Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Функциональный анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.80/5: Рейтинг темы: голосов - 5, средняя оценка - 4.80
Xo6ut
101 / 88 / 75
Регистрация: 04.11.2011
Сообщений: 1,785
1

Экстремаль функционала

24.12.2015, 23:13. Просмотров 881. Ответов 5
Метки нет (Все метки)

Подскажите нужно найти экстремаль функционала
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(y)=\int_{0}^{1}y'^2dx
y(0)=1
y(1)=15/4
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}(y-y')^2=\frac{15}{12}\
Я нашел альфы http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm \sqrt{\frac{\lambda }{\lambda +1}}
И тут по идее нужно рассмотреть 2 случая(больше и меньше 0) Когда больше, это решение с обычными экспонентами, а если меньше, то как будет выглядеть y?
0
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
24.12.2015, 23:13
Ответы с готовыми решениями:

Найти норму функционала
Здравствуйте. Суть задачи. Найти норму функционала на пространстве L1 ...

Что дает нахождение минимума функционала
Всем привет, Пытаюсь разобраться в этой статье:...

Как найти вариационную производную для произвольного функционала?
Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, как найти вариационную производную для...

Найти экстремаль функционала
Прошу помощи. Необходимо найти экстремаль функционала. В моем решении...

Вариационное исчисление - найти экстремаль
Здравствуйте, есть задание, хотелось бы узнать правильно делаю или нет....

5
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,186
Записей в блоге: 2
29.12.2015, 23:18 2
Xo6ut, Вы знакомы с уравнением Эйлера?

Не по теме:

получилось, что функционал достигает минимума на экстремали http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{1}{14}x+1.

0
DocC
337 / 66 / 37
Регистрация: 22.12.2010
Сообщений: 138
06.01.2016, 23:12 3
Подинтегральное выражение зависит только от y'. - Это один из простейших случаев интегрируемости (для уравнений Эйлера) Собственно вид экстремалей для такого функционала уже известны людям:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = {C}_{1}t + {C}_{2} (где константы находятся из граничных условий)
Ну давайте выведем их вид для тренировки.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L=L(y^{\prime })

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dL}{dy^{\prime }}=0

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L(y^{\prime })|_{t}=L_{y^{\prime }y^{\prime }}y^{\prime \prime }=0

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^{\prime \prime }=0

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^{\prime }=C_{1}

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C_{1}t+C_{2}

Наши граничные условия дают следующую систему уравнений:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}1=0\ast C_{1}+C_{2} \\ \frac{15}{4}=1\ast C_{1}+C_{2}\end{matrix}\right.
или
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
\left\{\begin{matrix}<br />
1=C_{2} \\ <br />
\frac{15}{4}=C_{1}+C_{2}<br />
\end{matrix}\right.<br />
Корни для решения данной системы:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{C}_{1} = \frac{11}{4}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{C}_{2} = 1
Итого экстремаль имеет вид:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = \frac{11}{4}x + 1
0
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,186
Записей в блоге: 2
07.01.2016, 10:11 4
DocC, а ничего, что Ваша экстремаль не удовлетворяет краевым условиям? )
0
DocC
337 / 66 / 37
Регистрация: 22.12.2010
Сообщений: 138
07.01.2016, 12:06 5
Igor, прошу прощения? Можете указать с какого места я пошёл по неверной дорожке, если не сложно? - самому интересно, давно уже с экстремалями не практиковался. 1 не_терминант (о задаче Больца не идёт речь), 2 условия. Вроде всё.
Вот, например, проверю доставляется ли минимум (глобальный) в функционал F
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^{\ast }={C}_{1}t+{C}_{2}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^{\ast \prime }={C}_{1}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^{\ast \prime \prime }=0
Возьмём приращение (произвольное)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h(u)\in C^{1} (из совокупности непрерывно дифф. функций, для которых норма ищется как максимум из y(x) и y'(x))
При этом, знаем, что разность между парами функций на концах равна нулю, т.е.:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h(0)=h(1)=0
Исследуем изменение значения функционала, учитывая то, что указано выше:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
F(y+h)-F(y)=\int\limits_{0}^{1}(y^{\prime }+h^{\prime<br />
})^{2}dx-\int\limits_{0}^{1}(y^{\prime<br />
})^{2}dx=2\int\limits_{0}^{1}y^{\prime }h^{\prime<br />
}dx+\int\limits_{0}^{1}(h^{\prime })^{2}dx\geq 2\int\limits_{0}^{1}y^{\prime<br />
}h^{\prime }dx
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
2\int\limits_{0}^{1}y^{\prime }h^{\prime }dx=2\int\limits_{0}^{1}y^{\prime<br />
}dh=2y^{\prime }h|_{0}^{1}-2\int\limits_{0}^{1}y^{\prime \prime }hdt=2y^{\prime<br />
}(h(1)-h(0))=0
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
F(y^{\ast }+h)\geq F(y^{\ast })\rightarrow y^{\ast }(u) доставляет глобальный минимум
0
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,186
Записей в блоге: 2
07.01.2016, 18:33 6
DocC, а, нет, все хорошо. Прошу простить. )

Не по теме:

P.S. это я ошибся в вычислениях. (

1
07.01.2016, 18:33
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
07.01.2016, 18:33

Минимизация функционала
Добрый день! И всё-таки жизнь столкнула с математикой :) - экспериментируя с...

Экстремали функционала.
Доброго... времени суток... прошу помощи знатоков ... как в свое время не...

Оптимизация функционала
Добрый день! Подскажите, пожалуйста,как с помощью MatLab решить такую задачу...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
6
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru