Функциональный анализ. Внутренность M0 множества M

@seregaponarin · Регистрация: 05.05.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте. Очень нужна Ваша помощь, нужно сдать разницу экзаменов по функциональному анализу.

4. Докажите, что внутренность M⁰ множества M есть объединение всех открытых множеств, содержащихся в M.

Помогите, кто чем может.
Спасибо.

@Mysterious Light · 19.09.2013, 21:55

4 задание.
M0 — внутренность M, то есть M0 состоит из всех точек x, которые содержатся в M с некоторой окрестностью.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M^0 = \rm{int} M = \{ x \;|\; \exists U\in T: \; x\in U \wedge U\subset M \}$

второе множество

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N = \bigcup \{ U \;|\; U\in T, \; U\subset M \}$

Очевидно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M^0 \subset N$ , каждая точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\in M^0$ входит в M с окрестностью U, которая обязана быть подмножеством N по определению последнего. С другой стороны, любая точка N принадлежит некоторому открытому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U\subset M$ , поэтому U является окрестностью x в M, а значит, принадлежит внутренности.

T — топология, семейство откр. множеств.

@seregaponarin 4 / 4 / 3 Регистрация: 05.05.2010 Сообщений: 45
		1
	Функциональный анализ. Внутренность M0 множества M 19.09.2013, 20:54. Показов 1023. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Здравствуйте. Очень нужна Ваша помощь, нужно сдать разницу экзаменов по функциональному анализу. 4. Докажите, что внутренность M⁰ множества M есть объединение всех открытых множеств, содержащихся в M. Помогите, кто чем может. Спасибо. 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4300 / 2091 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,162 Записей в блоге: 24
	19.09.2013, 21:55	2
	4 задание. M0 — внутренность M, то есть M0 состоит из всех точек x, которые содержатся в M с некоторой окрестностью. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M^0 = \rm{int} M = \{ x \;\|\; \exists U\in T: \; x\in U \wedge U\subset M \}$ второе множество $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N = \bigcup \{ U \;\|\; U\in T, \; U\subset M \}$ Очевидно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M^0 \subset N$ , каждая точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\in M^0$ входит в M с окрестностью U, которая обязана быть подмножеством N по определению последнего. С другой стороны, любая точка N принадлежит некоторому открытому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U\subset M$ , поэтому U является окрестностью x в M, а значит, принадлежит внутренности. T — топология, семейство откр. множеств. 2

Опции темы