Доказательство, что выражение является метрикой. Неравенство треугольника

@UncleMikle · Регистрация: 25.04.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Нужно доказать, что выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho(x,y) = \frac{|x-y|}{1 + {|x-y|}^{2}}$ является метрикой на вещественной прямой и,если является, доказать полноту метрического пространства. Возникла проблема при решении неравенства треугольника.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{|x-y|}{1 + {|x-y|}^{2}} \leq \frac{|x-z|}{1 + {|x-z|}^{2}} + \frac{|z-y|}{1 + {|z-y|}^{2}}$

Пробовал делать замену и разложить: x-z = a, z - y = b => x-y=a+b

Получил: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{|a+b|}{1 + {|a+b|}^{2}} \leq \frac{|a|}{1 + {|a|}^{2}} + \frac{|b|}{1 + {|b|}^{2}}$

Но не помогло и я не смог придти к окончательному решению......

С полнотой тоже проблемы. Буду благодарен за помощь.

@Igor · 04.12.2016, 20:39

UncleMikle, ну это не метрика на самом деле. Возьмите, к примеру,

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=n+1,\ y=n,\ z=0,\ n\in \mathbb{N}.$

Тогда для достаточно большого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{|x-y|}{1+{|x-y|}^{2}}=\frac{1}{2}\ >\ \frac{|x-z|}{1+{|x-z|}^{2}}+\frac{|z-y|}{1+{|z-y|}^{2}}=\frac{n+1}{1+{(n+1)}^{2}}+\frac{n}{1+{n}^{2}}.$

@UncleMikle · 04.12.2016, 20:59 **[ТС]**

Сразу же задам глупый вопрос. А откуда мы знаем что сумма этих дробей будет меньше 1/2 ?

@Igor · 04.12.2016, 21:09

Сообщение от UncleMikle

А откуда мы знаем что сумма этих дробей будет меньше 1/2 ?

UncleMikle, ну если уж совсем в лоб, то правая часть стремится к нулю при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\rightarrow \infty.$ Это уж Вы должны знать наверняка.

@UncleMikle · 04.12.2016, 21:30 **[ТС]**

Оооой, точно, уже голова не работает совсем) Спасибо!!!

@UncleMikle 1 / 1 / 1 Регистрация: 25.04.2015 Сообщений: 27
		1
	Доказательство, что выражение является метрикой. Неравенство треугольника 04.12.2016, 19:16. Показов 3155. Ответов 4 Метки метрика (Все метки) Нужно доказать, что выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho(x,y) = \frac{\|x-y\|}{1 + {\|x-y\|}^{2}}$ является метрикой на вещественной прямой и,если является, доказать полноту метрического пространства. Возникла проблема при решении неравенства треугольника. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\|x-y\|}{1 + {\|x-y\|}^{2}} \leq \frac{\|x-z\|}{1 + {\|x-z\|}^{2}} + \frac{\|z-y\|}{1 + {\|z-y\|}^{2}}$ Пробовал делать замену и разложить: x-z = a, z - y = b => x-y=a+b Получил: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\|a+b\|}{1 + {\|a+b\|}^{2}} \leq \frac{\|a\|}{1 + {\|a\|}^{2}} + \frac{\|b\|}{1 + {\|b\|}^{2}}$ Но не помогло и я не смог придти к окончательному решению...... С полнотой тоже проблемы. Буду благодарен за помощь. 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	04.12.2016, 20:39	2
	Сообщение было отмечено UncleMikle как решение Решение UncleMikle, ну это не метрика на самом деле. Возьмите, к примеру, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=n+1,\ y=n,\ z=0,\ n\in \mathbb{N}.$ Тогда для достаточно большого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\|x-y\|}{1+{\|x-y\|}^{2}}=\frac{1}{2}\ >\ \frac{\|x-z\|}{1+{\|x-z\|}^{2}}+\frac{\|z-y\|}{1+{\|z-y\|}^{2}}=\frac{n+1}{1+{(n+1)}^{2}}+\frac{n}{1+{n}^{2}}.$ 2

@UncleMikle 1 / 1 / 1 Регистрация: 25.04.2015 Сообщений: 27
	04.12.2016, 20:59 [ТС]	3
	Сразу же задам глупый вопрос. А откуда мы знаем что сумма этих дробей будет меньше 1/2 ? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	04.12.2016, 21:09	4
	Сообщение от UncleMikle А откуда мы знаем что сумма этих дробей будет меньше 1/2 ? UncleMikle, ну если уж совсем в лоб, то правая часть стремится к нулю при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\rightarrow \infty.$ Это уж Вы должны знать наверняка. 1

@UncleMikle 1 / 1 / 1 Регистрация: 25.04.2015 Сообщений: 27
	04.12.2016, 21:30 [ТС]	5
	Оооой, точно, уже голова не работает совсем) Спасибо!!! 0

Доказательство, что выражение является метрикой. Неравенство треугольника

Решение