Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы

Электротехника, ТОЭ

Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг: Рейтинг темы: голосов - 18, средняя оценка - 4.61
OldFedor
7444 / 4111 / 468
Регистрация: 25.08.2012
Сообщений: 11,459
Записей в блоге: 11
#1

Страсти вокруг резонанса - Электротехника

15.03.2014, 22:28. Просмотров 3386. Ответов 1
Метки нет (Все метки)

Страсти вокруг резонанса.

_Тот, кто следил за развитием темы Резонанс в цепи, думаю, сатисфакции так и не получил.
Хотя вопрос был поставлен ТС четко. Для схемы (ниже) дать ответ:

Страсти вокруг резонанса

- "А что можно сказать относительно общих клемм?
- Будет здесь какой-нибудь резонанс?
- И если будет, то как найти эту резонансную частоту?"
_Я попытался решить в общем виде, но "утонул" в преобразованиях и бросил.
Но предварительные выводы указывали на неоднозначность.
_Заинтригованные даже открыли тему в Маткаде Запутался, как карась, в неводе но, как я понял, безуспешно.

_Задача показалась мне интересной и я "нырнул" по второму разу.
_И вот, что совместными усилиями удалось получить.

_Но для начала немного теории.
_Под резонансным режимом (режимами) работы двухполюсника понимают режим
(режимы), при котором входное сопротивление двухполюсника является чисто активным.
Следовательно, для определения условий наступления резонанса следует приравнять нулю
мнимую часть комплекса входного сопротивления двухполюсника.
_Такой способ справедлив, если не пренебрегать активным сопротивлением (*)
(Бессонов, 1996 г., стр. 108., на следующей стр. показано, как влияет R на резонансную частоту).
_Особенно важно то, что даже для относительно простых схем, может быть два и более
действительных корней (Бессонов, 1996 г., с. 163, пример 54).
_Маленькая выдержка из классика, а вопросов возникает не один и не два.
"...не пренебрегать активным сопротивлением". Казалось бы, почему?
Или так - сколько может быть резонансов в схеме? И т.д.
_Последовательно попытаюсь на них ответить.

1. Влияние активного сопротивления.
Возьмем ту же схему из Бессонова.

Название: Рез2.jpg
Просмотров: 354

Размер: 6.7 Кб

Все становится ясно, если записать в общем виде выражение для мнимой части.
z1 = r1 + jxl, z2 = r2 - jxc (приравнивать xl = xc нельзя!).

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ze =\frac{z1z2}{z1 + z2}=\frac{(r1 + jxl)(r2 - jxc)}{r1+r2 +j(xl-xc)}=\frac{(r1 + jxl)(r2 - jxc)[r1+r2 -j(xl-xc)]}{(r1+r2)^2 +(xl-xc)^2}

Поскольку http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(r1+r2)^2 +(xl-xc)^2\neq 0, (1) будем рассматривать только числитель.

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(r1 + jxl)(r2 - jxc)[r1+r2 -j(xl-xc)] = ...= r2^2xl-r1^2xc-xl^2xc+xlxc^2 =...=0

_Откуда
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\omega ^2}_{rez}= \frac{r1^2C-L}{LC(r2^2C-L)}, (1)

_Как видно оба r входят в выражение для резонансной частоты.
_Это подтверждает тезис (*).
Если правая часть отрицательная, то, очевидно, резонанса нет.
_Интересно, что если r1= r2 = 0, то мы получаем всем известное выражение

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\omega ^2}_{rez}= \frac{1}{LC}, (2).

_Вывод 1. Если в параллельной цепи с C или L есть R, то оно влияет на резонансную частоту.
И это тем более верно для сложных схем соединения RLC.
Внимательные могут сделать правильный вывод -
настройку в резонанс можно осуществлять активным сопротивлением (!)

_2. А сколько может быть резонансов в схеме? (чуть отвлекусь, пригодится далее **)
_Известно, что одну и туже схему можно путем эквивалентных преобразований
представить несколькими различными способами и при этом относительно зажимов
(двухполюсник) они (схемы) будут вести себя одинаково. Одинаковые токи, потребляемые P и Q и т.д.
(подробно рассматривается в теории цепей - в разделах анализ и синтез двух- (четырех) полюсников и
в разделе фильтры).
_Кстати, всем известное преобразование - получение эквивалентной проводимости Ye = Ya + jYb
ни что иное как представление, например, двух параллельный ветвей в виде эквивалентной цепи
с последовательно соединенными элементами.
_Действительно,

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ze = 1/Ye = \frac{Ya - jYb}{Ya^2 + Yb^2} =\frac{Ya}{q^2}-j\frac{Yb} {q^2}= Za-jZr, (3)

где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q^2=Ya^2 + Yb^2.

_А (3) не что иное как последовательно соединенные активное и реактивное сопротивления.
Можно также мнимую часть приравнять к нулю и Вы получите (1).
И так. Как бы мы не представляли схему с двумя L и C, резонансная частота будет одна.

_Рассмотрим еще одну простую схему. Она отличается от схемы ТС отсутствием R2 и C2.
Обратите внимание, резонансный контур здесь идеальный.

Страсти вокруг резонанса

_Очевидно, что резонанс токов здесь точно будет на частоте (2).
_И все? Ан нет!
Путь тот же. Записываем общее выражение для Ze и для мнимой части Zr получаем...
относительно http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega уравнение третьей степени. Т.е. теоретически возможны три (!) резонансные частоты
(вывод предлагаю сделать самостоятельно, при тех параметрах действительных корня два)
_Это подтверждается следующим рисунком, точки 2 и 3.

Страсти вокруг резонанса

_Увеличим т. 2

Страсти вокруг резонанса

_График мнимой части Zr показывает http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\omega ^2}_{rez2} \approx 33170 , Гц
Все строго по теории - мнимая часть равно нулю.
Но, что это чуть левее? - да это тоже резонанс, причем токов и явно выраженный (32470 Гц)
Но ведь Zr ни коим образом нам об этом "не говорит".

_Вывод 2. Следует различать резонансы в отдельных ветвях схемы и на общем эквивалентном сопротивлении.
_Это подтверждает (**) - путем эквивалентных преобразований мы
можем получать различную топологию одной схемы и различные резонансные частоты, в основном частные.

_Определение резонанса, данное выше, относится как к мнимой части Im(Ze), так и к Zr любой из ветвей.
Но надо иметь ввиду, что вклад частного резонанса в общее сопротивление может быть и незначительным.
_Анализируя только Im(Ze) Вы рискуете пропустить частные. Конечно, за исключением
очевидных участков схем, где явно есть тот или иной резонанс.
_Но факт имеет место быть - резонанс т.1 только через Im(Ze) не будет найден. Почему?
Все просто. Резонанс токов - и ветвь R1L1C1 как бы исключается из общего сопротивления.
Но на этой частоте xL2 уже и так значительно.
Вот...это частный или вторичный резонанс и именно его мы первым делом и предсказывали.
_Но что-то интересное есть в области точки 3. Разглядеть трудновато, однако кривая фазы эквивалентного
импеданса дает намек на область 63-68 кГц (точнее 64450 Гц, если увеличить).

_Вывод 3. Для большей достоверности вместе с графиком Im(Ze) следует строить график Fi[Im(Ze)/Re(Ze)],
который позволит точно установить наличие резонанса (по большому счету, только его и надо).

_Ну а теперь предмет спора - схема ТС (первый рисунок в посте).
Основные выкладки я опущу (их много, повторить можно конечно, но уверяю Вас - не просто).
_Как ранее упоминал, относительно частоты уравнение получается 6-й степени.

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a = R1^2L2C1^2
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b = - R2^2C1
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c = L2
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d = - L2^2C1
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega1^2 = 1/(L1C1)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega2^2 = 1/(L2C2)

_Коэффициенты при степенях http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega:

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega^6: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a + d
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega^4: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-a(2\omega1^2 +\omega2^2)+b+c-d(2\omega2^2 +\omega1^2)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega^2: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a\omega1^4 +2a\omega1^2\omega2^2-b\omega1^2-c\omega2^2+d\omega2^4+2d\omega1^2\omega2^2
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega^0: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-a\omega1^4\omega2^2 -d\omega1^2\omega2^4

_ Повезло, что нет нечетных степеней, поэтому будем решать как кубическое уравнение относительно http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega^2.
_Привожу скан решения

Страсти вокруг резонанса

_Итого:

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\omega^2}_{1} = 3213311031,53
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\omega^2}_{2} = 90125617572,7
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\omega^2}_{3} = 42747627565,3

_Или

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{1} = 9021,9
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{2} = 47779,8
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{3} = 32906,1

_Коротко о решении.
_Решать в лоб уравнение с такими коэффициентами бесполезно.
Как для почти коллинеарных прямых - решение в бесконечности.
Сначала было моделирование, расчет в Excel, нахождение области существования корней.
(Помогли коллеги с кафедры "Прикладная математика").

_Ну что, все?! Нет!
_Смотрим на графики.

Страсти вокруг резонанса

Точки 1, 3 и 4 - основные. т. 2 - частный резонанс.
Расчетные точки совпадают с моделированием.

_Вывод 4.
_В сложной схеме возможны частные резонансы на эквивалентных (**) реактивностях,
которые не всегда можно обнаружить в явном виде на графике http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Im(Zr) = f(\omega ).
_Поэтому на вопрос "Какие резонансы будут в схеме?" следует уточнять -
"Все возможные или относительно зажимов?"


Итог по задаче ТС.
Да, будут резонансы. Кроме рассчитанных Вами, еще два.

_Уф-ф-ф! Теперь все. Теория есть в закрепленных темах.
_Надеюсь, что кому-то пригодится.

_С уважением, усталый OldFedor.

P.S. Последний штрих - проверка на физмодели (Multisim 11, Резонанс.rar)

Страсти вокруг резонанса
7
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
15.03.2014, 22:28
Здравствуйте! Я подобрал для вас темы с ответами на вопрос Страсти вокруг резонанса (Электротехника):

Моделирование резонанса в EWB - Электротехника
Здравствуйте. Подскажите почему значение измерительных приборов постоянно изменяется. Если у кого есть возможность, пришлите...

Изучение резонанса напряжений - Электротехника
Из опыта по изучению резонанса напряжений построили графики зависимости UL, Uc, cos(ф), I от емкости конденсатора. В теории совпадение...

Исследование резонанса напряжений - Электротехника
ща тупые вопросы пойдут В общем, на защите лабораторной работы преподаватель задал мне два вопроса, которые вогнали меня в полнейший...

Записать условие резонанса токов - Электротехника
помогите записать условие резонанса токов

ТОЭ. Исследование резонанса токов - Электротехника
Вопрос такой, по 1 закону Кирхгофа все три графика должны обратиться в 0. А у меня они как видно, не обращаются. Объясните пожалуйста почему

Параметры цепи в режиме резонанса - Электротехника
Ребяточки, нужна помощь в решении задач. В электронике не понимаю ничего, а решить надо :) Поможет кто? К зажимам круга (рис. 12)...

1
raxp
10165 / 6551 / 477
Регистрация: 28.12.2010
Сообщений: 21,166
Записей в блоге: 1
15.03.2014, 22:36 #2
OldFedor, благодарю за труд и поддержку раздела.
0
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
15.03.2014, 22:36
Привет! Вот еще темы с ответами:

Найти токи и установить тип резонанса - Электротехника
Кaждый из oдинaкoвых кoнтурoв двухкoнтурной связанной cиcтемы настроен на резонанс R1=R2=5 Ом, η=0,8, P2=10кВт. Найти токи I1 и I2....

Создать модель движения Солнца вокруг орбиты, Земли вокруг Солнца, Луны вокруг земли - Visual Basic
Вот есть набросок, что дальше? :help: Const pi = 3.14 Dim intRev As Single Private Sub Command1_Click() BackColor = vbBlue ...

Пики резонанса - Matlab
Ребята, смоделировал, но тут такая проблема: На графике показаны резонансные пики красными кружечками (Ось х- энергия, Ось y-коэффициент...

Как определить частоту резонанса по графику - MathCAD
Пожалуйста помогите найти частоту резонанса по графику, не используя функцию trace. После БПФ нахожу максимальное значение по шкале Y,...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
2
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2017, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru