@zloi_templar

Доказать, что Производная Фреше следующего оператора имеет вид:
Оператор F(y)=y''+f(x,y,y')
Производная Фреше F'(y)=d^2(y)/(dx)^2+(df/dy')dy/dx+df/dy
Первое слагаемое - вторая производная
Делать сказано по определению.
Я всегда делал только с явными функциями, тут не могу понять, как делать c f.
вот пытаюсь через определение производной расписывать
но как то непонятно, ведь идет приращение сразу по нескольким аргументам
Наверное, это очень легко, но вот я в ступоре
ниже мои действия

0

@zloi_templar

Переписал в следующем виде
проверьте на правильность, пожалуйста
мне кажется так
с ответом сошлось)

0

@helter

Нууу... Сразу понятно, что человек плохо понимает, что пишет.

Производная Фреше ― это ограниченный линейный оператор. Чтобы её считать, нужно с пространствами определиться и т. п. Ну ладно, вы формально считаете, так тоже можно. Потом всё равно надо доказывать в конкретных пространствах, но хотя бы формула будет.

В первой строке не равенство. Нужно писать
F(y+h) - F(y) = F'(y)h + o(h)
Где o(h) вы по необходимости понимаете формально. Но надо выделить главную часть приращения отображения.
Вторая и третья строки ― тоже o(h) добавить.
Четвёртая строка ― ерунда. F'(y)h ― это не произведение функций, а применение оператора к вектору. Поэтому делить на h нельзя. Притворимся, что этой строки не было.
Пятая ― нормально, хотя не очень понятно, как она берётся из третьей.
Что такое k, непонятно. Просто вместо h можно поставить δy, особого смысла в этом нет, просто единый символ.

Имело смысл просто расписать приращение и выделить линейную часть:

Здесь я просто воспользовался определением дифференцируемости для f в обычном смысле и понадеялся, что то, что остаётся от дифференциала, действительно будет o(h) в интересующих меня пространствах.

0

@zloi_templar

helter, спасибо, действительно, я неаккуратно опустил о(h), понятно, что оно там должно быть

0

@helter

Значит, это неверно:
Ну и хорошо.

0