Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Функциональный анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
 
Рейтинг 5.00/8: Рейтинг темы: голосов - 8, средняя оценка - 5.00
Sh@dow777
16 / 16 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 710
1

Решение уравнения методом сжимающих отображений

03.01.2016, 12:03. Просмотров 1543. Ответов 20
Метки нет (Все метки)

Привет всем.
Собственно, задание в сабже. Уравнение: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (t)=\frac{1}{8}\int_{0}^{1}(t+3)(1+{s}^{2})\varphi (s)ds+3. Я так понял, что это уравнение Фредгольма второго рода.
Проверил на сжимаемость: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=max\left|(t+3)(1+{s}^{2} \right|(не понял, как тут корректно в Латексе максимум показать). Функция рассматривается на отрезке [0, 1], и максимум, значит, будет достигаться при t = 1, s = 1. Тогда M = 8, и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\lambda  \right|< \frac{1}{M(b-a)}, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{8}<\frac{1}{8}.
Так вот вопрос такой. Выходит, это уравнение нельзя решить методом сжимающих отображений? Или я М неверно нашел? Или я вообще не то делаю?

Не по теме:

3 вопроса получилось:D



Добавлено через 17 минут
Вообще у меня на руках методичка по функану с кучей определений и теорем, и в ней есть теорема про принцип сжимающих отображений. Но как решать интегральные уравнения с помощью него, не написано Поискал в инете, нашел метод последовательных приближений, так понял, что это одно и то же, и использовал его

P.S. Можете посоветовать какую-нибудь толковую книжку по функану?
0
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
03.01.2016, 12:03
Ответы с готовыми решениями:

Принцип сжимающих отображений
Применение принципа сжимающих отображений к трансцендентным уравнениям - такой...

Решение уравнения численным методом
Всем привет! Помогите пожалуйста решить следующее уравнение численным методом

Решение уравнения методом замены переменной
Здраствуйте,прошу помочь разобраться с уравнением. ...

Решение уравнения
Помогите подробно решить пример, я так понимаю что здесь надо найти кратное...

Решение линейного уравнения
Добрый день! Подскажите пожалуйста, как решить уравнение вида:...

20
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,185
Записей в блоге: 2
03.01.2016, 20:31 2
Sh@dow777, скачайте книжку Краснова "Интегральные уравнения. Введение в теорию", 1975.
Там есть необходимое по данному вопросу.
1
Sh@dow777
16 / 16 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 710
04.01.2016, 06:52  [ТС] 3
Igor, Вот взгляните на мой ход решения, исходя из книги(изображение):
Решение уравнения методом сжимающих отображений


Верно ли я решаю или нет? Продолжать решение? Просто не понял одной фишки. В примере книги за начальную функцию берется http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (t)=f(t)=1(ну у меня это 3), подставляется в интеграл, вычисляется, и выходит http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}^{2}+1. А потом берется функция http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (t)=2{t}^{2}+1.....почему http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2{t}^{2}, а не http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}^{2}? Не могу понять
0
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,185
Записей в блоге: 2
04.01.2016, 09:32 4
Sh@dow777, в том и дело, что это всего лишь пример - автор берет функции с потолка.
P.S. А Вам что нужно найти? Неподвижную "точку"?
1
Sh@dow777
16 / 16 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 710
04.01.2016, 12:21  [ТС] 5
Igor, Задание: решить уравнение методом сжимающих отображений. Ну т.к. неподвижная точка - и есть единственное решение уравнения, значит, нужно найти ёё
Решение уравнения методом сжимающих отображений

Вот почему он во второй раз берет не http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}^{2}+1, а http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2{t}^{2}+1? Вот этого я только не понял.
0
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,185
Записей в блоге: 2
04.01.2016, 12:32 6
Sh@dow777, а первое со вторым никак не связаны - это независимые примеры. Вы дальше почитайте книжку.
1
Sh@dow777
16 / 16 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 710
04.01.2016, 12:55  [ТС] 7
Igor, Читал. Дальше уже идет метод последовательных приближений, которым я сразу и пользовался.
Цитата Сообщение от Sh@dow777 Посмотреть сообщение
Проверил на сжимаемость: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=max\left|(t+3)(1+{s}^{2} \right|(не понял, как тут корректно в Латексе максимум показать). Функция рассматривается на отрезке [0, 1], и максимум, значит, будет достигаться при t = 1, s = 1. Тогда M = 8, и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\lambda \right|< \frac{1}{M(b-a)}, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{8}<\frac{1}{8}.
Так вот вопрос такой. Выходит, это уравнение нельзя решить методом сжимающих отображений? Или я М неверно нашел? Или я вообще не то делаю?
Вот я спрашивал про правильность моего решения.
Но я так понял, что эти методы - не одно и то же В общем, я окончательно запутался

Не по теме:

3 курса проучился, функан появился только в этом семестре, и на мой взгляд, он сложнее и страшнее матана, диффуров, и т.д.:D

0
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,185
Записей в блоге: 2
04.01.2016, 13:14 8
Sh@dow777, продолжайте дальше. Начали верно.
0
Sh@dow777
16 / 16 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 710
04.01.2016, 13:22  [ТС] 9
Igor, В каком из методов правильно начал? Если в методе последовательных приближений, то у меня ж не выполняется условие сжимаемости http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{8} < \frac{1}{8}.
А если вы про метод сжимающих отображений, то каким образом тогда нужно функции подбирать?
0
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,185
Записей в блоге: 2
04.01.2016, 17:03 10
Цитата Сообщение от Sh@dow777 Посмотреть сообщение
В каком из методов правильно начал?
принцип сжатых отображений не дает решения интегрального уравнения.
Цитата Сообщение от Sh@dow777 Посмотреть сообщение
Если в методе последовательных приближений, то у меня ж не выполняется условие сжимаемости .
Вы выяснили сжимаемость оператора. Теперь используйте метод последовательных приближений для решения уравнения.
Начните с http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\varphi }_{0}(t)=0.
1
Том Ардер
Модератор
Эксперт по математике/физике
3829 / 2441 / 327
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 4,458
04.01.2016, 19:14 11
Лучший ответ Сообщение было отмечено cmath как решение

Решение

Ядро интегрального оператора http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?K(t,s)=(t+3)(1+s^2) - вырожденное, поэтому уравнение сводится к алгебраическому:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c=\int_{0}^{1}(1+s^2)\varphi (s) ds
где
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (t)=c\lambda (t+3)+3,\; \lambda =\frac{1}{8}

Другой способ:
Методом последовательных приближений можно получить ряд - разложение по степеням http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98...BD.D0.B8.D1.8F
2
Sh@dow777
16 / 16 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 710
05.01.2016, 05:46  [ТС] 12
Том Ардер, Вот я использую метод последовательных приближений.
Первое приближение = 3.
Второе = http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{t+9}{2}.
Третье = http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{3(t+7)}{4}
Я решил найти 4-ое приближение и получилось http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{121t+747}{128}!!!
Где тут закономерность какая-то?
0
cmath
Модератор
2512 / 1730 / 151
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,325
Завершенные тесты: 6
08.01.2016, 06:11 13
Цитата Сообщение от Sh@dow777 Посмотреть сообщение
Где тут закономерность какая-то?
Коэффициент при t к единице стремится, не? Найдите 5-ое приближение, а затем и 6-ое, если не понятно. Рекомендую после каждой итерации переписать результат с использованием десятичных дробей. К чему стремится коэффициент при нулевой степени я пока не понял.
1
Sh@dow777
16 / 16 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 710
08.01.2016, 06:32  [ТС] 14
cmath, Не, просто нужно же подытожить из нескольких приближений, чему равна http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\varphi }_{n}(t), чтоб найти от нее предел. А я не могу понять, как изменяются приближения Четвертое вообще каким-то большим получилось.
0
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,185
Записей в блоге: 2
08.01.2016, 20:35 15
Лучший ответ Сообщение было отмечено cmath как решение

Решение

Sh@dow777,

если Вы не знакомы с тем фактом, который привел Том Ардер, то можно так попробовать (закономерность, действительно, не очень прослеживается).

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
\frac{t+9}{2}=4\cdot \frac{t+3}{8}+3,\ \frac{3(t+7)}{4}=\frac{3(t+3)+12}{4}=6\cdot \frac{t+3}{8}+3,\ \frac{121t+747}{128}=\frac{121(t+3)+384}{128}=\frac{121}{16}\cdot \frac{t+3}{8}+3,\ ...,\ f(n)\cdot \frac{t+3}{8}+3,\ ...

Мы знаем, что предел от http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (n) должен существовать. Поэтому:

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
\varphi (t)=\lim_{n\rightarrow \infty }\varphi (n)=\lim_{n\rightarrow \infty }[f(n)\cdot \frac{t+3}{8}+3]=C\cdot \frac{t+3}{8}+3.

Осталось подставить в уравнение и найти http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C.
2
Sh@dow777
16 / 16 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 710
09.01.2016, 12:08  [ТС] 16
Igor, У меня получилось, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C=\int_{0}^{1}(1+{s}^{2})\varphi (s)ds, как и писал Том Ардер. Но ведь функция http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (s) неизвестна. Или решать интеграл, не обращая на нее внимания?
1
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,185
Записей в блоге: 2
09.01.2016, 12:19 17
Лучший ответ Сообщение было отмечено cmath как решение

Решение

Sh@dow777, да, верно.
Цитата Сообщение от Sh@dow777 Посмотреть сообщение
Но ведь функция неизвестна.
Почему же? http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (s)=C\cdot \frac{s+3}{8}+3.
1
Sh@dow777
16 / 16 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 710
10.01.2016, 06:44  [ТС] 18
Igor, У меня получилось, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C=\frac{128}{13}, ну и ответ, понятно, какой
0
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,185
Записей в блоге: 2
10.01.2016, 08:39 19
Sh@dow777, да, именно так.
1
Sh@dow777
16 / 16 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 710
10.01.2016, 08:41  [ТС] 20
Igor, Спасибо вам огромное!
0
10.01.2016, 08:41
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
10.01.2016, 08:41

Найти решение системы уравнения
а)по формулам крамера б)с помощью обратной матрицы...

Решение уравнения с двумя неизвестными
помогите решить... 9(x в 2)-16(у в 2)+90х+32у-367=0

Решение тригонометрическо-логарифмического уравнения
Прошу помощи в решении вот такого простого на вид уравнения ...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
20
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru