@pcmax

привет всем...
эту тему подымал нераз на других форумах, но к сожалению ответа не получил. решли попыать счастья тут.
если можете, то будьте добры и объясните мне напальцах, в чем отличие отображения от соответствия?
как связаны Декартово произведение и отображение?

0

@3D Homer

Согласно какому учебнику?

2

@helter

Соответствие — нет такого термина. Это слово, которое употребляется в бытовом смысле.

Отображение — фундаментальное понятие теории множеств и дисциплин, строящихся поверх теории множеств. В определённых контекстах отображения могут называть другими словами: функция, оператор, функционал.

В школе дают примерно такое «определение»: отображение множества X во множество Y — это правило (закон, соответствие), по которому каждому элементу множества X сопоставляется единственный элемент множества Y. На самом деле это не математическое определение, а описание на бытовом языке интуиции, стоящей за понятием «отображение». Потому что «правило», «закон», «соответствие» не термины, а просто слова, понимаемые в повседневном смысле.

Ещё в школе проходят, что отображения можно задавать таблицами. В верхней строке выписывает все элементы множества X, под ними подписывает соответствующие элементы множества Y.

Вот этот табличный способ можно обобщить до строгого определения функции как подмножества декартова квадрата. Потому что что из себя представляет такая таблица? По сути ― множество пар «ключ : значение», где ключ пробегает без повторения всё множество X, а значения принадлежат Y. Мы знаем, что упорядоченные пары, в которых первый элемент принадлежит множеству X, а второй ― множеству Y, образуют декартово произведение X×Y. Это мотивирует определение:

Отображением множества X в множество Y называется такое подмножество (обозначим его f) декартова произведения X×Y, что для любого x ∈ X существует единственный y ∈ Y, такой, что (x, y) ∈ f.

Тот y, который существует и единственный, можно обозначить f(x), и обозначение получается корректное.

1

@pcmax

Вы извините пожалуйста но Вы пишите :Соответствие — нет такого термина.
а после: отображение множества X во множество Y — это правило (закон, соответствие)

я уже этой темы касался, и в учебнике написанно, что соответствие-это подмножества Декартово произведения.
вобщем я начитался и запутался и обратился к Вам.
термин есть, и есть отличие отображения от соответствия, но я его не могу правильно понять.
ну помогите уже

Добавлено через 1 минуту
да любому, лишь бы понять . возьмите любой учебник в котором автор сам понимает, что пишет

0

@helter

Читайте внимательно. Слово «определение» в скобках, потому что это наивное описание, а не определение. Определение — ниже, в нём никаких соответствий нет.

Нестандартная терминология. Подмножества декартова произведения обычно называют отношениями.

Отношение ―― произвольное подмножество X×Y. Функция ― только такое отношение, что для любого x ∈ X существует единственный y ∈ Y, такой, что (x, y) принадлежит этому отношению. То есть функция ― частный случай отношения.

Добавлено через 6 минут
Посмотрел в Виноградове — оказывается, я неправильно пишу. Отношение — на декартовом квадрате множества, а соответствие — на произведении любых двух множеств (то есть это всё-таки термин). Значит, в последнем абзаце предыдущего сообщения надо заменить «отношение» на «соответствие».

1

@pcmax

Декартов квадрат... Декартово произведение... запутали...
скажите, соответствия могут быть инъекционными?

Добавлено через 5 минут
еще очень важно для меня... отображение и функция это одно и тоже?

0

@helter

Говорят — инъективный (injective) или инъекция (существительное). Не встречал в отношении соответствий.

Добавлено через 1 минуту
Квадрат — это произведение на себя, что тут путаного?

1

@pcmax

неправильно я наверное вопрос задал Вам...
Соответствие-это множество Декартовых произведений...
отображение-частный случай соответствия...
свойствами сюрьекции и инекции обладают отображения или соответствия? или и то и другое?

Добавлено через 4 минуты
и я не понял, если отображение-это функция, то почему отображение может быть функциональным и не функциональным?

0

@pcmax

я не понял Вас

0

@eropegov

Да это я написал сначала ответ на один из комментариев, а потом увидел, что вопрос уже разъяснился. И удалил свой ответ. Тему надо целиком читать (это я себе говорю).

0

@pcmax

а где Вы увидели , что вопрос разрешился? покажите мне , а то я не вижу

0

@eropegov

pcmax, естественно, что вы этого не видите - вы ведь не знаете, о каком именно вопросе я говорил. Это уже неважно, оставьте. По вашим вопросам (и не только вопросам):

Это у вас бессмыслица написана. Сформулируйте грамотно.

Да.

И то, и другое может быть (или не быть) сюрЪекцией и инЪекцией (оба слова пишутся через твёрдый знак).

Не может быть не функциональным.

1

@pcmax

я согласен, соответствие-это подмножествА множества Декартовых произведений...
зачем называть функцию функциональной? если отображение это функция, то оно всегда будет функциональной....
почему тогда говорят: функциональное отображение?

0

@eropegov

Опять не так.
Кто говорит? Я такого не встречал.

1

@pcmax

Соответствие G1
не является отображением, т.к. DomG1  a, c X .
DomG2  X , поэтому G2
– отображение, но это отображение не
функциональное, поскольку сечение
G2
|
a  1,2 двухэлементно.
G3
– функциональное отображение
f : X Y , т.к. DomG3  X и все сече-
ния G3
|
a  1, G3
|
b  3, G3
|
c  3 одно-
элементные.
При этом f a  1, f b  3 , f c  3

Добавлено через 2 минуты
еще несколько вопросов к Вам.... что такое сечение множества?
и если я неправильно дал определение соответствия, что это не множество подмножеств Декартово произведения, то что?

Добавлено через 54 секунды
може Быть тогда это множество подмножеств Декартовых проиведений?

0

@eropegov

Это уже интересно. Это вы пытались из учебного пособия скопировать? К сожалению, квадратики вместо символов не дают понять, что же там такое.

Очевидно, что здесь идёт речь не о сечениях любых множеств, а о сечениях подмножеств декартовых произведений. но об этом можно чуть позже поговорить.

Всё-таки разберитесь с падежами самостоятельно. Почему у вас здесь декартовы произведения во множественном числе? Откуда взялось "множес во подмножеств"? пока всё это - белиберда.

1

@pcmax

ребята, вот от сюда я взял. я не выдумал
http://mospolytech.ru/pages/kaf/vm/discr_math.pdf

Добавлено через 1 минуту
я вообще спросил, что такое сечение множеств?
что такое соответствие по Вашему? скажите пожалуйста определение

0

@eropegov

pcmax, дали бы вы сразу ссылку на это пособие - все вопросы бы разрешились быстро.

Автор вашего учебника нетрадиционно определяет, что такое отображение. У него (то есть у этого вашего автора) отображение действительно не всегда функционально (а выше helter, а потом и я говорили об отображениях в общепринятом смысле этого термина - а в общепринятом отображения по умолчанию функциональны).

Определение соответствия сформулируйте сами - ну всё же для носителя русского языка не должна быть непосильной задача правильно расставить падежи, чтобы получилось осмысленное предложение.

Сечения определяются, как я и заметил, не для произвольных множеств, а для соответствий - см. определения 1.16, 1.17 в вашем пособии.

1

@3D Homer

Поэтому я и спросил с самого начала: "Согласно какому учебнику?" В приведенной книге действительно "отображение" — это не то же, что "функция". В данном источнике соответствие (= отношение) R из X в Y называется отображением, если dom R = X.

Мне кажется, это нестандартное определение. Обычно отображение = функция, а соответствия называют отношениями. Но в рамках одного труда автор имеет право вводить свою терминологию, если она хорошо описана и не слишком эксцентрична.

То, что автор называет сечением обычно называют образом и обозначают R(a): .

Я бы посоветовал выбрать какой-нибудь популярный учебник для первичного ознакомления с функциями.

1

@pcmax

зачем пособие? есть учебник теории множеств. и там автор идет еще дальше...

а позвольте спросить, как это традиционно? это когда и мухи и котлеты вместе?
ребята, Вы как никто должны знать , знать больше любого академика и профессора математику. давайте уже разделять понятия.
если вы слепите все в одно, то как вы определите является ли отображение инъективным и функциональным? такой вопрос был в поступлении на мехмат , если не ошибаюсь.

Добавлено через 2 минуты
а праобраз не сечение?

0