Найти сумму квадратов, кубов и т. д. первых n чисел, используя одно тождество с бин. коэффициентами

@Milkho · Регистрация: 24.07.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Нужно найти сумму квадратов, кубов и т. д. первых n чисел используя одно тождество с бин. коэффициентами. Для этого нужно выразить число в заданой степени через бин. коэффициент.
К примеру, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{2} = k*(k-1) + k = 2 * k(k-1)/2 + k = 2 *\begin{pmatrix}k\\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}k\\ 1\end{pmatrix}$
А как выразить следующие числа?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{3} = k*(k-1)(k-2) + ?$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{4} = k*(k-1)(k-2)(k-3) + ?$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{n} = k*(k-1)(k-2)(k-3)(...)(k-(n-1)) + ?$

Добавлено через 13 часов 31 минуту
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{3} = k(k-1)(k-2) + 3k(k-1) + k<br /> {k}^{4} = k(k-1)(k-2)(k-3) + 6 k(k-1)(k-2) + 7k(k-1) + k$

zer0mail · 04.04.2016, 12:33

Чему равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_k^3$ ?

@Milkho · 05.04.2016, 08:58 **[ТС]**

Сообственно, решение я уже нашел.
Для того, чтобы разложить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{m}$ нужно воспользоваться следующей формулой
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{m} = \sum_{i=1}^{m} i!\begin{Bmatrix}m\\ i\end{Bmatrix}\begin{pmatrix}n+1\\ i+1\end{pmatrix}$
где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{Bmatrix}m\\ i\end{Bmatrix}$ - числа Стрилинга второго рода

zer0mail · 05.04.2016, 09:21

Числа Стирлинга - это тоже ряд, включающий биномиальные коэффициенты. К чему такое извращение - представлять 1 элемент как двойной ряд?

@Milkho · 05.04.2016, 09:28 **[ТС]**

да, верно, Стирлинга. Опечатался.
К чему такое извращение? Хороший вопрос.
Это один из примеров использования (изучения) этих числовых рядов в не комбинаторном смысле.

zer0mail · 05.04.2016, 12:07

Не могу представить, в какой ситуации этот пример будет полезен. А вред очевиден - потерянное время. К тому же поиск ответов через форум даже эту мифическую пользу сводит к абсолютному нулю.

@Milkho · 05.04.2016, 17:21 **[ТС]**

Ну, во-первых, не ответов, а подсказок, а во-вторых, это я делаю не из собственных побуждений, а дабы решить поставленную задачу.

@Milkho 4 / 4 / 3 Регистрация: 24.07.2015 Сообщений: 75
		1
	Найти сумму квадратов, кубов и т. д. первых n чисел, используя одно тождество с бин. коэффициентами 04.04.2016, 00:50. Показов 1117. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Нужно найти сумму квадратов, кубов и т. д. первых n чисел используя одно тождество с бин. коэффициентами. Для этого нужно выразить число в заданой степени через бин. коэффициент. К примеру, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{2} = k(k-1) + k = 2 k(k-1)/2 + k = 2 \begin{pmatrix}k\\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}k\\ 1\end{pmatrix}$ А как выразить следующие числа? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{3} = k(k-1)(k-2) + ?$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{4} = k(k-1)(k-2)(k-3) + ?$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{n} = k(k-1)(k-2)(k-3)(...)(k-(n-1)) + ?$ Добавлено через 13 часов 31 минуту $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{3} = k(k-1)(k-2) + 3k(k-1) + k<br /> {k}^{4} = k(k-1)(k-2)(k-3) + 6 k(k-1)(k-2) + 7k(k-1) + k$ 0

zer0mail 2664 / 2239 / 240 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,141 Записей в блоге: 1
	04.04.2016, 12:33	2
	Чему равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_k^3$ ? 0

@Milkho 4 / 4 / 3 Регистрация: 24.07.2015 Сообщений: 75
	05.04.2016, 08:58 [ТС]	3
	Сообственно, решение я уже нашел. Для того, чтобы разложить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{m}$ нужно воспользоваться следующей формулой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{m} = \sum_{i=1}^{m} i!\begin{Bmatrix}m\\ i\end{Bmatrix}\begin{pmatrix}n+1\\ i+1\end{pmatrix}$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{Bmatrix}m\\ i\end{Bmatrix}$ - числа Стрилинга второго рода Миниатюры 0

zer0mail 2664 / 2239 / 240 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,141 Записей в блоге: 1
	05.04.2016, 09:21	4
	Числа Стирлинга - это тоже ряд, включающий биномиальные коэффициенты. К чему такое извращение - представлять 1 элемент как двойной ряд? 0

@Milkho 4 / 4 / 3 Регистрация: 24.07.2015 Сообщений: 75
	05.04.2016, 09:28 [ТС]	5
	да, верно, Стирлинга. Опечатался. К чему такое извращение? Хороший вопрос. Это один из примеров использования (изучения) этих числовых рядов в не комбинаторном смысле. 0

zer0mail 2664 / 2239 / 240 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,141 Записей в блоге: 1
	05.04.2016, 12:07	6
	Не могу представить, в какой ситуации этот пример будет полезен. А вред очевиден - потерянное время. К тому же поиск ответов через форум даже эту мифическую пользу сводит к абсолютному нулю. 0

@Milkho 4 / 4 / 3 Регистрация: 24.07.2015 Сообщений: 75
	05.04.2016, 17:21 [ТС]	7
	Ну, во-первых, не ответов, а подсказок, а во-вторых, это я делаю не из собственных побуждений, а дабы решить поставленную задачу. 0