;\frac{\partial Q}{\partial x}=e^{xy}+xye^{xy}\\U=\int_{x_0}^{x}(y_0e^{\varepsilon y_0}-sin(\varepsilon ))d\varepsilon+\int_{y_0}^{y}xe^{x\eta }d\eta \\U=e^{xy_0}+cos(x)-e^{x_0y_0}-cos(x_0)+e^{xy}-e^{xy_0}\\U=e^{xy}+cos(x)-e^{x_0y_0}-cos(x_0)\\U=0\;\;e^{xy}+cos(x)+C=0\;\;C=-e^{x_0y_0}-cos(x_0)

6. Уравнения, неразрешенные относительно производной.

Формально, в этот класс можно отнести все уравнения первого порядка, если перенести все слагаемые из левой (правой) части в правую (левую) и получить уравнение вида F(x,y,y')=0. Но в этот класс я буду относить только уравнения, в которых нельзя производную выделить алгебраически, т.е. записать y'=f(x,y). Например: y=x*cos(y')+y'.
Для решения уравнений этого класса часто используется следующий метод:
Делаем замену y'=p и дифференцируем уравнение по х. Во многих случаях (хотя и далеко не всех)
эти действия позволяют свести решение нашего уравнения к уравнениям вышеописанных классов.
Так, например, можно решить уравнение, которое я дал в качестве примера выше:
p=cos(p)-xp'sin(p)+p', которое является линейным относительно x(p): x'(p-cos(p))=1-x*sin(p).
Естественно, данная замена (y'=p) не единственная. Можно применить и такую: cos(y')=p, но решать получающееся в этом случае уравнение сложнее (но в каком-нибудь другом уравнении именно эта замена может быть лучше).
***
Пример:
Рассмотрим уравнение вида y=x*f(y')+g(y'), которое называется уравнением Лагранжа. Его можно решить методом, который я кратко изложил в I.7). Сделаем замену y'=p и продифференцируем по х:
y'=f(p)+x*p'f'(p)+p'g'(p) <=> p=f(p)+x*p'f'(p)+p'g'(p) <=> p-f(p)=p'(xf'(p)+g'(p))
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p-f(p)=p^'(xf^'(p)+g^'(p))|*\frac{x^'}{p-f(p)}\\x^'=\frac{xf^'(p)+g^'(p)}{p-f(p)}\;\;\;\;\;x^'-x\frac{f^'(p)}{p-f(p)}=\frac{g^'(p)}{p-f(p)}
Последнее является линейным относительно x(p).

II. Задача Коши для уравнения первого порядка.
Задача Коши - это задача на нахождение какого-то определенного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию, называемому начальным. Геометрически - нахождения некоторой кривой, проходящей через определенную точку.
Положим, в некоторой точке x0 y, удовлетворяющее уравнению F(x,y,y')=0 равно y0. Тогда решение задачи Коши - это решение относительно C алгебраического уравнения y0=y(x0, C), где y(x,C) - общее решение уравнения.
15
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
18.10.2012, 11:40
Я подобрал для вас темы с готовыми решениями и ответами на вопрос Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (Дифференциальные уравнения):

Найти решения дифференциальных уравнений: - Дифференциальные уравнения
Найти решения дифференциальных уравнений: 1) ydx+(2\sqrt{xy}-x)dy=0 2)y-y'cosx =y^2 cosx(1-sinx)

Найти общие решения дифференциальных уравнений - Дифференциальные уравнения
1. y&quot;-2y'+5y=e^x cos2x. 2. y&quot;+y=4x cosx. 3. y&quot;-4y=t^2x sin2x. 4. y&quot;-y=2sinx-4cosx. 5. y&quot;-6y'+25y=2sinx+3cosx Срочно помогите...

Найти общие и частные решения дифференциальных уравнений. - Дифференциальные уравнения
Помогите кто может.:scratch:

Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка - Дифференциальные уравнения
уже замучился, помогите пожалуйста решить y'=y/(3*x-y^2) или хотябы подскажите каким методом решать

Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка - Дифференциальные уравнения
3. (x-y)dx+xdy=0 Заранее спасибо за помощь

Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка - Дифференциальные уравнения
5. y'+y/x=sinx; y(\pi )=1/\pi Заранее спасибо за помощь

2
cmath
Модератор
2459 / 1713 / 134
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,293
Завершенные тесты: 6
20.10.2012, 12:39  [ТС] #2
III. Уравнения, допускающие понижение порядка (сводящиеся к уравнениям первого порядка).
1. Уравнения вида F(x, y', y'')=0.
Уравнение сводится к уравнению первого порядка заменой u=y'. Получим в результате уравнение вида F(x,u,u')=0.
После, получив решение u=u(x), интегрируем его по х.


2. Уравнения вида F(y, y', y'')=0
Понижение порядка получим следующим образом:
Пусть y'=p(y), тогда http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^{''}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=pp^'(производная сложной функции).
Получили уравнение вида F(y, p, pp')=0. Теперь будем искать решение уравнения как p(y) (или же y(p), как получится).
Положим, что удалось отыскать решение p(y). Решение y(x) (или х(у)) получим, проинтегрировав уравнение http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dy}{p(y)}=dx.
Если же получили y(p):
В этом случае интегрируем уравнение вида http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y^'(p)dp}{p}=dx. После интегрирования получим или y(x) (как y(p(x))), или же параметрическое решение y(p)&x(p).


3. Уравнения в точных производных.
Уравнение в точных производных - уравнение F(x, y, y', y'')=0, которое можно переписать как http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{d}{dx}\Phi (x, \;y,\;y^')=0. Получим уравнение http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Phi (x, \;y,\;y^')=C_1, которое можно решить методами, описанными выше.
10
cmath
Модератор
2459 / 1713 / 134
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,293
Завершенные тесты: 6
29.11.2012, 10:31  [ТС] #3
IV. Уравнения высших порядков.
Дифференциальное уравнение n-ого порядка - это уравнение, старшая производная в котором имеет порядок n:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(t,x,x',...,x^{(n)})=0
Среди всех уравнений высших порядков отдельно выделяют линейные уравнения - это уравнения вида:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^{(n)}+p_1(x)x^{(n-1)}+p_2(t)x^{(n-2)}+...+p_{n-1}(t)x=f(t)
Если функция http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(t)\equiv 0, то уравнение называется однородным
Методы решения линейных уравнений разработаны для случая, когда http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_i(t)\equiv p_i=const. Тем не менее, если это условие не выполняется, можно либо найти преобразование, которое сведет уравнение к требуемому виду, либо прибегнуть к численным методам.
Решение любого линейного уравнения начинается с поиска системы специальных функций (называемых базисными), называемой фундаментальной системой решений - ФСР.
Базисные функции должны удовлетворять следующим условиям:
  • Их количество равно порядку уравнения.
  • Каждая базисная функция - решение уравнения.
  • Базисные функции линейно независимы.
Чтобы проверить базисные функции на соответствие последнему условию составлют специальный определитель, называемый определителем Вронского. Если этот определитель не равен тождественно нулю, то система функций линейно независима. Однако равенство нулю еще ни о чем не говорит. Определитель выглядит так:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}\varphi_1 (t) & \varphi_1 (t) & ... & \varphi_n (t)\\ \varphi_1' (t) & \varphi_2' (t) & ... & \varphi_n' (t)\\ \varphi_1'' (t) & \varphi_2'' (t) & ... & \varphi_n'' (t)\\ ... & ... & ... & ...\\ \varphi_1^{(n-1)} (t) & \varphi_2^{(n-1)} (t) & ... & \varphi_n^{(n-1)} (t)\end{vmatrix}
где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _i(t) - функции, которые мы проверяем на линейную независимость.
Получив ФСР, можно сразу же выписать решение однородного уравнения - оно получается как линейная комбинация базисных функций ФСР.
Решение линейного неоднородного уравнения представимо в виде суммы решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения (этот факт доказывается в курсе дифференциальных уравнений).
1. Однородные линейные уравнения
Нахождение ФСР однородного уравнения начинается с решения характеристического уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
k^{n}+p_1k^{n-1}+p_2k^{n-2}+...+p_{n-1}=0 т.е. попросту заменяем производные i-ого порядка на http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
k^i.
Решив это уравнение получим корни http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_1,\;k_2,...,\;k_n. Тут возможны следующие варианты:
  • Все корни - действительные числа, кратность каждого корня - единица.
  • Все корни - действительные числа, но есть корни с кратностью большей, чем 1.
  • Среди корней есть комплексные.
***
Первый случай довольно тривиален. Базисные функции будут иметь вид http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi_i(t)=e^{k_it}.
Общее решение уравнения http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C_1e^{k_1t}+C_2e^{k_2t}+...+C_ne^{k_nt}
Пример:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
y''-4y'+3y=0,\;\;k^2-4k+3=0,\;\;k_1=1, \;k_2=3,\;\Rightarrow y=C_1e^t+C_2e^{3t}
***
Второй уже посложнее. Для всех однократных корней соответствующие им базисные функции будут иметь вид, указанный выше. Корень кратности m даст нам m базисных функций вида http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi_i(t)=t^{p}e^{k_it}, \;p=\bar{0, \;m-1}.
Примеры:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
1. \;y''-4y'+4y=0,\;\;k^2-4k+4=0,\;\;k_1=k_2=2,\;\Rightarrow y=C_1e^{2t}+C_2te^{2t}\\<br />
2.\;y'''-5y''+8y'-4y=0,\;\;k^3-5k^2+8k-4=0,\;\;k_1=k_2=2,\;k_3=1\;\Rightarrow y=C_1e^{2t}+C_2te^{2t}+C_3e^t
***
Если же есть комплексный корень http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
k_i, то, очевидно, среди корней есть сопряженный к нему http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
k_{i+1}=\bar{k_i}. Пара таких корней даст две базисные функции http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi_i(t)=e^{\operatorname{Re}(k_i)t}\cos (\operatorname{Im}(k_i)t), \;\varphi_{i+1}(t)=e^{\operatorname{Re}(k_i)t}\sin (\operatorname{Im}(k_i)t)
Если пара имеет кратность m>1, то, аналогично предыдущему случаю, получим m пар базисных функций http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi_i(t)=t^pe^{\operatorname{Re}(k_i)t}\cos (\operatorname{Im}(k_i)t), \;\varphi_{i+1}(t)=t^pe^{\operatorname{Re}(k_i)t}\sin (\operatorname{Im}(k_i)t), \;p=\bar{0, \;m-1}
Пример:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''-4y'+13y=0,\;k^2-4k+13=0,\;k_1=2+3i,\;k_2=2-3i,\;y=C_1e^{2t}\cos 3t+C_2e^{2t}\sin 3t


2. Неоднородные уравнения со специальной правой частью.
Уравнения со специальной правой частью - это неоднородные линейные уравнения, в которых функция f(t) имеет вид:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{\alpha t}(P_n(t)\cos \beta t + Q_m(t)\sin \beta t)
где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_n(t),\;Q_m(t) - полиномы степеней n и m соответственно.
Возможны следующие варианты:
  • http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda_{1,2}=\alpha \pm i\beta - не являются корнями характеристического уравнения.
  • http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda_{1,2}=\alpha \pm i\beta - пара характеристических корней кратности p;
В первом случае частное решение будет иметь вид: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{\alpha t}(M_n(t)\cos \beta t+N_m(t)\sin \beta t), где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M_n(t),\;N_m(t) - некоторые полиномы степеней n и m соответственно. Коэффициенты полиномов при степенях t еще требуется определить. Сделать это можно так: надо подставить наше частное решение в уравнение и привести подобные. Затем получившиеся коэффициенты приравнять к нулю.
Примеры:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
1)\;y''-2y'+1=(t^2+1)e^{3t},\; k^2-2k+1=0,\;k_1=k_2=1,\;\lambda = 3\\\;\;\;\bar{y}=(At^2+Bt+C)e^{3t},\;\bar{y}'=e^{3t}(3At^2+(3B+2A)t+3C+B)\\\;\;\;\bar{y}''=e^{3t}(9At^2+(9B+12A)t+9C+6B+2A)\\\;\;\;\bar{y}''-2\bar{y}'+\bar{y}=e^{3t}(9At^2+(9B+12A)t+9C+6B+2A-2(3At^2+(3B+2A)t+3C+B)+At^2+Bt+C)=\\\;\;\;=e^{3t}(4At^2+(4B+8A)t+4C+4B+2A)=(t^2+1)e^{3t}\\\;\;\;4At^2-t^2+(4B+8A)t+4C+4B+2A-1=0\\\;\;\;x^2:\;4A-1=0\;\;\;x:\;4B+8A=0\;\;\;x^0:\;4C+4B+2A-1=0A=0.25,\;B=-0.5,\;C=0.625\Rightarrow \bar{y}=(0.25t^2-0.5t+0.625)e^{3t}\\\;\;\;y=C_1e^{t}+C_2te^{t}+(0.25t^2-0.5t+0.625)e^{3t}

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
2)\;y''+y=e^t\cos t,\;k^2+1=0,\;k_1=i,\;k_2=-i,\;\lambda=1\pm i\\\;\;\;\bar{y}=e^t(A\cos t +B\sin t),\;\;\bar{y}''=e^t(2B\cos t - 2A\sin t)\\\;\;\;\bar{y}''+\bar{y}=e^t(A\cos t +B\sin t+2B\cos t - 2A\sin t)=e^t\cos t,\;A\cos t +B\sin t+2B\cos t - 2A\sin t-\cos t = 0\\\;\;\;\cos t: \;A+2B-1=0\\\;\;\;\sin t:\;B-2A=0\\\;\;\;A=0.2,\;B=0.4\;\bar{y}=e^t(0.2\cos t+0.4\sin t)\;\;\;y=C_1\cos t + C_2 \sin t + e^t(0.2\cos t+0.4\sin t)

***
Второй случай приводит к несколько другому частному решению:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t^pe^{\alpha t}(M_n(t)\cos \beta t+N_m(t)\sin \beta t), т.е. надо еще умножить на t^p, p - кратность корня. Почему так получается, можете посмотреть в книгах Краснова, Камке и др.
Поиск коэффициентов полиномов производится также, как и в первом случае.

3. Неоднородные уравнения с произвольной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных.
<в разработке>

10
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
29.11.2012, 10:31
Привет! Вот еще темы с ответами:

Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка - Дифференциальные уравнения
4. y'+2xy={e}^{{-x}^{2}} Заранее спасибо за помощь

Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка - Дифференциальные уравнения
1. 6xdx-6ydy=2{x}^{2}ydy-3x{y}^{2}dx Заранее спасибо за помощь

Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка - Дифференциальные уравнения
2. xy'-y={y}^{3} Заранее спасибо за помощь

Найти общие и частные решения данных дифференциальных уравнений - Дифференциальные уравнения
дифуры 1го порядка: 1) y'=2x(1+y^2) 2) x^3dy - 1/2 y^2dx=0 ; y(-1)=1 3)2(x^3-1)ydy+3x^2(1+y^2)dx=0 4)2x^2dy=(x^2+y^2)dx ...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
3
Закрытая тема Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru