Сумма

@Ellipsoid · Регистрация: 16.06.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Возможно ли доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{m=1}^{n}m^k=a_{k+1}n^{k+1}+a_kn^k+...+a_1n+a_0$ ? Здесь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n,k \in \mathbb{N}, \ a_i \in \mathbb{R}, \ i=1,2,..., k+1$ . При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=1,2,3$ это точно верно. Но как доказать в общем случае? Пробовал индукцией по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ : для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=1$ доказал, а дальше дело не пошло.

@splen · 25.08.2012, 21:58

Пусть для каждого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k \leq k_0$ существует многочлен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_k(n)$ степени не выше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k+1$ такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{m=1}^{n}m^k=S_k(n)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_k(0)=0,$ а значит, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n^k=S_k(n)-S_k(n-1).$ Отсюда получается, что для любого многочлена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(n)$ степени не выше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_0$ можно подобрать суммирующий многочлен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q(n)$ степени не выше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_0+1$ такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(n)=Q(n)-Q(n-1)$ .

Для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k = k_0+1$ имеем:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{k+1}(n^{k+1}-(n-1)^{k+1})=\frac{1}{k+1}(n^{k+1}-(n^{k+1}-(k+1) n^{k}+...+{(-1)}^{k+1}))=n^k+p(n),$

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(n)$ - многочлен степени не выше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k-1=k_0,$ для которого найдётся суммирующий многочлен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q(n)$ степени не выше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_0+1=k$ такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(n)=q(n)-q(n-1).$ Тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{k+1}(n^{k+1}-(n-1)^{k+1}) = n^k+q(n)-q(n-1),$

или

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n^k=q_1(n)-q_1(n-1),$

где

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q_1(n)=\frac{1}{k+1}n^{k+1} - q(n).$

Тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{m=1}^{n}m^k=\sum_{m=1}^{n}(q_1(m)-q_1(m-1))=q_1(n),$

т.е. при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=k_0+1$ в качестве многочлена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_k(n)$ можно принять $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q_1(n)$ , и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_k(n)$ - многочлен степени не выше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k+1.$ Шаг индукции доказан.

@Ellipsoid · 25.08.2012, 22:32 **[ТС]**

Спасибо. Буду разбираться...

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
		1
	Сумма 25.08.2012, 19:45. Показов 1187. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Возможно ли доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{m=1}^{n}m^k=a_{k+1}n^{k+1}+a_kn^k+...+a_1n+a_0$ ? Здесь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n,k \in \mathbb{N}, \ a_i \in \mathbb{R}, \ i=1,2,..., k+1$ . При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=1,2,3$ это точно верно. Но как доказать в общем случае? Пробовал индукцией по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ : для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=1$ доказал, а дальше дело не пошло. 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	25.08.2012, 21:58	2
	Сообщение было отмечено как решение Решение Пусть для каждого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k \leq k_0$ существует многочлен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_k(n)$ степени не выше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k+1$ такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{m=1}^{n}m^k=S_k(n)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_k(0)=0,$ а значит, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n^k=S_k(n)-S_k(n-1).$ Отсюда получается, что для любого многочлена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(n)$ степени не выше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_0$ можно подобрать суммирующий многочлен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q(n)$ степени не выше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_0+1$ такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(n)=Q(n)-Q(n-1)$ . Для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k = k_0+1$ имеем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{k+1}(n^{k+1}-(n-1)^{k+1})=\frac{1}{k+1}(n^{k+1}-(n^{k+1}-(k+1) n^{k}+...+{(-1)}^{k+1}))=n^k+p(n),$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(n)$ - многочлен степени не выше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k-1=k_0,$ для которого найдётся суммирующий многочлен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q(n)$ степени не выше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_0+1=k$ такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(n)=q(n)-q(n-1).$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{k+1}(n^{k+1}-(n-1)^{k+1}) = n^k+q(n)-q(n-1),$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n^k=q_1(n)-q_1(n-1),$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q_1(n)=\frac{1}{k+1}n^{k+1} - q(n).$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{m=1}^{n}m^k=\sum_{m=1}^{n}(q_1(m)-q_1(m-1))=q_1(n),$ т.е. при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=k_0+1$ в качестве многочлена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_k(n)$ можно принять $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q_1(n)$ , и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_k(n)$ - многочлен степени не выше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k+1.$ Шаг индукции доказан. 4

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	25.08.2012, 22:32 [ТС]	3
	Спасибо. Буду разбираться... 1

Сумма

Решение